2.3 Двоичный поиск

Одним из эффективных методов поиска в больших отсортированных массивах является двоичный, другое название бинарный, поиск. Так называемый, поиск методом деления пополам. Вместо просмотра подряд всех элементов массива делим его пополам. Так как массив отсортирован, то, сравнивая искомый элемент со значением среднего элемента массива, можно сделать вывод, о том, что может ли быть элемент с таким значением в массиве и в какой половине он находиться, то есть, определить область дальнейшего поиска. Затем делится пополам та часть массива, в которой находится элемент, и так до тех пор, пока рассматриваемая часть массива получится состоящей из одного элемента.

Допустим, есть упорядоченный по возрастанию массив из целых чисел. Необходимо определить, содержит ли этот массив некоторое число (образец).

Алгоритм двоичного поиска:

1. Сначала образец сравнивается со средним (по номеру) элементом массива

- если образец равен среднему элементу, то задача решена;

- если образец больше среднего элемента, то это значит, что искомый элемент расположен, ниже среднего элемента (между элементами с номерами sre+1), и за новое значение verhe принимается sre+i, а значение nize не меняется;

- если образец меньше среднего элемента, то это значит, что искомый элемент расположен выше среднего элемента (между элементами с номерами verhe и sre-1), и за новое значение nize принимается sre-1, а значение verhe не меняется.

2. После того как определена часть массива, в которой может находиться искомый элемент, вычисляется новое значение sredе и поиск продолжается.

Применим метод двоичного поиска на примере поиска в упорядоченном массиве. X - искомый элемент, равный 11, а A - массив, состоящий из 10 элементов:

1) 0 - verhe

5

7

11

12 - srede

24

32

68

87

92 - nize

srede равный 12>11 = X, следовательно искомый элемент находится выше среднего элемента.

2) 0 - verhe

5

7 - srede

11- nize

Srede равный 7< 11=X, значит нужный элемент находится ниже среднего элемента. Выполняем дальнейшее сравнение. Так как ниже остался всего один элемент, то сравниваем его с искомым.

3) 11=11

В итоге нужный элемент найден на третьем сравнении. Данный пример наглядно показывает всё удобство и легкость двоичного метода поиска. Результаты работы программы приведены в приложении Г.

2.4 Метод оценки времени поиска

Для сравнительной оценки быстроты поисков, введем условную единицу времени, равную времени, затраченному на сравнение двух элементов. Для теоретической оценки средней быстроты поиска используем формулы:

tлин = ,

где tлин - среднее время линейного поиска; (1)

N - размер массива.

tдв = log2 N,

где tдв - среднее время двоичного поиска; (2)

N - размер массива.

3 Алгоритмизация задачи

Решение задачи, поставленной в курсовом проекте, включает в себя следующие этапы:

Формирование исходного неупорядоченного массива и запись его в текстовый файл.

Линейный поиск заданного элемента в массиве.

Построение двоичного дерева.

Сортировка исходного массива деревом.

Двоичный поиск заданного элемента в отсортированном массиве.

Запись отсортированного массива в текстовый файл.

3.1 Ввод и вывод массива

Схема алгоритма создания неупорядоченного массива приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Vvod (приложение Б).

Шаг 1. Если n?16, то переход на шаг 2, иначе шаг 4.

Шаг 2 Ввод осуществляется с клавиатуры в цикле с параметром i:

for i:=1 to n do read(A[i]).

Шаг 3. Запись каждого элемента в текстовый файл F_1 после считывания.

Шаг 4. Массив формируется с помощью датчика случайных чисел также в цикле с параметром i : for i:=1 to n do

A[i]:=random(1000);

Шаг 5. Запись сформированного массива в текстовый файл F_1, элементы которого располагаются в четырёх позициях.

Процедура Vivod выводит на экран сформированный неупорядоченный массив.

3.2 Линейный поиск

Схема алгоритма линейного поиска приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Lin_Poisk (приложение Б).

Шаг 1. Установить счетчик количества сравнений в 0: k:=0.

Шаг 2. Последовательное сравнение элементов исходного массива с заданным элементом x в цикле с параметром i.

Шаг 3. Элемент массива равен искомому элементу: a[i]=x, то счетчику присваивается индекс искомого элемента: k:=i, а также осуществляется выход из цикла с помощью процедуры break;

Шаг 4. Если k?0, тогда шаг 5, иначе шаг 6.

Шаг 5. Вывод на экран сообщения Writeln (`Element naiden. Sravnenii-`,k).

Шаг 6.Вывод на экран сообщения Writeln (`Element ne naiden').

3.3 Построение двоичного дерева

Процедура Tree представляет исходный массив A в виде дерева B. Формирование двоичного дерева выполняется следующим образом:

Шаг 1. Обнуляются поля первого элемента, содержащего левый, правый и обратный указатели b[1,3]:=0; b[1,4]:=0; b[1,5]:=0.

