Задачи линейного программирования

Оглавление

• Введение

• Метод решения задачи

• Производственный план

• Задание по курсовому проекту

• Решение задания по курсовому проекту вручную
• Алгоритм программы
• Текст программы

Список используемой литературы

Введение

Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом. В таких случаях приходится отыскивать наилучший способ. Однако в различных ситуациях наилучшим могут быть совершенно различные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия. Пусть, например, ученик живет далеко от школы и может добраться до школы на трамвае за 30 минут или же часть пути проехать на трамвае, а потом пересесть на троллейбус и затратить при этом всего 20 минут. Оценим оба решения. Очевидно, второе решение будит лучшим, если требуется попасть в школу за минимальное время, т.е. оно лучше по критерию минимизации времени. По другому критерию (например, минимизации стоимости или минимизации числа пересадок) лучшим является первое решение. На практике оказывается, что большинство случаев понятие "наилучший" может быть выражено количественными критериями - минимум затрат, минимум отклонений от нормы, максимум скорости, прибыли и т.д. Поэтому возможна постановка математических задач отыскания оптимального (optimum - наилучший) результат, так как принципиальных различий в отыскании наименьшего или наибольшего значения нет. Задачи на отыскание оптимального решения называются оптимизационными задачами. Оптимальный результат, как правило, находиться не сразу, а в результате процесса, называемого процессом оптимизации. Применяемые в процессе оптимизации методы получили название методов оптимизации. В простейших случаях мы сразу переводим условие задачи на математический язык и получаем ее так называемую математическую формулировку. Однако на практике процесс формализации задачи достаточно сложен. Пусть, например, требуется распределить различные виды обрабатываемые в данном цехе изделий между различными типами оборудования таким образом, чтобы обеспечить выполнение заданного плана выпуска изделий каждого вида с минимальными затратами. Весь процесс решения задачи представляется в виде следующих этапов:

Изучение объекта. При этом требуется понять происходящий процесс, определить необходимые параметры (например, число различных и взаимозаменяемых типов оборудования, его производительность по обработке каждого вида изделий и т.д.).

Описательное моделирование - установление и словесная фиксация основных связей и зависимостей между характеристиками процесса с точки зрения оптимизируемого критерия.

Математическое моделирование - перевод описательной модели на формальный математический язык. Все условия записываются в виде соответствующей системы ограничений (уравнения и неравенства). Любое решение этой системы называется допустимым решением. Критерий записывается в виде функции, которую обычно называют целевой. Решение задачи оптимизации состоит в отыскании на множестве решений системы ограничений максимального или максимального значения целевой функции.

Выбор (или создание) метода решения задачи. Так как задача уже записана в математической форме, ее конкретное содержание нас не интересует. Дело в том, что совершенно разные по содержанию задачи часто приводятся к одной и той же формальной записи. Поэтому при выборе метода решения главное внимание обращается не на содержание задачи, а на полученную математическую структуру. Иногда специфика задачи может потребовать какой - либо модификации уже известного метода или даже разработки нового.

Выбор или написание программы для решения задачи на ЭВМ. Подавляющая часть задач, возникающих на практике, из-за большого числа переменных и зависимости между ними могут быть решены в разумные строки только с помощью ЭВМ. Для решения задачи на ЭВМ прежде всего следует составить (или использовать уже готовую, если аналогичная задача уже решалась на ЭВМ) программу, реализующую выбранный метод решения.

Решение задачи на ЭВМ. Вся необходимая информация для решения задачи на ЭВМ вводится в память машины вместе с программой. В соответствии с программой решения ЭВМ производит необходимую обработку в веденной числовой информации, получает соответствующие результаты, которые выдает человеку в удобной для него форме.

Анализ полученного решения. Анализ решения бывает двух видов: формальный (математический), когда проверяется соответствие полученного решения построенной математической модели (в случае несоответствия проверяются программа, исходные данные, работа ЭВМ и т.д.), и содержательный (экономический, технологический и т.п.), когда проверяется соответствие полученного решения тому объекту, который моделировался. В результате такого анализа в модель могут быть внесены изменения или уточнения, после чего весь разобранный процесс повторяется. Модель считается построенной и завершенной, если она с достаточной точностью характеризует деятельность объекта по выбранному критерию. Только после этого модель может быть использована для расчета.

Метод решения задачи

Симплексный метод был разработан известным американским математиком Дж. Данцигом и в настоящее время стал универсальным методом решения задач линейного программирования. Алгоритм метода состоит из ряда шагов.

