Тому найпоширенішою для подання чисел у пам'яті комп'ютера є двійкова система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів. Ця система є близькою до оптимальної за економічністю, і крім того, таблички додавання й множення в цій системі елементарні.
Оскільки 23=8, а 24=16 , то кожних три двійкових розряди зображення числа утворюють один вісімковий, а кожних чотири двійкових розряди - один шістнадцятковий. Тому для скорочення запису адрес та вмісту оперативної пам'яті комп'ютера використовують шістнадцяткову й вісімкову системи числення.
В процесі налагодження програм та в деяких інших ситуаціях у програмуванні актуальною є проблема переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Якщо основа нової системи числення дорівнює деякому степеню старої системи числення, то алгоритм переводу дуже простий: потрібно згрупувати справа наліво розряди в кількості, що дорівнює показнику степеня і замінити цю групу розрядів відповідним символом нової системи числення. Цим алгоритмом зручно користуватися коли потрібно перевести число з двійкової системи числення у вісімкову або шістнадцяткову. Наприклад, 101102=10 110=268, 10111002=101 1100=5C8
у двійковому відбувається за зворотнім правилом: один символ старої системи числення заміняється групою розрядів нової системи числення, в кількості рівній показнику степеня нової системи числення. Наприклад, 4728=100 111 010=1001110102, B516=1011 0101=101101012
Як бачимо, якщо основа однієї системи числення дорівнює деякому степеню іншої, то перевід тривіальний. У протилежному випадкові користуються правилами переведення числа з однієї позиційної системи числення в іншу (найчастіше для переведення із двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення у десяткову, і навпаки).
Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему числення з основою q, використовуючи арифметику нової системи числення з основою q, потрібно записати коефіцієнти розкладу, основи степенів і показники степенів у системі з основою q і виконати всі дії в цій самій системі. Очевидно, що це правило зручне при переведенні до десяткової системи числення.
Наприклад:
з шістнадцяткової в десяткову:
92C816=9*10163+2*10162+C*10161+8*10160=
9*16103+2*16102+12*16101+8*16100=37576
з вісімкової в десяткову:
7358=7*1082+3*1081+5*1080= 7*8102+3*8101+5*8100=47710
з двійкової в десяткову:
1101001012=1*1028+1*1027+0*1026+1*1025+0*1024+0*1023+1*1022+0*1021+1*10
20=1*2108+1*2107+0*2106+1*2105+ 0*2104+0*2103+1*2102+0*2101+ 1*2100=42110
Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему числення з основою q з використанням арифметики старої системи числення з основою p потрібно:
§ для переведення цілої частини:
o послідовно число, записане в системі основою p ділити на основу нової системи числення, виділяючи остачі. Останні записані у зворотному порядку, будуть утворювати число в новій системі числення;
§ для переведення дробової частини:
o послідовно дробову частину множити на основу нової системи числення, виділяючи цілі частини, які й будуть утворювати запис дробової частини числа в новій системі числення.
Цим самим правилом зручно користуватися в разі переведення з десяткової системи числення, тому що її арифметика для нас звичніша.
Приклади переведення чисел у двійкову, вісімкову та шістнадцяткову системи числення.
1.Переведення з десяткової в двійкову систему числення:
2001,100210= 11111010001,000112
для цілої частини:
2001 2
2000
1 1000 2
1000
0 500 2
500
0 250 2
250 125 2
0 124
1 62 2
62
0 31 2
30
1 15 2
14
1 7 2
6
1 3 2
1 1
для дробової частини:
0, 1002 *2
0 2004
0 4008
0 8016
1 6022
1 2044
0 4088
0 8176
1 6352
Перевірка:
1024;512;256;128;64;32;16;8;4;2;1.
1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1=2001
1/2;1/4;1/8;1/16;1/32;1/64;1/128;1/256
0 0 0 1 1 0 0 1=1/16+1/32+1/256=25/256?0,0977
похибка для дробової частини:
0,1002-0,0977=0,0025 - абсолютна похибка.
