Рефераты. Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.5886 10-4

f’’(t2)=-1.6627 10-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.4782 10-6

Итак: M2=1,5886 10-4, откуда n=25.66; принимаем N=26.

Далее вычислим интеграл I:

Погрешность вычисления a:

3.2 Вычисление интеграла I методом парабол

При расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точности количество частей n, на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить по формуле:

, откуда:

Нахождение М4 можно провести аналогично нахождению М2 в предыдущем пункте, но выражение для fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.

Обозначим через In и I2n значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I2n-In| = 15d (*1), то |I-I2n|=d

Будем , начиная с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда:

(3.6)

Согласно формуле парабол (3.7):

Результаты вычислений сведём в таблицу:

I2n

102.11

101.61

0.5017

По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

n=8

n=4

ti (8)

ti (4)

27.25

0.9864

54.5

0.8959

54.5

0.8959

81.75

0.6901

109

0.4151

109

0.4151

136.25

0.1796

163.5

0.0514

163.5

0.0514

190.75

0.0089874

218

0.00088179

218

0.00088179

4. Вычисление времени Т0 установления режима

4.1 Решение уравнения комбинированным методом

Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.

F(x)

-1

-0.6285

0.4843

0.01

0.05

0.1

т.е. x с [0.01;0.05]

Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется

f’(x) на [a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей e=10-4

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0

f”(x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x). f”(x)>0 на (a;b), следовательно касательные строим справа, а хорды слева. Приближение корня по методу касательных:

по методу хорд:

Вычисление ведём до того момента, пока не выполнится условие:

Результаты вычислений заносим в таблицу:

f(an)

f(bn)

0.05

0.1

-0.6285

0.4843

0.07824

0.08366

-0.0908

0.0394

0.08202

0.08207

-9.1515 10-4

3.7121 10-4

0.08206

-8.4666 10-8

3.4321 10-8

Т0 = 72,7176 секунд.

4.2 Решение уравнения комбинированным методом

Приведём f(x) = 0 к виду x = j(x). Для этого умножим обе части на произвольное число m, неравное нулю, и добавим к обеим частям х:

X = x - m f(x)

j(x) = x - m A x sin(x) + m cos(x)

В качестве m возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]

В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда m = 0,045.

Приближение к корню ищем по следующей схеме:

Вычисление ведём до тех пор, пока не выполнится условие:

(q = max |j’(x)| на [a’b])

j’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов.

j’(0,05) = 0,3322 j’(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность:

j( xi)

D xi

0.075

0.082392

0.00739

0.082392

0.082025

0.000367

0.082025

0.08206

3.54 10-5

0.08206

0.082057

3.33 10-6

0.082057

3.15 10-7

Итак, с погрешностью, меньшей 10-4, имеем:

Т0 = 72,7176 с. , x = 0.03142

5. Решение краевой задачи

Используем метод малого параметра. Краевую задачу запишем в виде:

(5.1)

Введя новую переменную y = (U - q0)/(q - q0), запишем (5.1) в виде:

(5.2)

e = sl(q - q0) =0.18, L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём e.

Тогда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены при одинаковых степенях e, получим:

(5.3)

Ограничимся двумя первыми членами ряда:

Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнения для y0:

где y0 с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y(1) и y(2) – линейно независимые решения однородного уравнения.

Корни уравнения:

y0общ = 1 + c1ch(px)+c2sh(px), где p = 0.01953

Константы найдём из граничных условий:

откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е. имеем функцию:

y0 = 1 - 0.57 sh(px)

Общее решение:

Частное решение:

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

А1 = 0; А2 = -0,1083; В1 = 0; В2 = 17,1569;

Тогда общее решение для y1 имеет вид:

с3 = 0; с4 = 0,0462

Перейдя к старой переменной U, получим:

q0 = 0; q1 = -374.11; q2 = -12.9863; q3 = 2057

Итоговое уравнение:

Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):

U(x)

352.9075

353

0.0019

350.4901

0.0039

343.1972

343

0.0058

330.9053

0.0077

313.4042

313

0.0097

290.391

0.0116

261.4598

261

0.0135

226.0893

0.0154

1836255

184

0.0174

133.2579

0.0193

Используя данную таблицу, строим график функции U(x).

[см. приложение 1]

6. Заключение

Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.

Литература

1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение нелинейных уравнений»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)

2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых интегралов»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)

3. Методические указания «Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)

Приложение 1

Страницы: 1, 2, 3