При решении задачи симплекс методом необходимо систему уравнений привести к виду, когда какие-либо r переменные (базисные) выражены через остальные (небазисные), причем свободные члены этих выражений должны быть неотрицательными.

Пусть для определенности X1, X2, X3... Xr выражены через остальные переменные Xr+1, Xr+2, Xr+3,... Xn.

Система ограничений принимает вид:

( 1 )

где

Базис (X1, X2, X3... Xr) обозначим через Б. Пусть все небазисные переменные равны нулю:

.

Найдем из системы ( 1 ) значение базисных переменных :

В результате получаем базисное решение соответствующее базису Б .

Целевая функция F ( X1 , ...., Xn) также выражается через небазисные переменные :

Замечаем , что значение целевой функции , соответствующее базисному решению , равно : C0 : FБ = C0.

Следующим шагом алгоритма является проверка достижения оптимума . Если оптимум не достигнут , то из базиса Б удаляется одна из переменных в небазисные , а вместо нее из числа прежних небазисных переменных вводится новая . Получаем новый базис Б' .

С новым базисом поступаем так же в соответствии с содержанием шагов 1 и 2 . Если в результате этого оптимум не достигнут , то все шаги повторяем снова , причем каждый новый шаг заключается в переходе от базиса Б к новому базису Б', такому , что значение Fб уменьшается или , по крайней мере , не увеличивается: Fb'< Fb

Этот процесс оканчивается одним из трех случаев: либо находится оптимум , либо доказывается противоречивость ограничений , либо доказывается неограниченность целевой функции при базисных решениях , т. е. Тот случай , когда задача решений не имеет.

Проследим за этой последовательностью шагов на примерах.

Задача 4.2.1.Минимизировать F=X2-X1 при неотрицательных X1 и X2, удовлетворяющих системе ограничений:

Решение. Запишем ограничения как уравнения, выражающие базисные переменные через небазисные :

X3=2+2X1-X2

X4 = 2-X1+2X2

X5= 5-X1-X2

Пусть базис Б состоит из переменных X3,X4,X5. Тогда базисное решение -(0;0;2;2;5). Теперь надо выразить F через небазисные переменные . В нашем конкретном случае это, оказывается , уже сделано.

Проверим , достигла ли целевая функция своего минимального значения . Коэффициент при X1 в выражении для F отрицателен. Следовательно, возрастание X1 приведет к дальнейшему уменьшению F. Однако при увеличении X1 переменные X3 X4 X5 могут уменьшатся, и необходимо следить за тем, чтобы ни одна из них не стала отрицательной. Так как увеличение X1ведет к увеличению X3, то для этой переменной такой опасности не существует. Из анализа других базисных переменных получаем, что значение X1 может быть увеличено до 2. Такое увеличение даст X4=0, X3=6, X5=3. Этот результат нас устраивает, так как число положительных переменных такое же, как и решение. Новый базис Б' состоит из X1, X3, X5. Чтобы приступить к выполнению следующего шага, выразим эти переменные и целевую функцию F через небазисные переменные X2 и X4. Это легко сделать, если решить второе уравнение относительно новой базисной переменной X1, а подстановка этого выражения в остальные уравнения и целевую функцию F дает:

Коэффициент при X2 функции F отрицателен. Поэтому можно и дальше уменьшать целевую функцию F, увеличивая X2.однако X2 можно увеличивать не более, чем до 1: это следует из уравнения X5=3-3 X2+ X4 ( если X2>1, X4=0, то X5<0 ). Подстановка X2=1 в другие уравнения дает X1=4 и X3 =9. Еще раз выразим базисные переменные и F через небазисные:

Базис Б'' состоит из переменных X1, X2 , X3 ,

Увеличивая X4 и X5, мы уже не можем получить дальнейшего уменьшения F. Следовательно, нами получено оптимальное решение. Наименьшее значение F, равное -3, достигается при X1=4, X2=1, X3=9.

Сравним значение целевой функции, соответствующие различными базисами:

F Б = 5, F Б' = - 2 , F Б'' = - 3, 5 > - 2 > - 3 .

Задача решена.

Производственный план

Составление плана (программы) колхоза, цеха , завода, отрасли промышленности является одной из важнейших задач экономики народного хозяйства. Решение таких задач осложняется тем, что приходится находить значение не двух и не трех переменных величин - число переменных может быть от нескольких десятков до нескольких сотен и даже тысяч. Рассмотрим простейшую задачу составления производственного плана.

Страницы: 1, 2, 3