ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФГОУ ПО “ПСКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ СТРОИТЕЛЬСТВА И ЭКОНОМИКИ”
Предмет “Математические методы”
Задача линейного программирования
Курсовая работа
Студента группы 315-ПО
Андреева Дмитрия Александровича
Руководитель курсовой работы
Васильева Наталья Анатольевна
Псков 2009 г.
Содержание
Введение
Глава Й Линейное программирование
§ 1 Общая постановка задачи линейного программирования
§ 2 Математическая модель задачи линейного программирования
§ 3 Каноническая форма задачи линейного программирования
Глава ЙЙ Решение задачи симплексным методом
§ 1 Постановка задачи
§ 2 Составление математической модели задачи
§ 3 Алгоритмы решения задачи симплексным методом
§ 4 Построение начального опорного решения методом Гаусса
§ 5 Решение задачи
§ 6 Вывод
Заключение
Литература
В настоящее время множество задач планирования и управления в отраслях народного хозяйства, а также большой объём частных прикладных задач решаются методами математического программирования. Наиболее развитыми в области решения оптимизационных задач являются методы линейного программирования. Эти методы позволяют описать с достаточной точностью широкого круга задач коммерческой деятельности, таких, как планирование товарооборота; размещение розничной торговой сети города; планирование товароснабжения города, района; прикрепление торговых предприятий к поставщикам; организация рациональных перевозок товаров; распределение работников торговли должностям; организация рациональных закупок продуктов питания; распределение ресурсов; планирование капиталовложений; оптимизация межотраслевых связей; замена торгового оборудования; определение оптимального ассортимента товаров в условиях ограниченной площади; установление рационального режима работы.
В задачах линейного программирования критерий эффективности и функции в системе ограничений линейны.
Если содержательный смысл требует получения решения в целых числах, то такая задача является задачей целочисленного программирования.
Если в задаче математического программирования имеется переменная времени, а критерий эффективности выражается через уравнения, описывающие течение операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.
Во многих экономических моделях зависимости между постоянными и переменными факторами можно считать линейными.
Использование методов математического программирования в коммерческой деятельности связано со сбором необходимой информации коммерсантом, экономистом, финансистом, затем постановкой задачи вместе с математикой. Поскольку методы математического программирования уже реализованы на компьютере в виде пакета стандартных программ, то доступ к ним обычно прост, автоматизирован и не составляет особых трудностей.
Тогда эксплуатация модели включает в себя сбор и обработку информации, ввод обработанной информации в ЭВМ, расчеты на основе разработанных программ календарных планов и, наконец, выдачу результатов вычислений (в удобном для пользователей виде) для их использования в сфере производственной деятельности.
Линейное программирование - это направление математического программирование изучающая методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейной целевой функцией. Для решения задач линейного программирования составляется математическая модель задачи и выбирается метод решения.
Постановка задачи коммерческой деятельности может быть представлена в виде математической модели линейного программирования, если целевая функция может быть представлена в виде линейной формы, а связь с ограниченными ресурсами описать посредством линейных уравнений или неравенств. Кроме того, вводится дополнительное ограничение - значения переменных должны быть неотрицательны, поскольку они представляют такие величины, как товарооборот, время работы, затраты и другие экономические показатели.
Геометрическая интерпретация экономических задач даёт возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задача линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трёхмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых более трёх, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства задач линейного программирования, приводит к идее её решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.
Перед решением задачи составляем её математическую модель.
Математическая модель - это совокупность соотношений состоящие из линейной целевой функции и линейных ограничений на переменную.
Принцип составления математической модели.
1. Выбирают переменные задачи.
Переменными задачи называются величины которые полностью характеризуют экономический процесс, описанный в задачи. Обычно записываются в виде вектора X = () Причём )
2. Составляют систему ограничения задачи.
Система ограничений - это совокупность уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которая следует из ограниченности экономических условий задачи.
В общем виде система записывается в виде
3. Задают целевую функцию.
Целевая функция - это функция Z(X) которая характеризует качество выполнения задачи, экстремум которой надо найти. В общем виде целевая функция записывается Z(X) = (max, min)
т.о. математическая модель имеет вид найти переменные задачи удовлетворяющие системе ограничений:
и условию неотрицательности 0 (j = ), которая обеспечивает экстремум целевой функции Z(Y) =
Допустимым решением задачи линейного программирования называется любой набор значений переменных удовлетворяющий системе ограничений и условной неотрицательности.
Множество допустимых решений образует область допустимых решений задачи (ОДР).
Оптимальным решением называется допустимое решение задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.
Математическая модель задачи должна иметь каноническую форму.
Если система ограничения состоит только из уравнения и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, то задача имеет каноническую форму.
Если в системе есть хотя бы одно неравенства или какая-либо переменная неограниченна условию неотрицательности, то задача имеет стандартную форму. Чтобы привести задачу к каноническому виду надо:
перейти от неравенств к уравнению следующим образом: в левую часть неравенств вводим дополнительную переменную с коэффициентом (+1) для неравенства () и (-1) для неравенства () дополнительные переменные не наложены целевые неотрицательности, то её заменяют разностью двух неотрицательных переменных, то есть:
= - (
Общий вид канонической формы:
Симплексный метод - это метод последовательного улучшения плана (решения), наиболее эффективный и применяется для решения любой задачи линейного программирования.
Название метода от латинского simplecx - простой т.к. из начального область допустимых решений задачи имела простейший вид. Идеи метода предложил российский математик Контарович Л.В. в 1939 году и затем эту идею развил и разработал Дж. Данциг в 1949 году.
Симплексный метод позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение либо доказать что его нет.
На предприятии в процессе производства используется 3 вида станков Й, ІЙ, ІЙІ. При этом расходуется сырьё, трудовые ресурсы, и учитываются накладные расходы.
Известно, что для изготовления станка Й - ого вида требуется 4 ед. сырья, 2 ед. трудовых ресурсов и 10 ед. накладных расходов; станка ЙІ - ого вида 6 ед. сырья, 2 ед. трудовых ресурсов и 8 ед. накладных расходов; для станка ЙЙІ - ого вида требуется 4 ед. сырья, 2 ед. трудовых ресурсов и 18 ед. накладных расходов; Предприятие имеет в наличии 420 ед. сырья, 120 ед. трудовых ресурсов и 250 ед. накладных ресурсов.
Прибыль от реализации станка І вида - 28 тыс. руб., ІЙ вида - 24 тыс. руб., ЙІЙ вида - 20 тыс. руб. Условия производства требует, чтобы трудовые ресурсы были использованы полностью, а накладные расходы были бы не менее имеющихся в наличии.
Составить план производства станков, обеспечивающих максимальную прибыль.
Записываем условие задачи в виде таблицы.
Таблица
Вид ресурса
Расход рес. на производство ед. продукции
Запас ресурса
Й
ІЙ
ІЙІ
сырьё
4
2
10
420
трудовые ресурсы
6
8
120
накладные расходы
18
250
Прибыль
28
24
20
max
Страницы: 1, 2
