Детерминант (определитель) -- это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.
Минором некоторого элемента аij определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.
Итерация -- это повторное применение каких-либо математических операций. Происходит от латинского “iteratio” ,что в переводе значит “повторение”.
Решение.
1). Математический расчет решения системы уравнений методом обратной матрицы.
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
а). Рассмотрим матрицы:
-- матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных):
0,1 4,6 7,8
А = 2,8 6,1 2,8
4,5 5,7 1,2
-- матрица неизвестных:
x1
X = x2
x3
-- матрица свободных членов:
9,8
B = 6,7
5,8
б). Найдем детерминант (определитель) матрицы А.
По определению: det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 ,
где a11 , a12 , a13 -- элементы первой строки матрицы A,
A11 , A12 , A13 -- их алгебраические дополнения.
- если detA = 0, то обратной матрицы не существует;
- если detA ? 0, то обратная матрица существует.
Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения.
По определению: Aik = (-1)i+k · Mik ,
где i - номер строки матрицы,
k - номер столбца матрицы,
M - минор.
- если сумма i+k четная, то Aik = 1 · Mik
A11 = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64
A12 = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24
A13 = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49
Теперь мы можем сосчитать детерминант.
detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982
detA ? 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.
в). Найдем обратную матрицу А-1.
По определению:
A11 A21 A31
A-1 = A12 A22 A32 · 1/ detA ,
A13 A23 A33
где А11 , …, А33 - алгебраические дополнения матрицы А.
Для нахождения обратной матрицы А-1, сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А:
A21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94
5,7 1,2
A22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98
4,5 1,2
A23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13
4,5 5,7
A31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7
6,1 2,8
A32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56
2,8 2,8
A33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24
2,8 6,1
Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А-1, подставив в формулу полученные данные:
1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411
- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A-1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516
- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089
Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:
A-1 · A = E, где E - единичная матрица, то обратная матрица найдена верно.
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8
A-1 · A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2
Произведем промежуточные вычисления:
С11 = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1
C12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0
C13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0
C21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0
C22 = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1
C23 = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0
C31 = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0
C32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0
С33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1
1 0 0
A-1 · A = 0 1 0 = E
0 0 1
Обратную матрицу нашли верно.
г). Найдем матрицу X (матрицу неизвестных).
По определению: X = A-1 · B ,
где B -- исходная матрица B (матрица свободных членов).
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737
X = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 6,7 = 0,391105
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069
Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений:
x1 = 0,521737
x2 = 0,391105
x3 = 1,019069
д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:
0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8
2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5