Для проверки идентификации найдем коэффициент передачи системы
Коэффициент передачи, вычисленный по исходным матрицам
Можно сделать вывод о том, что система идентифицирована, верно
1.4.2 Пассивная идентификация
Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1. провести пассивную идентификацию системы, предполагая, что вектор входа изменяется соответственно таблице:
Таблица 7 Значение вектора входа для пассивной идентификации.
Такт, n
0
1
2
3
4
5
U(n)
0.01
0.04
0.02
0.03
Используя матрицы системы в дискретной форме для заданных значений вектора входа, рассчитаем значения вектора выхода
Результаты расчета сведем в таблицу:
6
y(n)
0.003935
0.006321
0.012
0.023
0.026
0.016
-0.0026
0.022
0.053
0.0091
0.071
Используя данные эксперимента (Таблица 8) можем приступить непосредственно к определению параметров идентифицированной системы
Тогда
Система идентифицирована, верно
2. Конструирование многомерных регуляторов, оптимизирующих динамические свойства агрегата
2.1 Конструирование П. - регулятора, оптимизирующего систему по интегральному квадратичному критерию
Регулятор состояния, который оптимизирует систему по критерию:
Определяется по соотношениям:
P=LR1(A,B,Q,R);
При этом Q=R=I
Т.к. матрица С. является инвертированной, для образования регулятора выхода нет необходимости конструировать наблюдатель состояния – недосягаемое состояние просто вычисляется по формуле .
Следовательно, регулятор выхода имеет вид
2.2 Конструирование компенсаторов заданий и измеряемых возмущений
Обозначивши через z заданное значение выхода y и припуская, что , получим
Приняв во внимание, что А=В
Если при компенсации возмущений и заданий учесть «стоимость» управления, записавши критерий в виде
,
то компенсаторы (оптимальные) определяются зависимостями
Значение выхода при действии возмущения f в системе без компенсаторов при z=0
а также с оптимальным компенсатором.
2.3 Конструирование регулятора с компенсатором взаимосвязей
Проверим, или регулятор действительно расцепляет систему, т.е. матрица передаточных функций является диагональной
Используя V как новый вход можно далее записать
Регулятор выхода можно записать в виде
2.4 Конструирование апериодического регулятора
Апериодический регулятор для дискретной системы может быть получен: из условия . Запишем
2.5 Конструирование децентрализованного регулятора
Используя форму Ассео, запишем:
Следовательно, получим
Для определения критерия
2.6 Конструирование надежного регулятора
Если матрица G моделирует отказы каналов измерения, то регулятор находится в виде
Берем s=0.04 При этом значении выполняются необходимые условия:
s>
Результат решения уравнения Ляпунова первого типа
Коэффициент передачи надежного регулятора
Поверим систему с регулятором на устойчивость
Следовательно, система является постоянной при любых отклонениях.
2.7 Конструирование блочно-иерархического регулятора
Воспользуемся регулятором состояния и проверим или можно создать последовательность регуляторов состояния.
; ; ; ;
Рисунок 15 – Иллюстрация монотонного уменьшения величины критерия
Рисунок 16 – Схема блочно – иерархического регулятора
2.8 Конструирование регулятора для билинейной модели
Билинейный регулятор определяется по следующей зависимости
Вводя все компоненты в уравнение, получаем:
2.9 Конструирование регулятора для нелинейной модели
Сконструировать нелинейный регулятор, используя начальную неупрощенную модель бака.
Расчетное соотношение для регулятора –
e=z – x
2.10 Конструирование программного регулятора
Используя линеаризованную модель в дискретном времени, записать программу перевода системы из состояния в состояние
;
3. Анализ свойств сконструированной системы с оптимальным П регулятором
3.1 Построить процесс в системе с П. регулятором
Для построения процесса графика необходимо пользоваться следующую формулу
В итоге получаются следующие графики переходных процессов. Для сравнения приведены переходные процессы для систем без компенсаторов (штрихованная линия)
Рисунок 17 – Сопоставление качеств переходного процесса первого и второго выхода с компенсатором и без него.
