Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку на действительной оси с координатами .
Необходимо отметить, что при исследованиях на устойчивость по критериям Михайлова и Найквиста рассчитываются и строятся графики АФХ характеристического уравнения (критерий Михайлова) или разомкнутой АСР (критерий Найквиста), что является трудоемкой задачей. Поэтому для построения АФХ используется ЭВМ.
Частотные критерии применимы и для исследования на устойчивость систем с запаздыванием в общем виде, без разложения в ряд Паде передаточной функции звена запаздывания, используя его представление в форме Эйлера.
По АФХ замкнутой системы можно определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе.
Если необходимо оценить влияние на устойчивость некоторого параметра (коэффициента) системы, например, коэффициента усиления, и определить область значений, внутри которой по этому параметру система будет оставаться устойчивой, то применяют к характеристическому уравнению, в которое входит исследуемый параметр, метод D-разбиения.
Для этого:
- характеристическое уравнение А(р)=0 разбивают на две составляющие (зависящую и не зависящую от параметра)
;
- заменяют p на и выражают параметр в комплексной форме
- изменяют частоту в пределах от 0 до и, вычислив координаты точек, строят границу устойчивости;
- полученная кривая дополняется ее зеркальным отображением относительно вещественной оси;
- штрихуют границу слева при движении по кривой в направлении возрастания ;
· область, полностью окаймленная штриховкой, является областью устойчивости;
· по точкам пересечения граничной кривой с вещественной осью определяют диапазон изменения значений параметра q, при которых система остается устойчивой.
8.2 Проверка устойчивости по критерию Рауса
В данной курсовой работе оценку устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования произведем по критерию Рауса так как этот метод не предполагает нахождение определителей, а значит наименее трудоемок. Для проверки устойчивости по критерию Рауса заполним таблицы коэффициентов аналогично таблице 14.
Для системы с П-регулятором составим таблицу 15 подставив в соответствующие ячейки коэффициенты при р из знаменателя передаточной характеристики системы.
Таблица 15
Таблица Рауса для системы с П-регулятором
1
-
An=0,179
An-2=2,075
An-4=2,157
2
An-1=0,884
An-3=4,176
An-5=1,975
3
Rn=0,202
c13=1,395
c23=1,736
c33=0
4
Rn-1=0,719
c14=3,053
c24=1,89
c34=0
5
Rn-2=0.422
c15=0,873
c25=0
c35=0
6
Rn-3=3,154
c16=1,89
c26=0
c36=0
7
Rn-4=0,468
c17=0
c27=0
c37=0
Из таблицы 15 видно, что замкнутая система с П-регулятором устойчива так как выполняется необходимое условие устойчивости по критерию Рауса.
Аналогично составляем таблицы Рауса (табл. 16 и табл. 17) для замкнутых систем автоматического регулирования с И-регулятором и ПИ-регулятором соответственно.
Таблица 16
Таблица Рауса для системы с И-регулятором
An=0.179
An-2=2.229
An-4=3.249
An-6=0.284
An-1=0.884
An-3=3.663
An-5=0.721
0
Rn=0.202
c13=1.487
c23=3.103
c33=0.284
c43=0
Rn-1=0.594
c14=1.819
c24=0.552
c44=0
Rn-2=0.818
c15=2.651
c25=0.284
c45=0
Rn-3=0.686
c16=0.357
c46=0
Rn-4=7.419
c17=0.284
c47=0
8
Rn-6=1.258
c18=0
c28=0
c38=0
c48=0
Таблица 17
Таблица Рауса для системы с ПИ-регулятором
An-2=2,127
An-4=2,665
An-6=0,392
An-3=3,959
An-5=1,263
c13=1,325
c23=2,409
c33=0,392
Rn-1=0,667
c14=2,352
c24=1,002
Rn-2=0,563
c15=1,845
c25=0,392
Rn-3=1,275
c16=0,502
Rn-4=3,677
c17=0,392
Rn-6=1,28
Из таблиц видно, что как система с И-регулятором, так и система с ПИ-регулятором устойчивы. Факт устойчивости систем подтверждает правильность расчета параметров регуляторов, так как этот расчет проводился из условия обеспечения устойчивости системы регулирования.
8.3 Проверка устойчивости по корням характеристического уравнения
Ниже приведены результаты проверки устойчивости замкнутых систем по корням характеристического уравнения на ЭВМ в системе MathCad.
9. Приведение к системе дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений устанавливает связь выходной координаты с входными в переходном процессе. То есть если передаточная характеристика системы имеет вид:
то связь выходной координаты с входной можно записать так:
.
Для приведения к системе дифференциальных уравнений выполняем следующие действия:
- все члены правой части переносим в левую часть и группируем члены с одинаковыми порядками производных:
- формально интегрируем полученное уравнение (порядок уравнения во всех членах уменьшается на 1). Интегрирование выполняется до тех пор, пока не исчезнут все р в левой части.
9.1 Система с П-регулятором
Передаточной функцией системы автоматического регулирования с П-регулятором по возмущению является найденное ранее выражение:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
