К булевым моделям сводятся большое число прикладных задач, что свидетельствует о перспективности моделей этого класса. [85]

В постановках ряда прикладных задач имеются некоторые особенности, касающихся целевой функции либо области ограничений. К примеру, необходимо определить, экстремум неординарной разрывной функции на выпуклом многограннике вида

где

Эти модели образуют класс моделей с неоднородной разрывной целевой функцией.

Модели нахождения экстремума на области, задаваемой не только линейными неравенствам (ограничениями) но и логическими условиями. Такие области оказываются невыпуклыми либо несвязными. Эти задачи образуют модели на не классических областях. [84]

Особый интерес исследователей вызывают многоэкстремальные модели, в которых необходимо определить оптимальные значения более одной целевой функции при наличии (либо отсутствии) систем ограничений. Как правило, модели этого класса сложны в вычислительном отношении. Вместе с тем, постановки целого ряда прикладных задач сводятся к моделям данного класса. Решение указанных задач является актуальным. [103, 105, 107]

Одной из первоначальных моделей, безусловно, является модель транспортной задачи с которой связаны многие исследования в области дискретного программирования. Эти исследования привели к моделям потоков в сетях и другим модификациям указанных задач.

Следует отметить, что разработка моделей тесно связана с методом ее реализации, и наоборот разработка новых методов, в свою очередь, приводит к появлению новых моделей для постановки прикладных задач.

Методы решения задач дискретного программирования (ДП). В задачах ДП методы их решения зачастую связаны с их математической постановкой и особенностями. Имеется большое число методов для решения этих задач. В этой связи целесообразно выделить следующие методы решения задач ДП: точные и приближенные. Среди точных методов наиболее распространены комбинаторные методы и методы отсечения.

Типичным примером комбинаторных методов является метод ветвей и границ [115]. Суть данного метода заключается в направленном переборе допустимых решений на основе вычисления оценок. Основное этапы подхода заключается в следующем:

1. Исходное множество решений разбиваются не подмножества (процесс ветвления);

2. Для каждого из подмножеств вычисляется значения оценок (нижние или верхние границы);

3. На основе выбранного значения оценок вычисляются допустимые решения;

4. Итерационный процесс ветвления по заданному правилу и вычисление оценок продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Идея метода отсечений заключается в следующем. Решается исходная задача. Если полученное решение удовлетворяет условию целочисленности, то задача решена. В противном случае к ограничениям исходной задачи добавляется новое линейное ограничение. Далее решается задача с дополнительно введенным ограничением. Итеративный процесс повторяется, до тех пор, пока не будет получено целочисленное решение.

Примерами успешной реализации методов отсечения являются алгоритмы Гомори [83] .

Вместе с тем, следует отметить ограниченное использование точных методов для решения прикладных задач большой размерности. Несмотря на использование мощных вычислительных систем с большой памятью, совершенствование и развитие математического аппарата «проклятье дискретности» остается и на сегодняшний день.

Поэтому для эффективного решения прикладных задач и преодоления вычислительной сложности точных методов возникла необходимость разработки приближенных и эвристических методов, которые тесно связаны со структурой и особенностями постановки этих задач.

В отличие от точных методов, приближенные позволили решать задачи большой размерности и полученные решения удовлетворяют потребностям практики. При этом в ряде случаев появилась возможность оценить отклонение от оптимального решения либо определить ближайшие окрестности от оптимального решения.

Все это позволило использовать приближенные методы в качестве эффективного инструментария для решения практических задач.

В ряде случаев при проектировании систем обработки данных необходимо учитывать вектор критериев, которые могут противоречить друг другу. Такие постановки задач сводятся к многокритериальным задачам дискретного программирования.

Математическая постановка - критериальной задачи предпологает, что задано множество допустимых решений , на котором определена векторная целевая функция (ВЦФ) [98,99].

,(1.2.4)

Причем критерии ВЦФ считаем минимизируемыми:

Fv(x)>min, v=1,2,…,N.(1.2.5)

Элемент называется Парето-оптимальным, если не существует такого допустимого решения , что выполняются неравенства , v=1, 2,…, N, среди которых хотя бы одно является строгим.

Через обозначаем паретовское множество (ПМ), состоящее из всех Парето-оптимальных элементов рассматриваемой задачи с ВЦФ (1) на множестве . Эта задача называется дискретной, если мощность множества ее допустимых решений конечна.