Из графика видно, что система выходит на установившееся значение раньше если на ней стоит компенсатор.
3.2 Вычислить критерий оптимальности в системе
Величина критерия с удельным регулятором вычисляется
Отклонение параметров на 10 процентов
Отклонение параметров на 5 процентов
Матрицы чувствительности будут рассчитаны в пункте 3.4:
В конечном счете, получаем
3.3 Оценить потерю качества от децентрализации
Коэффициент передачи децентрализованного регулятора найден в пункте 2.5
3.4 Вычислить чувствительность системы
dJ/dA, dJ/dВ, dJ/dС, dJ/dК для системы (А1,В, С), где А1=А+В*К, К=*Р.
Матрицы А1 и P (решение уравнения Риккати) Pлп (решение уравнения Ляпунова ) рассчитывались ранее
Для расчета матрицы V следует решить уравнение Ляпунова вида:
А1*V+V* А1+I=0
Таким образом :
; ;
Все необходимые составляющие для расчета чувствительности у нас есть:
dJ/dA=2∙P∙V==;
dJ/dВ=2∙P∙V∙=;
dJ/dС=2∙∙∙P∙V+2∙∙K∙V=;
dJ/dК =2∙K∙V+2∙∙P∙V=
3.5 Анализ робастности системы с надежным регулятором
Матрицы отклонения начальной системы
То есть аа=0.0081; bb=0.0289; cc=0.004.
Подставляя значения, полученные в пункте 2.6
в уравнение Scherzinger найдем из нее новую матрицу
Т.к. определенная матрица положительно определенная
то сконструированная система робастная поэтом стационарная и при изменении параметров в расчетных диапазонах величина критерия изменяется очень мало.
3.6 Решение обратной задачи конструирования
Записав расцеплояющей регулятор в виде
Далее используя соотношение
где W – произвольная матрица выбирается из условия S>0
4. Результат вспомогательных расчетов
1.Решение уравнения Риккати первого типа
Заданы матрицы
Сформируем матрицу М
Найдем ее собственные значения
Выполним преобразование подобия
Решение уравнения Риккати
2.Решение уравнения Ляпунова
3. Вычисление матричной экспоненты
4.Опеделение Фробениусовой матрицы
5. Определение Вандермодовой матрицы
Выводы
Исследован технический объект – смесительный бак. Получен спектр модели: линейная, нелинейная, экспериментальная и аналитическая модель. Проведены эквивалентное аппроксимационое преобразование модели агрегата
Исследованы качественные и количественные свойства системы. Разработаны регуляторы управления объектом: П. – регулятор;
апериодический регулятор; надежный регулятор; блочно – иерархический регулятор; регулятор для билинейной и для нелинейной модели; программный регулятор; регулятор с компенсатором взаимосвязей. А также компенсаторы возмущений и компенсаторы на задании.
Проанализированы процессы в сконструированной системе с регулятором в качественном и количественном отношении (построен процесс в системе с регулятором, вычислен критерий оптимальности, проанализирована робастность, решена обратная задачи конструирования ).
На основании данного анализа можно сделать вывод о том, что наиболее подходящим регулятором для рассмотренной системы является оптимальный П. – регулятор. Хотя он и обладает некоторым перерегулированием, имеет небольшую статическую ошибку (при отсутствии компенсатора на задание), однако все эти недостатки компенсируются его простотой в установке и обслуживании. Помимо этого он обладает наименьшим временем переходного процесса, неплохим показателем критерия оптимальности. В силу своей простоты он является более надежным в том плане, что вероятность выхода из строя самого регулятора мала.
Литература
1. Стопакевич А.А., Методические указания к практическим занятиям по курсу « Основы системного анализа и теория систем » для бакалавров по автоматики. – Одесса: ОНПУ, 1997.
2. Стопакевич А.А. Сложные системы: анализ, синтез, управление. – Одесса: ОНПУ 2004
Страницы: 1, 2, 3