X(t, t0) = X1(t)X1-1(t0)
Столбцы этой матрицы также образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (3). Отметим, что X(t, t0)= Назовем матрицу X(t, t0) фундаментальной матрицей системы (3). Эта матрица удовлетворяет матричному уравнению
Решение x(t) системы уравнений (3), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, можно записать в виде
Тогда можно показать, что следующая формула, называемая формулой Коши, позволяет найти решение x(t) неоднородной системы (2), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, если известна фундаментальная матрица X(t, t0) однородной системы (3):
Следует отметить, что если матрица А постоянная, т. е. рассматриваемая система дифференциальных уравнений является системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами
то решение этой системы x(t), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, запишется в виде
где X (f) — матрица, столбцы которой состоят из фундаментальной системы решений однородной системы уравнений xt'=Ах, причем X (t0) = E.
2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка
Линейное уравнение n-го порядка имеет вид
где a0(t), …, an(t) — непрерывные функции для tÎ(a, b), причем а0(t)¹0. Соответствующее этому уравнению однородное уравнение имеет вид
Эти уравнения путем введения вспомогательных функций
можно свести соответственно к системам уравнений
или в векторной форме,
Пусть начальные условия этой системы имеют вид
Эта система имеет единственное решение
Для нахождения частного решения ф(t) данного уравнения можно использовать метод вариации произвольных постоянных. При этом система алгебраических уравнений для нахождения сi'(t) имеет следующий вид:
Определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимой системы решений x1 ,…, xn, поэтому W(t)¹0, и данная система имеет единственное решение. Интегрируя полученные значения для c'i(t), найдем ci(t) и тогда искомое решение
Решение x(t) исходного уравнения, удовлетворяющее заданным условиям, найдется по формуле Коши
где
где ci(t) определяются из системы уравнений
Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского фундаментальной системы решений x1, …, xn и поэтому не равен нулю. Эта система имеет единственное решение c1(t), …, cn(t). Следовательно, решение x1(t, t) определяется единственным образом.
2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
(5)
Его решение будем искать в виде y=ekx. Тогда y’=kekx, y’’=k2ekx, …, y(n)=knekx. Подставим это в исходное дифференциальное уравнение и получим так называемое характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (5):
knekx+…+a2k2ekx+a1kekx+a0ekx=0
или, разделив это уравнение на ekx, так как он ни при каких x не равен нулю, получаем:
kn+…+a2k2+a1k+a0=0
Решив это уравнение относительно k, мы получим n корней, которые могут быть как действительными, так и мнимыми. В зависимости от вида корней характеристического уравнения мы будем иметь различные виды решения дифференциального уравнения:
1. Некоторые ki, …, kj из всего множества корней характеристического уравнения – действительные и различные числа. Тогда каждому km из этого множества будет соответствовать решение в виде: ym=cmekmx.
2. Некоторые ki,…, k2j – комплексные и различные. Тогда каждой паре km;m+1=am±bmi будет соответствовать решение ym=cmeamxcos(bmx); ym+1=eamxsin(bmx).
3. Среди решений характеристического уравнения есть корень ki кратности m. Ему будут соответствовать решения: yi=ciekix, yi+1=xci+1ekix, …, yi+m=xm-1ci+mekix.
4. Среди решений характеристического уравнения есть 2 комплексных корня ki;i+1=ai±bii кратности m. Им будут соответствовать решения yi=cieaixcos(bix); yi+1=ci+1eaixsin(bix); yi+2=xci+2eaixcos(bix) ; yi+3=xci+3eaixsin(bix) ; … ; yi+m=x2m-1cieaixcos(bix); yi+m=x2m-1 ´ ´ci+1eaixsin(bix).
Однако, как было сказано выше, совокупность всех решений {y(x)} образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Это значит, что линейная комбинация решений линейного дифференциального уравнения также будет являться решением. Следовательно, общее решение данного линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (5) с постоянными коэффициентами можно представить как линейную комбинацию решений, соответствующих каждому корню (или паре корней) характеристического уравнения.
