В тех случаях, когда из природы процессов в модели или  из  данных наблюдений над ней следует вывод о нормальном законе распределения  двух СВ - Y и X, из которых одна является независимой, т. е. Y  является  функцией X, то возникает соблазн определить  такую  зависимость  “формульно”, аналитически.

В случае успеха нам будет намного  проще  вести  моделирование. Конечно, наиболее заманчивой является перспектива линейной  зависимости типа Y = a + b·X .

Подобная задача носит  название  задачи регрессионного анализа и предполагает следующий способ решения.

Выдвигается следующая гипотеза:

H0:  случайная величина Y при  фиксированном значении  величины X  распределена нормально  с математическим ожиданием 

My = a + b·X   и дисперсией Dy, не зависящей от X.         

При наличии результатов наблюдений над парами Xi и Yi предварительно вычисляются средние значения My и Mx, а затем  производится оценка коэффициента b в виде 

b =   = Rxy                                             

что следует из определения коэффициента корреляции.  После этого вычисляется оценка для  a  в виде {2 - 16}

 и производится проверка значимости полученных результатов.   Таким образом,  регрессионный анализ является мощным, хотя  и  далеко не всегда  допустимым расширением корреляционного анализа, решая  всё  ту же задачу оценки связей в сложной системе.

Теперь более подробно рассмотрим множественную или многофакторную регрессию. Нас интересует только линейная модель вида: Y=A0+A1X1+A2X2+…..AkXk.

Изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками носит название множественной (многофакторной) регрессии. При исследовании зависимостей методами множественной регрессии задача формулируется так же, как и при использовании парной регрессии, т. е. требуется определить аналитическое выражение связи между результатив­ным признаком (У) и факторными признаками (х1 х2, х3 ..., хn) найти функ­цию: Y=f(х1. Х2..., хn)

Построение моделей множественной регрессии включает несколько этапов:

• выбор формы связи (уравнения регрессии):

• отбор факторных признаков:

• обеспечение достаточного объема совокупности для получения не­смещенных оценок.

Рассмотрим подробнее каждый из них.

Выбор формы связи затрудняется тем, что, используя математический аппарат, теоретически зависимость между признаками может быть выражена большим числом различных функций.

Выбор типа уравнения осложнен тем, что для любой формы зависимости выбирается целый ряд уравнений, которые в определенной степени будут описывать эти связи. Некоторые предпосылки для выбора опреде­ленного уравнения регрессии получают на основе анализа предшествую­щих аналогичных исследований или на базе анализа подобных работ в смежных отраслях знаний. Поскольку уравнение регрессии строится глав­ным образом для объяснения и количественного выражения взаимосвя­зей, оно должно хорошо отражать сложившиеся между исследуемыми факторами фактические связи,

Наиболее приемлемым способом определения вида исходного уравнения регрессии является метод перебора различных уравнений.

Сущность данного метода заключается в том, что большое число уравнений (моделей) регрессии, отобранных для описания связей какого-либо социально-экономического явления или процесса, реализуется на ЭВМ с помощью специально разработанного алгоритма перебора с последующей статистической проверкой, главным образом на основе t-крнтерия Стьюдeнта и F-критерия Фишера. Способ перебора является достаточно трудоемким и связан с большим объемом вычислительных работ. Практика построения многофакторных моделей взаимосвязи показы­вает, что все реально существующие зависимости между социально-эко­номическими явлениями можно описать, используя пять типов моделей:

1.             линейная: Y=A0+A1X1+….AkXk

2.             степенная

3.          показательная

4.          параболическая

5.          гиперболическая

Основное значение имеют линейные модели в силу простоты и логичности их экономической интерпретации. Нелинейные формы зависимо­сти приводятся к линейным путем линеаризации.

Важным этапом построения уже выбранного уравнения множествен­ной регрессии являются отбор и последующее включение факторных при­знаков. Сложность формирования уравнения множественной регрессии заклю­чается в том, что почти все факторные признаки находятся в зависимости один от другого. Проблема размерности модели связи, т. е. определение оптимального числа факторных признаков, является одной из основных проблем построе­ния множественного уравнения регрессии. С одной стороны, чем больше факторных признаков включено в уравнение, тем оно лучше описывает явление. Однако модель размерностью 100 и более факторных признаков сложно реализуема и требует больших затрат машинного времени. Сокращение размерности модели за счет исключения второстепенных, эконо­мически и статистически несущественных факторов способствует простоте и качеству ее реализации. В то же время построение модели регрессии малой размерности может привести к тому, что такая модель будет недос­таточно адекватна исследуемым явлениям и процессам. Проблема отбора факторных признаков для построения моделей взаи­мосвязи может быть решена на основе эвристических или многомерных статистических методов анализа.

