Главная: Рефераты

Рефераты. Проблема выбора средней величины

Запишем формулы степенных средних, придавая К значения: -1,0,1,2.

При К = -1 получим среднюю гармоническую величину:

При К = 0 получим среднюю геометрическую величину:

Для раскрытия неопределенности прологарифмируем обе части степенной средней:

и подставим К = 0, получим

т.е. неопределенность типа 0 / 0.

Для ее раскрытия используем правило Лопиталя и найдем (lim (ln X)) как предел отношения производных по k числителя и знаменателя в правой части равенства

При k ® 0

Таким образом, при k= 0,

после потенцирования

При К = 1 получим среднюю арифметическую:

При К=2 среднюю квадратическую:

и т.д. для любой степени.

Приведенные выше формулы простых средних применяются в случае, если индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются.

Однако, когда в практических исследованиях отдельные значения изучаемого признака встречаются несколько раз у единиц исследуемой совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулах степенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных средних и имеют и имеют следующий вид:

средняя гармоническая:

средняя геометрическая:

средняя арифметическая:

средняя квадратическая:

где fi - частота повторения индивидуального значения признака (его вес)

Весом может быть частость, т.е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот:

Известно, что степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени К, тем больше и величина соответствующей средней:

Это свойства степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.

К средним величинам, кроме степенных средних, относят также моду и медиану.

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Например, выборочное обследование в одном из районов Москвы 12 коммерческих пунктов обмена валюты позволило зафиксировать различные цены за доллар при его продажи (данные на 10 октября 1995 г. при биржевом курсе доллара — 4493 руб.)

 

 

                                                                                                          Таблица 2

№пункта обмены валют

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

цена за один долл./руб

4500

4560

4540

4535

4550

4500

4560

4570

4560

4560

4570

450

В силу того, что данными об объеме продаж в каждом обменном пункте мы не располагаем, расчет средней арифметической с целью определения средней цены за доллар нецелесообразен. Однако можно определить то значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. И такое значение носит название медианы.

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.

Расчет медианы по несгруппированным данным производится следующим образом:

1. расположим индивидуальные значения признака в возрастающим порядке:

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10

Х11

Х12

4500

4500

4500

4535

4540

4550

4560

4560

4560

4560

4570

4570

           

2. определим порядковый номер медианы по формуле:


В нашем случае:

Это означает, что медиана в данном случае расположена между шестым и седьмым значениями признака в ранжированном ряду, т.к. ряд имеет четное число индивидуальных значений. Таким образом, Ме равна средней арифметической из соседних значений: 4550, 4560.

3. Рассмотрим порядок вычисления медианы в случае не четного числа индивидуальных значений.

Допустим, мы наблюдали не 12, а 11 пунктов обмена валюты, тогда ранжированный ряд будет выглядеть следующим образом (отбрасываем 12 пункт):

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10

Х11

4500

4500

4500

4535

4540

4550

4560

4560

4560

4560

4570

Находим номер медианы:

,

на шестом месте стоит Х = 4560, который и являются медианой Ме = 4560 руб.

Мода — Это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.

В нашем случае модальной ценной за доллар можно назвать 4560 руб. это значение повторяется 4 раза, чаще, чем все другие. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным. Определить величину моды в первичном ряду в точном соответствии с данными правилом возможно только при достаточно большом количестве наблюдений и при условии, что одно из индивидуальных значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности повторяется значительно чаще, чем все другие значения.

Методология расчета моды и медианы по сгруппированным данным рассмотрим по таблице.

                                                                                                          Таблица 3

                        Группировка банков по величине их прибыли

                                     (данные 1994 года)

                         

Размер прибыли, млрд.руб.

Число банков

1

2

3,7 — 4,6

2

4,6 — 5,5

4

5,5 — 6,4

6

6,4 — 7,3

5

7,3 — 8,2

3

Итого

20

  Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности — для данного ряда распределения. В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться только мода или медиана. Для определения их величины используются следующие формулы:

  где ХMe — нижняя граница медианного интервала;

   h — величина интервала;

   S(-1) — накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

   fMe — частота медианного интервала.

Страницы: 1, 2, 3, 4



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.