Первоначальная формулировка проблемы многокритериальной (векторной) оптимизации восходит к [98, 99] и состоит в нахождении одного или всех элементов ПМ . Заметим, что в однокритериальном случае () ПМ представляет собой множество всех оптимумов данной оптимизационной задачи. Для последней, однако, более естественной является проблема нахождения какого-либо («первого попавшегося») оптимума. Как обобщение этой проблемы для многокритериального случая в настоящей работе в качестве основной рассматриваем проблему нахождения полного множества альтернатив (ПМА). Подмножество назовем ПМА, если оно удовлетворяет двум условиям: его мощность минимально и выполняется , где , где

.

Множество и будем называть множествами альтернатив (МА). В литературе наряду с МА изучается и другие подмножество паретовского множества.

В системном моделировании, в частности, в теорий выбора и принятия решений наиболее распространенными способами нахождения МА являются следующие.

1. Построение (определение) детерминированного формального механизма, позволяющего генерировать альтернативы с помощью параметров алгоритма или с помощью параметров формулы . [100-103]

2. Представление МА в неявном виде с помощью системы соотношений (ограничений ). [104-105]

3. Перечисление всех элементов МА, т.е. представление каждого элемента МА в явном виде. [108, 109]

В работе [121], именно в контексте алгоритмической проблемы, относящейся к последнему из указанных выше трех способов, осуществляется обоснование оценок мощности МА для таких многокритериальных дискретных задач, как задачи о совершенных паросочетаниях, о коммивояжере, о цепях между парой вершин и другие при этом нахождение МА понимается как перечисления с предъявлением всех его элементов [110, 100]. При определенных условиях нижние оценки мощности ПМ и ПМА перечисленных задач оказывается экспоненциальным. Последнее означает, что для рассматриваемых задач проблема нахождения МА является труднорешаемой [110,111]. Или (в терминологии [112,113]) она имеет экспоненциальную вычислительную сложность.

Следуя, [112], рассматриваемую - критериальную задачу назовем индивидуальной, если все ее параметры имеют фиксированные значения. Говорим о массовой - критериальной задаче или, коротко, о задаче, если для некоторых параметров заданы не фиксированные значения, а диапазоны их изменения.

Анализируя приложения той или другой задачи, нетрудно убедиться, что состав критериев ВЦФ обычно меняется. Например, в системах автоматизированного проектирования электронной техники [114-118] возникает многокритериальные задачи на графах, в которых остовное дерево (связывающая сеть) может оценивается такими критериями, как вес, «узкое место» (минимаксный критерий), степень, диаметр и т.д. [119,120]. При этом по мере необходимости эти критерии входят в состав ВЦФ в разнообразных комбинациях, порождая различные варианты задач об остовных деревьях. Общим у этих задач является лишь множество допустимых решений , каждый элемент которого является связным остовным подграфом данного графа.

Используя понятие «задача» как переменное, употребляем для ее обозначения символ [120]. Конкретизируя рассматриваемую задачу, т.е. определяя для нее множество допустимых решений , присваиваем ей общепринятое наименование и собственное, отличающее её от других задач, обозначение .

Перечислим рассматриваемые здесь дискретные многокритериальные задачи:

1. - задача о совершенных паросочетаниях, в которой - совершенное паросочетание графа с четным числом вершин ;

2. - задача об остовных деревьях, - остовное дерево связного -вершинного графа;

3. - задача о цепях, - простая цепь между выделенной парой вершин графа ;

4. - задача о коммивояжере, - гамильтонов цикл в -вершинном графе;

5. - задача о покрытии -вершинного графа цепями, - остовной подграф, компонентами связности которого являются простые цепи, причем покрытие может представлять собой либо совершенное паросочетание, либо трисочетание, либо состоять из 2- и 3-вершинных цепей.

6. - задача о назначениях, т.е. задача о совершенных паросочетаниях на двудольном графе , , - совершенное паросочетание на .

Таким образом, решение многокритериальных задач ДП весьма сложно в вычислительном отношении, о чем свидетельствует результаты исследований.

По мере развития моделей и методов дискретного программирования, постановки новых задач и других приложений появляется необходимость разработки новых подходов моделей и методов решения задач.

1.3 Постановка задачи исследования

Проектирование систем обработки данных многоэтапный и длительный процесс в зависимости от сложности проектируемой информационной системы.

В настоящее время в процессе проектирования СОД широко используются системы управления базами данных (СУБД), система автоматизации процесса проектирования программного и информационного обеспечения и множество других вспомогательных инструментальных средств. Вместе с тем процесс проектирования систем обработки данных остается творческим процессом, зависящим от опыта знаний и способностей разработчиков. При этом наиболее сложным и длительным является разработка прикладного программного и информационного обеспечения систем обработки данных.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16