Метод экспертных оценок как эвристический метод анализа основ­ных макроэкономических показателей, формирующих единую междуна- , родную систему расчетов, основан на интуитивно-логических предпосыл­ках, содержательно-качественном анализе. Анализ экспертной информации проводится на базе расчета и анализа непараметрических показателей связи: ранговых коэффициентов корреляции Спирмена, Кендалла и конкордации .

Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков являет­ся шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ). Сущность мето­да шаговой регрессии заключается в последовательном включении фак­торов в уравнение регрессии и последующей проверке их значимости. Факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым "прямым ме­тодом". При проверке значимости введенного фактора определяется, на­сколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции . одновременно используется и обратный метод, т.е.  , исключение факторов, ставших незначимы­ми на основе t-критерия Стьюдента. Фактор является незначимым, если его включение в уравнение регрессии только изменяет значение коэффи­циентов регрессии, не уменьшая суммы квадратов остатков и не увеличивая их значения. Если при включении в модель соответствующего факторного признака величина множественного коэффициента корреляции увеличивается, а коэффициент регрессии не изменяется (или меняется несу­щественно), то данный признак существен и его включение в уравнение регрессии необходимо.

Если же при включении в модель факторного признака коэффициенты регрессии меняют не только величину, но и знаки, а множественный

коэффициент корреляции не возрастает, то данный факторный признак при­знается нецелесообразным для включения в модель связи.

Сложность и взаимное переплетение отдельных факторов, обусловли­вающих исследуемое экономическое явление (процесс), могут проявлять­ся в так называемой мультиколлинеарности. Под

мультиколлинеарностью понимается тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель.

Наличие мультиколлинеарности между признаками приводит к:

• искажению величины параметров модели, которые имеют тенденцию к завышению;

• изменению смысла экономической интерпретации коэффициентов рег­рессии;

. слабой обусловленности системы нормальных уравнений;

. осложнению процесса определения наиболее существенных фактор­ных признаков.

Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между признаками является превышение парным коэффициентом корре­ляции величины 0,8 .

Устранение мультиколлинеарности может реализовываться через ис­ключение из корреляционной модели одного или нескольких линейно-свя­занных факторных признаков или преобразование исходных факторных признаков в новые, укрупненные факторы.

Вопрос о том, какой из факторов следует отбросить, решается на осно­вании качественного и логического анализов изучаемого явления.

Качество уравнения регрессии зависит от степени достоверности и надежности исходных данных и объема совокупности. Исследователь дол­жен стремиться к увеличению числа наблюдений, так как большой объем наблюдений является одной из предпосылок построения адекватных ста­тистических моделей.

Аналитическая форма выражения связи результативного признака и ряда факторных называется многофакторным (множественным) уравне­нием регрессии, или моделью связи.

Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:

Y=A0+A1X1+….AkXk

Коэффициенты  Аn вычисляются при помощи систем нормальных уравнений. Например система нормальных уравнений для вычисления коэффициентов регрессии для уравнения линейной  регрессии с двумя факторными признаками:

где An=an

Общий вид нормальных уравнений для расчета коэффициентов  регрессии:

Оценка существенности связи, принятие решения на основе уравнения регрессии.

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии.

Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью

t-критерия Стьюдента:

 - дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели признается статистически значимым, если tp>tкр 

Наиболее сложным в этом выражении является определение диспер­сии, которая может быть рассчитана двояким способом.

Наиболее простой способ, выработанный методикой экспериментиро­вания, заключается в том, что величина дисперсии коэффициента регрес­сии может быть приближенно определена по выражению:

- дисперсия результативного признака:

k - число факторных признаков в уравнении.

Наиболее сложным этапом, завершающим регрессионный анализ, яв­ляется интерпретация уравнения, т. е. перевод его с языка статистики и математики на язык экономиста.

Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той от­расли знаний, к которой относятся исследуемые явления. Но всякая ин­терпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков, т. е. с выяснения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влия­ние данного признака на моделируемый. Особое значение при этом имеет знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если факторный признак имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результатив­ный признак возрастает; если факторный признак со знаком минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается. Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим содержанием моделируемого (результативного) признака. Если его величина изменяется в сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют положительное влияние. При изменении результативного призна-л-1 в сторону снижения положительное значение имеют минусовые знаки факторных признаков. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии. Такое явление чаще всего бывает в силу допущенных ошибок при решении. Однако следует иметь в виду, что при анализе совокупного влия­ния факторов, при наличии взаимосвязей между ними характер их влия­ния может меняться. Для того чтобы быть уверенным, что факторный признак изменил знак влияния, необходима тщательная проверка решения данной модели, так как часто знаки могут меняться в силу допустимых ошибок при сборе или обработке информации.

Страницы: 1, 2, 3