Рефераты. Проявление симметрии в различных формах материи p> Изучая законы внешней формы кристаллов, Ромэ-Делиль выделил в качестве основных пять форм: тетраэдр, куб, октаэдр, ромбоэдр и гексагональную ди- пирамиду. Он ошибочно полагал, что формы всех остальных кристаллов можно получить из этих основных форм.

Симметрия физических явлений

«Я думаю, что было бы интересно ввести в изучение физических явлений также и рассмотрение свойств симметрии, столь знакомое кристаллографам».

Так начиналась небольшая статья Пьера Кюри «О симметрии в физических явлениях: симметрия электрического и магнитного полей», опубликованная в
1894 году во французском «Физическом журнале».

До Кюри физики часто использовали соображения, вытекающие из условий симметрии. Достаточно сказать, что многие задачи механики, и особенно статики, решались только исходя из условий симметрии. Но обычно эти условия достаточно простые и наглядные и не требуют детального рассмотрения.
Впервые физики столкнулись с нетривиальным проявлением симметрии физических свойств при изучении кристаллов.

Впервые четкое определение симметрии физических явлений дал Кюри в своей статье. «Характеристическая симметрия некоторого явления, - писал он, - есть максимальная симметрия, совместимая с существованием явления».
Всеобщий подход к симметрии физических явлений, развитый им, очень точно разъяснила Мария Кюри в биографическом очерке о своем муже: «П. Кюри безгранично расширил понятие о симметрии, рассматривая последнюю как состояние пространства, в котором происходит данное явление. Для определения этого состояния надо знать не только строение среды, но и учесть характер движения изучаемого объекта, а также действующие на него физические факторы. При характеристике симметрии среды важно помнить следующие идеи Кюри: нужно определить особую симметрию каждого явления и ввести классификацию, позволяющую ясно видеть основные группы симметрии.
Масса, электрический заряд, температура имеют один и тот же тип симметрии, называемый скалярным; это есть, иначе говоря, симметрия сферы. Поток воды и постоянный электрический ток имеют симметрию стрелы типа полярного вектора.
Симметрия прямого кругового цилиндра принадлежит к типу тензора».

1 Симметрия в механике

Пьер Кюри пришел к симметрии физических явлений от симметрии кристаллов
(геометрических фигур) через симметрию материальных фигур. Это принесло важные результаты при описании физических свойств кристаллов и обещает большие успехи в других областях физики.

Но работы Пьера Кюри не оказали влияния на развитие идеи симметрии в физике. Причины этого странного парадокса, кроме указанных ранее
(кристаллографичность работ Кюри, краткость, если не конспективность их изложения), состоит еще и в том, что они появились слишком поздно, тогда, когда физика уже накопила большой опыт несколько иного подхода к симметрии физических явлений, который связан с развитием механики в XVII—XIX веках.

В то время механика была фактически всей физикой. Самым главным считалось изучение движения и взаимодействия тел. Соответствующие законы, кажущиеся нам сейчас такими очевидными, потребовали колоссального труда нескольких поколений выдающихся ученых. Коперник, Кеплер, Галилей, Декарт,
Гюйгенс шаг за шагом двигались к пониманию истинных законов, управляющих движением материальных тел.

Окончательно эти законы были сформулированы Исааком Ньютоном
(1643—1727). Но поскольку движение совершается в пространстве и во времени, ему пришлось обобщить и сформулировать некие положения, постулирующие их свойства.

Ньютон считал, что существует абсолютное пространство, свободное и независимое от каких-либо тел. Это абсолютное пространство изотропно, то есть любые направления в нем одинаковы. Кроме того, оно однородно, так как любые две точки пространства ничем не отличаются друг от друга. Существует также абсолютное время, независимое от каких-либо процессов, текущее вечно и равномерно. Равномерность течения времени предполагает его однородность: скорость течения времени со временем не меняется.

1 Однородность пространства

Чтобы понять, какое отношение она имеет к механике, начнем с простого вопроса: почему камень падает вниз? Ответ: потому что на него действует сила тяжести. Иными словами, пространство вблизи земной поверхности физически неоднородно: все тела стремятся занять самые низкие положения, поближе к Земле.

Столь же неоднородно пространство вблизи Солнца: орбиты всех тел солнечной системы искривлены. Но вся Солнечная система как целое движется прямолинейно, по крайней мере, в течение миллионов лет отклонения от прямолинейности в ее движении не было.

Пространство, в котором она движется, свободно от тяготеющих тел, и здесь можно говорить об однородности. Иными словами, на солнечную систему как целое не действуют внешние силы Согласно второму закону Ньютона внешняя сила равна изменению импульса тела за единицу времени. (Импульсом системы тел называется их суммарная масса, умноженная да скорость центра инерции.
Он равен также векторной сумме импульсов всех тел системы. Вместо «импульс» часто говорят «количество движения», номы не будем пользоваться этим термином.) Когда результирующая внешняя сила, действующая на систему, равна нулю, импульс системы не изменяется со временем, т. е. сохраняется.