Шаг 2. Записываются элементы массива в получаемое дерево. В дереве b заполняются первые 2 поля - поле значения и признака. Первый элемент является корнем дерева

Шаг 3. Цикл организации двоичного дерева. Для каждого элемента массива (дерева), начиная со второго, необходимо выполнять следующие действия:

Шаг 3.1. Просмотр начинается со сравнения i-го элемента с корнем дерева, т.е. индекс k устанавливается в единицу k:=1.

Шаг 3.2. Сравнение: если i-й элемент массива меньше корня дерева, тогда его необходимо записать в левую ветвь j:=3, иначе - в правую ветвь j:=4.

Шаг 3.3. Проверка: если у k-го элемента есть левый или правый потомок, то переход на Шаг 3.4, иначе - переход на Шаг 3.5.

Шаг 3.4. За индекс k необходимо взять значение переменной s, которое содержит указатель правого или левого потомка k-го элемента и переход на Шаг 3.2.

Шаг 3.5. В поле указателя левого или правого потомка k-го элемента записывается значение индекса i. Поля i-го элемента, содержащие указатели левого, правого потомков и предка, обнуляются.

Данный алгоритм реализован в виде процедуры Tree (Приложение Б). Схема алгоритма процедуры Tree представлена в Приложении В.

3.4 Сортировка двоичным деревом

Идея сортировки деревом заключается в следующем. Если у элемента есть левая ветвь, то элемент с наименьшим значением признака надо искать на этой ветви. Если у элемента левой ветви нет, то он должен быть перенесён в результирующий массив b1. После этого очередной элемент разыскивается в правой ветви, если она есть, или возвращается по обратному указателю. После возвращения к какому-либо элементу по левой или правой ветви дальнейшие действия идут так, как будто у этого элемента соответствующей ветви нет. И так до тех пор, пока все элементы исходного массива, образующие двоичное дерево, не будут упорядочены по возрастанию.

Алгоритм сортировки деревом приведен ниже:

Шаг 1. Записываются элементы исходного массива (дерева) в результирующий массив (сортируемое дерево). Просмотр дерева начинается с первого элемента i:=1. Устанавливается счетчик, индекс для просмотра сортируемого дерева k:=0.

Шаг 2. Проверяется i-й элемент массива (дерева) на наличие левого потомка. Если он имеется, то за i-й элемент берется левый потомок и повторяется Шаг 2. Увеличивается счетчик количества перестановок m:=m+1.

Шаг 3. Увеличение счетчика k, в сортируемом массиве берется следующий элемент k:=k+1 и вместо него записывается i-й элемент.

Проверяется i-й элемент массива (дерева) на наличие правого потомка. Если он имеется, то за i-й элемент берется правый потомок и повторяется Шаг 2. Увеличивается счетчик количества перестановок m:=m+1.

Шаг 4. Индексу j присваивается значение индекса i j:=i, за индекс i берется обратный указатель (предок) i:=b[i,5], и если предок существует, то происходит следующая проверка: если предок (i-й элемент) больше своего потомка (j-й элемент), то повторить Шаг 3, иначе повторить Шаг 4.

Шаг 5. Увеличение счетчика перестановок m:=m+1.

Шаг 6. Запись отсортированного массива (дерева) в файл.

3.5 Двоичный поиск

Схема алгоритма двоичного поиска приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Dv_Poisk (приложение Б).

Шаг 1. Установить начальные значения верхнего и нижнего индекса, счетчика сравнений k и : vi:=N, ni:=1, k:=0 и f:=false,так как элемент ещё не найден.

Шаг 2. Нахождение среднего элемента массива: sri:=((ni+vi) div 2).

Шаг 3. Увеличение счетчика k на единицу: k:=k+1;

Шаг 4. Если средний элемент равен искомому: a[sri]=x, то элемент найден: f:=true;

Шаг 5. Если x>a[sri] переход на шаг 6, иначе на шаг 7.

Шаг 6. За новое значение ni принимается sri+1, а значение vi не меняется.

Шаг 7. За новое значение vi принимается sri-1, а значение ni не меняется.

Шаг 8. Повторение цикла до тех пор, пока счетчик не станет больше максимального количества сравнений: k>log2n , либо элемент не будет найден.

Шаг 9. Если f:=true, то выполняется шаг 10, иначе шаг 11.

Шаг 10. На экран выводится: (`Element naiden, Index=', sri,'. Sravnenii `,k).

Шаг 11.На экран выводится: (`Element ne naiden').

3.6 Запись в файл

Схема алгоритма записи в файл упорядоченного массива приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Save_To_File (приложение Б).

Шаг 1. При n?16 массив записывается в файл после каждой перестановки.

Шаг 2. При n?128 массив записывается в файл через каждые 10 перестановок.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5