(2)
Соотношение (3) можно выразить через величины , характеризующие отношение сигнал/шум в каждой ветви разнесения
(3)
так как
В соответствии с неравенством Буняковского-Шварца числитель дроби (3) можно записать как
(4)
Подставив (4) в (3) и произведя простейшие преобразования, получим
(5)
Этот результат показывает, что максимально возможное значение отношение мощностей сигнала к шуму, получаемое при оптимальном линейном сложении, равняется сумме отношений сигнал/шум по мощности на выходах всех ветвей разнесения.
Пусть теперь
(6)
где - некоторый коэффициент пропорциональности, не зависящий от i ;
Тогда после подстановки (6) в (2) получим
(7)
Из (7) следует, что если брать взвешивающие коэффициенты в соответствии с (6), а именно
(8)
то отношение сигнал/шум может достигнуть максимально возможного значения, равного сумме отношений сигнал/шум в ветвях разнесения.
Следовательно, при оптимальном линейном сложении в любой интервал времени меньший интервала автокорреляции сигнала , взвешивающий коэффициент автоматически должен регулироваться так, чтобы он был прямо пропорционален корню квадратному из среднеквадратического значения сигнала в i-й ветви разнесения и обратно пропорционален среднеквадратическому значению шума в той же ветви. При этом коэффициент пропорциональности выбирается одинаковым для всех ветвей разнесения.
Найдем теперь закон распределения случайной величины , являющейся в соответствии с (7) суммой случайных величин .
Пусть огибающие во всех ветвях разнесения распределены по закону Релея. Тогда распределение квадрата случайной величины подчинено экспоненциальному распределению
(9)
где - среднее значение величины .
В свою очередь, плотность вероятности суммы экспоненциально распределенных величин описывается так называемым распределением хи-квадрат (). Если все ветви независимы, распределение можно записать в виде
(10)
Для величин hp (10) можно представить как
(11)
Из (11) видно, что при Q =1 распределение совпадает с законом Релея, а при стремится к функции. Таким образом, при увеличении числа ветвей разнесения флуктуации сигнала за счет замираний на выходе схемы объединения уменьшаются.
Теперь, усредняя выражения для вероятности ошибки сигнала по закону, которым описывается суммарная огибающая сигнала, можно найти вероятность ошибки в такой системе
(12)
Так, для когерентного приема сигналов ФТ (10) в соответствии с (12) путем последовательного интегрирования по частям получим
(13)
В частности, при сдвоенном приеме из (13) легко получить
(14)
При достаточно больших отношениях сигнала к шуму I) из (14) можно получить приближенное выражение
(15)
Из (11) можно получить также вероятность ошибки при некогерентном приеме сигналов AT и ЧТ:
(16)
(17)
При выводе (16) и (17) использован табличный интеграл вида
Приведенные выше формулы получены исходя из предположения, что замирания в ветвях некоррелированы.
Рассмотрим теперь случай, когда копии сигнала в ветвях разнесения коррелированы. Пусть коэффициент взаимокорреляции между ветвями равен I. Тогда огибающая суммарного" бИТ-' нала подчиняется релеевскому распределению, а вероятность ошибки, например, при когерентном приеме сигналов ФТ может быть записана в виде
(18)
Из (5.3.18) видно, что в этом случае когерентный прием на разнесенные антенны обеспечивает энергетический выигрыш в Q раз. При сдвоенном приеме (Q=2), например, этот выигрыш при вероятности ошибки порядка I0-4 равен всего 3 дБ, в то время как сдвоенный прием при тех же условиях в случае некоррелированных сигналов в ветвях разнесения обеспечивает энергетический выигрыш порядка 20 дБ.
При 0<Е<1 аналитические выражения в общем виде крайне сложны. Однако дляй=2 и при произвольном коэффициенте корреляции может быть получено соотношение
(19)
характеризующее вероятность ошибки при когерентном приеме сигналов ФТ.