2.7.8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид
y(n)+Pn-1(x)y(n-1)+…+P2y’+P1y+P0=f(x), (6)
где P0(x), P1(x),…, Pn-1(x), f(x) – некоторые непрерывные функции, непрерывные по x и удовлетворяющие условию Липшица по x. Соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение имеет вид
y(n)+Pn-1(x)y(n-1)+…+P2y’+P1y+P0=0, (7).
Если дифференциальное уравнение (6) имеет частное решение yв(x) и общее решение yс=c1y1+c2y2+…+cnyn, то общее решение дифференциального уравнения (6) равно сумме частного решения yв и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (7) yc: y=yc+yв.
Методика нахождения общего решения линейного однородного уравнения была изложена выше. Здесь мы рассмотрим нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения.
Частное решение будет зависеть от вида правой части f(x). В общем случае трудно найти частное решение для любой функции f(x). Однако на практике применяются следующие виды функции f(x):
1. f(x)=P(x)eax, где P(x) – некоторый многочлен. Тогда частное решение ищется в виде:
1) yч=xmQ(x)eax, если a – m-кратный корень характеристического уравнения;
2) yч=Q(x)eax, если a – не корень характеристического уравнения,
где Q(x) – многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами.
2. f(x)=(Pn(x)cos(bx)+Lm(x)sin(bx))eax, где Pn(x) и Lm(x) – некоторые многочлены. Тогда частное решение ищется в виде:
1) yч=(Mn(x)cos(bx)+Nn(x)sin(bx))eax, если (a±bi) – не корень характеристического уравнения;
2) yч=xm(Mn(x)cos(bx)+Nn(x)sin(bx))eax, если (a±bi) – m-кратный корень характеристического уравнения,
где Mn(x) и Nn(x) – многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов Pn(x) и Lm(x).
После выбора вида частного решения подставляем его в исходное дифференциальное уравнение. При этом неизвестные коэффициенты полиномов находим по методу неопределенных коэффициентов, который заключается в том, что неизвестные коэффициенты ищутся из условия равенства коэффициентов при одинаковых слагаемых, например, при x, при x2, при x3cos(bx) и т. д.
3. Дифференциальные уравнения при описании непрерывных систем
3.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов системы
В установившемся состоянии зависимость выходной величины элемента системы от входной задается статической характеристикой элемента. Как правило, статические характеристики элементов нелинейны. Статические характеристики могут быть получены из дифференциальных уравнений элементов системы.
Пусть дифференциальное уравнение, описывающее поведение элемента, имеет вид
(1)
Тогда статическая характеристика этого элемента задается уравнением в неявной форме
(2)
то есть для ее получения в уравнении (1) следует положить x=const и g=const.
Если динамика элемента описывается линейным дифференциальным уравнением, то этот элемент называется линейным, если дифференциальное уравнение нелинейно, то элемент называется нелинейным. Из-за нелинейности статических характеристик уравнения элементов системы в большинстве случаев являются нелинейными.
Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линейными уравнениями, решения которых с достаточной степенью точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Этот процесс замены нелинейного дифференциального уравнения линейным называется линеаризацией. Обычно линеаризация нелинейного уравнения производится относительно некоторого установившегося состояния элемента системы.
Если дифференциальное уравнение элемента нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики элемента x=ф(g) некоторой линейной функцией x=ag+b. Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции x=y(g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов, содержащих отклонение Dg входной величины элемента в степени выше первой. Геометрически это означает замену кривой x=ф(g) касательной, проведенной к кривой в точке (х0, g0), соответствующей установившемуся состоянию работы элемента (рис. 3).
В других случаях линеаризация производится путем проведения секущей, мало отклоняющейся от функции x=ф(g) в требуемом диапазоне изменения входной величины элемента.
Страницы: 1, 2, 3, 4
