1
Міністерство освіти і науки України
Вінницький національний технічний університет
Інститут АЕКСУ
Кафедра АІВТ
Контрольна робота
з дисципліни:
“Моделювання на ЕОМ”
Дослідження однокрокових методів розв'язання звичайних диференційних рівнянь
Виконав: ст. гр. 1АМ-04_____ Балко О.О.
Перевірив: доцент каф.АІВТ_____ Кабачій В.В.
2007
Вступ
На даний момент велика роль в розвитку сучасного світу відводиться підвищенню технічного рівня обчислювальної техніки, пристроїв і засобів автоматизації. Це передбачає розвиток виробництва і широке використання промислових роботів, систем автоматичного управління з використанням мікропроцесорів і мікро-ЕОМ, створення гнучких автоматизованих виробництв. Розв'язок цих задач потребує широкого упровадження в інженерну практику методів обчислювальної математики.
Обчислювальна математика заснована на чисельних методах, придатних до застосування при розрахунках на ЕОМ. Сучасні ЕОМ дозволили дослідникам значно підвищити ефективність математичного моделювання складних задач науки і техніки. Нині методи дослідження проникають практично в усі сфери людської діяльності, а математичні моделі стають засобами пізнання.
Значення математичних моделей неперервно зростає у зв'язку з тенденціями до оптимізації технічних пристроїв і технологічних схем планування експерименту. Реалізація моделей на ЕОМ здійснюється за допомогою різноманітних методів обчислювальної математики, яка неперервно удосконалюється.
В даній роботі розглянуті однокрокові методи розв'язання звичайних диференційних рівнянь(на прикладі диференційного рівняння першого порядку), а саме прямий та зворотній методи Ейлера, та метод Рунге-Кутта.
Розробленна програма дозволяє розв'язати вказане диференційне рівняння методами Ейлера (прямим та зворотним) та Рунге-Кутта, порівняти їх результати та визначити похибки
В основі програми лежить загальний алгоритм розв'язку диференційних рівнянь однокроковими методами.
Алгоритм:
1.за початковим значенням x,y знаходимо наступну точку кривої y=f(x) при кроці h=0.1;
2.знаходимо нові значення x,y;
3.перевряємо чи х належить проміжку, на якому шукаються розв'язки: якщо х належить цьому проміжку, то алгоритм повторюється з пункту 1, де замість початкових значень x,y; використовуються нові(обчислені в пункті 2); якщо ні, то алгоритм припиняє свою роботу ;
4.аналогічно шукаються розв'язки цього ж рівняння , але при кроці h=0.05;
5.Знаходження похибки зводиться до:
· знаходження C за формулою
с=(y1-y2))/(St(h1,p+1)-St(h2,p+1))
де y1,y2-значення в одній тій самій точці розв'язку,
але обчисленні з різним кроком;
St - функція піднесення до степеня, де р+1 степінь, а h1(h2) числа, що підносяться до степеня.
· знаходження глобальної похибки, шляхом додавання похибок знайдених на кожному кроці обчислень;
Для данного завдання, формули знаходження наступних значень за попердніми мають вигляд:
· прямий метод Ейлера:
yn:=yn+h*(yn+0.7*xn+1.2);
· зворотній метод Ейлера:
yn:=yn+h*(0.7*xn+1.2)/(1-h);
метод Рунге-Кутта
yn=yn+((k0+2*k1+2*k2+k3)/6);
2.1 Блок-схеми алгоритмів розв'язку даного диференційного рівняння
3 Вхідні та вихідні дані
Вхідними даними програми є: крок обчислення і задане диференціальне рівняння.
Вихідними даними програми є: графіки, таблиця з рішеннями диференціального рівняння і похибки обчислень.
4. Аналіз результатів моделювання
Розроблена програма дозволяє розв'язувати дане диференційне рівняння трьома методами. З результатів обчислень ми можемо перевірити функціональність програми і точність кожного з методів.
Прямий метод Ейлера:
Крок 0.1
Крок 0.05
Похибка
1.000000
0.000000
1.220000
1.227250
0.009667
1.469000
1.484968
0.030958
1.749900
1.776278
0.066128
2.065890
2.104621
0.117769
2.420479
2.473795
0.188856
2.817527
2.887984
0.282799
3.261280
3.351802
0.403495
3.756408
3.870337
0.555401
4.308049
4.449197
0.743598
1.244444
1.239515
0.006572
1.523827
1.512468
0.021717
1.842030
1.822472
0.047795
2.203367
2.173528
0.087580
2.612630
2.570073
0.144322
3.075144
3.017020
0.221821
3.596827
3.519814
0.324504
4.184252
4.084490
0.457521
4.844725
4.717731
0.626846
1.229469
1.229644
0.000026
1.489718
1.489644
0.000103
1.783814
1.783663
0.000259
2.115130
2.114874
0.000524
2.487374
2.486981
0.000930
2.904625
2.904060
0.001513
3.371367
3.370593
0.002312
3.892533
3.891508
0.003370
4.473544
4.472224
0.004732