При R=I эта формула совпадает с (18), а при R=0 предельным переходом может быть получено соотношение (15).
Сравнение (19) с (14) показывает, что при R ≤ 0,6 энергетический проигрыш из-за наличия корреляции не превышает I дБ, т.е. надежность связи при разнесенном приеме практически не снижается.
1.3 Прием с линейным сложением сигналов
Характерной особенностью линейного сложения является то, что при образовании результирующего сигнала все ветви полагаются равноценными (=I). В этом случае (1) принимает вид
(20)
Амплитуда огибающей замирающего сигнала может быть выражена в виде
(21)
где - коэффициент передачи среды распространения для I -й ветви;
U0- амплитуда огибающей не замирающего сигнала, поэтому отношение сигнал/шум можно записать как
(22)
Среднее значение этой величины соответственно равно
(23)
где - отношение средней мощности сигнала к мощности шума.
Так как все копии сигнала в отдельных ветвях полагаются независимыми, то среднее значение произведения независимых величин равно произведению их средних значений, т.е.
(24)
Если замирания в ветвях подчинены релеевскому закону, то и распределение случайной величины описывается законом Релея
(25)
С учетом этого можно записать
Исходя из этих соотношений, (24) можно представить как
(26)
Отсюда следует, что величина энергетического выигрыша при линейном сложении определяется формулой
(27)
Из (27) видно, что выигрыш по энергетике при линейном сложении определяется числом ветвей разнесения.
Однако линейное сложение имеет принципиальный недостаток, который определяется тем, что ветви с плохим отношением сигнал/шум вносят заметный вклад в шумовую составляющую результирующего колебания и незначительный - в сигнальную составляющую. Другими словами, в этом случае помехоустойчивость приема ухудшается, если некоторые ветви будут иметь низкое соотношение сигнал/шум, а в других это соотношение будет хорошее.
Вследствие этого в практике радиосвязи линейное сложение практически не находит применения, несмотря на простоту его реализации.
1.4 Прием с оптимальным автовыбором
Найдем закон распределения огибающей результирующего сигнала при приеме с оптимальным автовыбором и независимыми ветвями разнесения. Представим вероятность того, что в некоторый момент времени значение огибающей сигнала в ветви окажется меньше значения огибающей результирующего сигнала в виде
(28)
где W() - плотность распределения случайной величины Ui;
F (Up) - интегральная функция распределения случайной величины Ui;
Вероятность того, что ни в одной из ветвей огибающая сигнала не превысит величину SР, определяется как
(29)
Тогда плотность распределения вероятностей огибающей результирующего сигнала при оптимальном автовыборе может быть получена путем дифференцирования (29) по Up
(30)
Это выражение справедливо для любого закона распределения замирающего сигнала.
В частности, если замирания подчиняются релеевскому закону, то
(31)
Перейдем теперь к закону распределения соотношения сигнал/помеха, воспользовавшись теоремой о функциональном преобразовании случайных величин и их распределений
(32)
где - отношение средней мощности сигнала к средней мощности шума в отдельной ветви разнесения.
Отношение средних мощностей сигнала к шуму на выходе схемы формирования результирующего сигнала можно найти как
(33)
или, после подстановки в (33) выражения (32),
(34)
Интеграл (34) можно взять по частям, использовав разложение по биному Ньютона. Тогда можно окончательно записать
(35)
Отсюда видно, что энергетический выигрыш при оптимальном автовыборе определяется нелинейной зависимостью от числа ветвей разнесения.
(36)
Определим теперь вероятность ошибки в системе связи при использовании оптимального автовыбора. Будем полагать, что обработка колебаний осуществляется некогерентным способом при приеме ЧМ сигналов. Тогда можно записать
(37)
или, беря интеграл по частям с предварительным разложением третьего сомножителя подынтегрального выражения по биному Ньютона, получим окончательное выражение для вероятности ошибки
Страницы: 1, 2, 3, 4
