Рефераты. Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

(2.3)

Сумма

Система (2.3) примет вид:

(2.4)

В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:

Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В результате получаем:

Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:

Smin=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией s2, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:

Где r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.

Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

D - главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S0=3.5438 10-22

S1=-8.9667 10-14

S2=6.3247 10-7

Откуда:

Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.

Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

Выбираем доверительную вероятность b=0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение gb равное 2,35, удовлетворяющее равенству:

Доверительные интервалы для коэффициентов:

(2.4*)

В нашем случае примут вид:

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией s2. Мы выбрали функцию регрессии в виде:

Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:

(2.5)

C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).

Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:

(2.7)

Решая эту систему методом Гаусса, получим:

(2.8)

Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:

Н0 – альтернативная гипотеза

Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.

В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:

(2.9)

имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F*a, удовлетворяющее равенству: p(F>F*a)=a

В нашем случае F=349.02, а F*a=10,13.

Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>Fa, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом

, коэффициенты в котором неодинаковы.

3. Нахождение коэффициента теплопроводности a.

Коэффициент a вычислим по формуле (1.5), обозначим:

(3.1)

Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления a не превосходила 0,1%, т.е.:

(3.2)

Т.к. из (3.1) очевидно, что a>a0, то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:

(3.3)

Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём d=0,001Т (3.4)

Т=218 оС, следовательно, d=0,218 оС.

3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции

Использование теоретической оценки погрешности

Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которые нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:

, где M2=[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3

Учитывая формулу (3.4) получаем:

(3.5)

Дифференцируя f(t), получим:

А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:

Страницы: 1, 2, 3