Складемо математичну модель задачі.
Позначимо через xj (j =) плановане до випуску кількість продукції Рj (j=), а через Z (х1, ..., xn) - прибуток підприємства від реалізації всієї продукції. Тоді планом виробництва буде вектор Х = (х1, ..., хn), що показує, яку кількість продукції кожного виду буде вироблено. Змінні х1, ..., хn - керовані змінні. Мета рішення задачі (критерій оптимальності) - максимізувати прибуток:
Z = c1x1 + c2x2 +. . . + cnxn .
Сумарні витрати ресурсу Si (i = складають:
.
У силу обмеженості ресурсу Si величиною bi отримаємо систему обмежень:
На змінні хj повинна бути накладена умова невід'ємності
тобто продукція Рj або може випускатися (xj > 0), або не випускатися (xj = 0).
Отже, математична модель буде мати вид:
,
1.2.2 Задача про суміші
Задача визначення оптимального складу суміші виникає тоді, коли з наявних видів сировини шляхом їх змішування необхідно отримати кінцевий продукт із заданими властивостями. До цієї групи завдань відносяться, наприклад, завдання отримання сумішей для різних марок бензину в нафтопереробній промисловості, сумішей для отримання бетону в будівництві, завдання про вибір дієти, складання кормового раціону в тваринництві та інше. При цьому потрібно, щоб вартість такої суміші була мінімальною.
Нехай є m видів сировини, запаси якого становлять відповідно d1, ..., dm. З цієї сировини необхідно скласти суміш, яка містить n речовин, що визначають технічні характеристики суміші. Відомі величини визначають кількість j-ї речовини в одиниці-го виду сировини, ціна якого дорівнює а також найменший допустимий кількість j-ї речовини в суміші.
Потрібно забрати суміш із заданими властивостями при найменших витратах на вихідні сировинні матеріали.
Для складання математичної моделі запишемо умови задачі у вигляді таблиці:
Таблиця 2.
Вид речовини
Вид сировини
1
...
j
n
Обсяг сировини
Ціна
сировини
a11
a1j
a1n
d1
c1
…
i
ai1
aij
ain
di
ci
m
am1
amj
amn
dm
cm
Мінімальна кількість речовини в суміші
b1
bj
bn
Позначимо через хi кількість сировини і-го виду, що входить у склад суміші.
Мета завдання (цільова функція) - мінімізувати сумарні витрати на сировину:
Система обмежень включає в себе обмеження за технічними характеристиками:
а також обмеження за обсягом сировини, які з урахуванням невід'ємності будуть мати вид:
Запишемо модель у компактній формі:
при обмеженнях:
1.2.3 Задача про розкрій
Задача оптимального розкрою матеріалів полягає у визначенні найбільш раціонального способу розкрою наявного матеріалу (колоди, сталеві смуги, шкіра і т.д.), при якому буде виготовлено найбільшу кількість готових виробів у заданому асортименті чи буде досягнуто найменшу кількість відходів. Нехай на обробку поступає a одиниць сировинного матеріалу одного виду (наприклад, a колод однієї довжини). З нього потрібно виготовити комплекти, в кожен з яких входить n видів виробів у кількості, пропорційній числах. Є m способів розкрою (обробки) даного матеріалу, тобто відомі величини визначають кількість одиниць j-х виробів при i-му способі розкрою одиниці сировинного матеріалу [10].
Визначити план розкрою, що забезпечує максимальну кількість комплектів. Згідно з умовами завдання маємо таблицю розкрою:
Таблиця 3.
Вид виробу
Спосіб
розкрою
Нехай - кількість одиниць сировинного матеріалу, розкроюється i-м варіантом ( .
Тоді кількість виробів 1-го виду одно:
Беручи до уваги умову комплектності, маємо:
де y - кількість комплектів.
Аналогічні рівності можна записати і для всіх інших видів виробів, тобто умова комплектності призводить до системи обмежень:
Очевидно, що
(на розкрій надходить a одиниць сировинного матеріалу), а також
Мета задачі - максимізувати кількість комплектів:
Отже, приходимо до математичної моделі задачі про розкроєння:
Щоб виразити цільову функцію через змінні x1,…,xm, достатньо скористуватися будь-яким із співвідношень:
1.2.4 Транспортна задача
Розглянемо транспортну задачу, тобто завдання, в якій мова йде про раціональну перевезення деякого однорідного продукту від виробників до споживачів.
Нехай є m пунктів виробництва однорідного продукту (видобуток руди в кар'єрах, виробництво автобусів, кондитерських виробів, комп'ютерів і т.д.) і n пунктів споживання цього продукту. Потужності пунктів виробництва складають аi одиниць однорідного продукту, а потреби кожного j-го пункту споживання рівні одиниці. Відомі витрати на перевезення одиниці продукту від i-го постачальника j-му споживачеві. Скласти такий план перевезень, при якому сумарні витрати на всі перевезення були б найменшими. Нехай попит і пропозиція збігаються, тобто Таку транспортну задачу називають збалансованою (закритою). При цьому передбачається, що вся продукція від постачальників буде вивезена і попит кожного із споживачів буде задоволений [7]. Складемо математичну модель задачі. кількістьПозначимо через продукту, що перевозиться з i-го пункту виробництва в j-й пункт споживання. Тоді матриця:
план перевезень.
Матрицю називають матрицею витрат (тарифів).
Внесемо початкові дані і перевезення в транспортну таблицю:
Таблиця 4.
ai
b2
a1
c11
x11
c12
x12
c1n
x1n
a2
c21
x21
c22
x22
c2n
x2n
am
cm1
xm1
cm2
xm2
cmn
xmn
Страницы: 1, 2, 3