0,0025/0,1002*100%?2,5% - відносна похибка.
2.Переведення з десяткової у вісімкову систему числення:
2001,100210=3721,06323268
2001 8
1 250 8
248
2 31 8
24
7 3
0, 1002 *8
6 4128
3 3024
2 4192
3 3536
2 8288
6 6304
a0=1; a1=2; a2=7; a3=3; q=8.
a0*q0+a1*q1+a2*q2+a3*q3=1*1+2*8+7*64+3*512=2001.
a-1=0; a-2=6; a-3=3; a-4=2; a-5=3; a-6=2; a-7=6; q=8.
a-1*q-1+a-2*q-2+a-3*q-3+a-4*q-4 +a-5*q-5+a-6*q-6+a-7*q-7= 0*1/8+6*1/64+3*1/512+
+2*1/4096+3*1/32768+2*1/262144+6*1/2097152?0,1002
3.Переведення з десяткової до шістадцяткової системи числення:
2001,100210=7D1,19A6B516
2001 16
1 125 8
112
D 7
0, 1002 *16
1 6032
9 6512
A 4195
6 7072
B 3152
5 0432
0 6912
a0=1; a1=13; a2=7; q=16.
a0*q0+a1*q1+a2*q2=1*1+13*16+7*256=2001.
a-1=1; a-2=9; a-3=A; a-4=6; a-5=B; a-6=5; q=16.
a-1*q-1+a-2*q-2+a-3*q-3+a-4*q-4 +a-5*q-5+a-6*q-6= 1*1/16+9*1/256+10*1/4096+
+6*1/65536+11*1/1048576+5*1/16777216?0,1001
0,1002-0,1001=0,0001 - абсолютна похибка.
0,0001/0,1002*100%=0,1% - відносна похибка.
Приклади додавання чисел у двійковій системі числення.
A=20
B=10
Знайти: 1.A+B; Прямий код: +20=0.10100 Зворотній код: -20=1.01011
2.A-B; +10=0.01010 -10=1.10101
3.-A+B; -20=1.10100
4.-A-B. -10=1.01010
1. A+B. 0.10100+0.01010=0.11110 (П.К.=З.К.)
перевірка:
a0*q0+a1*q1+a2*q2+a3*q3+a4*q4=0*1+1*2+1*4+1*8+1*16= 30.
2. A-B. 0.10100+1.10101=10.01001=0.01010(П.К.=З.К.)
a0*q0+a1*q1+a2*q2+a3*q3+a4*q4=0*1+1*2+0*4+1*8+0*16= 10.
3. -A+B. 1.01011+0.01010=1.10101-З.К. 1.01010 - П.К.
a0*q0+a1*q1+a2*q2+a3*q3+a4*q4=0*1+1*2+0*4+1*8+0*16= -10.
4. -A-B. 1.01011+1.10101=11.00000=1.00001-З.К. 1.11110 - П.К.
a0*q0+a1*q1+a2*q2+a3*q3+a4*q4=0*1+1*2+1*4+1*8+1*16= -30.
Висновок.
Отже, у двадцятому тисячолітті одним з найвизначніших досягнень людства стала інформатика. Для пересічного користувача ця наука дозволила спростити такі процеси, як написання документів, розрахунки, і найголовніше - передачу інформації. Також у процесі розвитку інформатики, стала необхідність у використанні кодування. Найбільш зручним було обрано використання двійкової системи числення. Вона виявилася найбільш ефективною та економною. Це можна побачити на прикладах наведених вище. Також ця система була обрана, так як вона є першоосновою всіх кодувальних систем.
Використана література.
1. Клименко О.Ф. та ін. Інформатика та комп'ютерна техніка. Навчальний посібник - К:КНЕУ,2002
2. Руденко В.Д. та ін. Курс інформатики.
3. Г.Єсеєв та ін. Ви купили комп'ютер 1000 порад.
4. Інтернет.
Страницы: 1, 2, 3
