2. Анализ нелинейных стационарных объектов

Цель работы: исследовать параметры нелинейных стационарных объектов, описываемых системами нелинейных алгебраических уравнений, используя для их решения средства пакета MathCAD.

Содержание работы:

1) изучить теоретические положения (раздел 2.1), раскрывающие структуру нелинейных стационарных объектов, их математическое описание и пример решения систем нелинейных алгебраических уравнений средствами пакета MathCAD, используемый для анализа такого рода объектов;

2) выполнить индивидуальное задание согласно предусмотренной в разд.2.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание раздела по контрольной работе согласно требованиям задания.

2.1. Краткие теоретические сведения

Структура и математическая модель объекта

Структурная схема нелинейного стационарного объекта имеет вид:

Такой объект представляет собой систему, которая имеет два входа х1 и х2 с постоянными значениями в установившемся режиме и два выхода в1 и в2. Структура объекта определяется сумматором S1 , умножителем М1, двумя линейно- усилительными блоками а1 , а2 и системой связей между ними.

В отличие от линейных стационарных объектов нелинейные описываются системами нелинейных алгебраических уравнений.

Математическая модель, соответствующая такой схеме, имеет вид:

а1х1 +а2х2=в1;

х1х2=в2

2.1.2. Анализ объектов

Исследование такого рода объектов состоит в определении значений входных воздействий х1 ,х2 в зависимости от значений выходов в1 и в2 при заданных параметрах объекта а1 и а2 .

Реализация решения задачи исследования нелинейного стационарного объекта в такой постановке может быть осуществлена с помощью средств системы символьной математики MathCAD 7.0 PRO .

2.1.3. Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

2.1.3.1. Постановка задачи. Пусть дано уравнение

, (2.1)

где функция определена и непрерывна на некотором интервале (А,В). Всякое значение , обращающее функцию в нуль, то есть такое, при котором , называется корнем уравнения (2.1), а процесс нахождения называется его решением.

Если функция представляет собой многочлен относительно , то уравнение называется нелинейным алгебраическим (например, ); если в функцию входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.) функции, то такое уравнение называется трансцендентным (например, ).

2.1.3.2. Характеристика методов. Методы решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений (НАТУ) делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Однако прямые методы имеются только для ограниченного круга уравнений, поэтому на практике более широко используются итерационные методы.

В итерационных методах процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному.

В общем случае задача решается в 2 этапа:

определение приближенных значений корней уравнения;

уточнение корней до заданной степени точности с помощью одного из итерационных методов.

Для определения приближенных значений корней уравнения используются:

1) Построение графика функций и приближенное определение точек, где кривая пересекает ось Х.

Запись уравнения в виде и построение графиков двух функций: и . Точка их пересечения и есть корень исходного уравнения (5.1).

На втором этапе происходит уточнение корня с использованием критерия окончания итерационного процесса.

Итерационный процесс следует оканчивать, когда < , т.е. при близости двух последовательных приближений к корню.

Одним из итерационных методов для уточнения корня является метод Ньютона.

2.1.3.3. Метод Ньютона

2.1.3.3.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Приняв в качестве начального приближения к корню некоторое значение , восстанавливаем перпендикуляр в точке к оси Х. В точке пересечения перпендикуляра с графиком функции , для которой отыскивается нуль, проводим касательную к кривой. Точка пересечения касательной с осью Х дает новое приближение к корню. После этого процесс повторяем для точки , получаем точку и т.д.

2.1.3.3.2. Получение формулы Ньютона. Определим рекуррентное соотношение для нахождения корня методом Ньютона.

Уравнение касательной в точке можно получить как уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей угловой коэффициент :

В точке пересечения касательной с осью Х, величина равняется нулю:

Отсюда

В общем случае для вычисления последующего приближения к корню по известному предыдущему формула Ньютона имеет вид:

К такому же результату можно придти, используя разложение в ряд Тейлора:

Члены, содержащие во второй и более высоких степенях, отбрасываются; используется соотношение . Предполагается, что переход от к приближает значение функции к нулю так, что т.е. точка выбирается такой, что значение функции в ней равняется нулю:

Полученная точка является точкой пересечения касательной в точке с осью Х. Поскольку кривая отлична от прямой, то значение функции скорее всего не будет в точности равно нулю (это результат отбрасывания членов высшего порядка в ряде Тейлора). Поэтому вся процедура повторяется, причем вместо используется .

Одно из преимуществ метода Ньютона - это то, что его можно распространить на решение систем нелинейных уравнений со многими переменными.

2.1.4. Решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

2.1.4.1. Постановка задачи. Система n нелинейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(2.2)

где - неизвестные;

- заданные функции n переменных.

Решением системы НАТУ называется совокупность чисел , которые, будучи поставлены на место неизвестных ,обращают каждое уравнение системы в тождество. Система (2.2) может иметь несколько решений. Нахождение решения системы уравнений является значительно более сложной задачей, чем решение одного уравнения. Для систем НАТУ не существует каких-либо приемов, используя которые получали бы приближенные значения корней. В некоторых случаях в результате построения графиков с последующим определением координат точек пересечения можно получить приближенные значения корней. Для уточнения корней всегда применяются итерационные методы, чаще всего метод Ньютона.

2.1.4.2. Метод Ньютона для решения систем НАТУ. Представим все n уравнений в виде рядов Тейлора:

(2.3)

Задача сводится к отысканию такой совокупности приращений , при которой близки к корню, т.е. левые части уравнений (2.3) обращаются в нули. Отбросив члены более высоких порядков, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно :

(2.4)

Систему линейных уравнений (5.4) можно записать в матричном виде:

(2.5),

где матрица коэффициентов (А) состоит из частных производных функций по всем переменным, а вектор свободных членов (В) - из функций с противоположным знаком. Матрица в левой части (2.5) называется матрицей Якоби или якобианом.

Найденные из системы (2.5) значения используются как поправки для получения очередного - го приближения к решению:

(2.6)

Таким образом, для выполнения одной итерации методом Ньютона решают СЛАУ (2.5) относительно вектора поправок . Получив значение вектора поправок (), получим очередное приближение к корням () (2.6) и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному ().

Следует обратить внимание на то, что проверку поправок на каждом шаге итерации на условие < () необходимо выполнять для значений поправок всех корней (.

Пример: Найти методом Ньютона решение системы уравнений

Решение. Очевидно,

Для формирования матрицы Якоби получим частные производные:

Подставив в (2.5) в качестве: матрицы коэффициентов (А) - частные производные функций и вектора свободных членов (В) - функции с противоположным знаком, получим запись СЛАУ в виде:

(2.7)

Задавшись некоторым начальным приближением () и, подставив его вместо () в систему (2.7), решим полученную систему линейных уравнений (например, матричным способом ) и получим значение поправок . Если поправки не будут достаточно малы (т.е. условие < не выполняется), то вычисляется очередное приближение к корням:

С полученным затем повторяют те же операции, что и с для получения и, если необходимо, и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному.

2.2. Последовательность выполнения работы

Согласно номеру по списку группы выбрать из табл.2.1 значения параметров для нелинейного объекта. По формулам

в1і= в1-h(і-1) ;

Страницы: 1, 2, 3, 4