Мы не попытаемся подменить второй закон Ньютона рассуждением об однородности пространства. Наоборот, утверждается, что из второго закона
Ньютона следует прямолинейность и равномерность движения центра инерции системы тел в однородном пространстве. Никакие внутренние силы в системе не нарушают однородности пространства по отношению к системе как целому.
Поэтому действие внутренних сил оставляет импульс системы неизменным.

2 Изотропия пространства

Пространство обладает еще одним видом симметрии — относительно поворотов координатных систем. Эта идея давалась человечеству с большим трудом; ведь когда то думали, что Земля плоская, и вертикальное направление абсолютно.
То, что Земля — шар, стало известно образованным людям еще в древности. Для них вертикальное направление не было абсолютным, а менялось на земной поверхности от точки к точке. Но Земля в представлении большинства начитанных людей до эпохи Коперника была центром мироздания. Поэтому для них равноценными были не все направления в пространстве, а все прямые, проходящие через центр Земли. Там находилась особая, выделенная точка, центр симметрии Вселенной.

Открытие Коперника лишило Землю ее преимущественного положения. Центр
Земли для мыслящих людей перестал быть центром Вселенной. Чем же он физически выделен для нас? Очевидно, тем, что к нему направлена сила притяжения Земли. Но достаточно далеко от всех тяготеющих тел все точки пространства равноценны, равно как все прямые, проведенные через любую точку Вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой угол, и повернутая система будет во всех отношениях равноценна первоначальной.

Таким образом, мы сформулировали еще одно свойство симметрии пространства. Условимся о терминологии. Симметрию относительно поворотов будем называть изотропией, а относительно переносов — однородностью.

3 Однородность времени

Перейдем теперь к конкретным свойствам симметрии времени. Рассмотрим сначала симметрию относительно переноса вдоль любой прямой. Перенос в любом направлении можно разложить по трем взаимно перпендикулярным осям. Таким образом, пространство имеет группу симметрии относительно произвольных переносов по трем взаимно перпендикулярным направлениям (см. выше).

Время задается одной величиной, а не тремя, как точка в пространстве.
Насколько можно считать, что симметрия времени напоминает симметрию прямой относительно переносов, т. е. что их абстрактная группа симметрии одна и та же? Ведь 12 часов дня вчера и сегодня, или завтра, совсем не одно и то же для нас. Но симметрия — понятие относительное. Симметрия времени уже, чем симметрия бесконечной прямой, если рассматривать время во всех его аспектах, но тем не менее не исключена возможность, что время симметрично по отношению к одному определенному классу законов природы.

К этому классу принадлежат законы механики, которым подчинены движения тел в пространстве и во времени. Удобнее всего выбрать пример чисто механического движения, не осложненного силами трения или каким-либо иным трудно контролируемым влиянием внешней среды. Трение всегда сопровождается переходом движения к молекулам, составляющим тела, и поэтому сильно осложняет процесс механического движения.

Без трения, или почти без трения, движутся небесные тела (небольшое трение при их движении происходит от приливных волн, но мы отвлечемся от этого явления). Именно небесные тела послужили моделью Ньютону, когда он формулировал законы механики, потому что в астрономических явлениях они проявлялись в наименее осложненном виде. Обращение Земли вокруг Солнца совершается одинаково в течение десятков тысяч лет; если бы не влияли другие планеты и приливы и Солнце не теряло постепенно свою массу вследствие излучения, орбита Земли оставалась бы неизменной сколь угодно долго. Отсюда надо заключить, что время однородно, т. е. все его моменты равноценны, по крайней мере по отношению к чисто механическим явлениям.

Год в нашу эпоху и на варе человеческой истории равнялся Зб51/4 дня.
Следовательно, в качестве начальной даты летосчисления может быть взята любая. Законы небесной механики совершенно симметричны по отношению к любому выбору начального момента времени.

Поскольку пространство изотропно и однородно, то уравнения движения не меняют своего вида при изменении направления движения. Не меняют они своего вида и при смещении точки отсчёта начала движения в пространстве и во времени. Математически преобразования координат и времени, отвечающие таким изменениям, образуют группу. Эту группу часто называют группой Галилея-
Ньютона. Поэтому говорят, что уравнения движения классической механики инвариантны (не меняют своей формы) относительно группы Галилея-Ньютона.

Таким образом, в классической механике симметрия утратила наглядный геометрический смысл. Теперь она вступает в абстрактной форме как условие, при котором уравнение, описывающее тот или иной физический закон, не меняет своего вида. При этом сами условия должны образовывать группу в математическом смысле.

Симметрия в живой природе

Живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой.

Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Если они жидкие, то их называют жидкими кристаллами. В этих структурах сильно вытянутые молекулы расположены так, что их длинные оси в среднем ориентированы в одну сторону. В некоторых случаях образуются дополнительные сверхструктуры: возникает закручивание или слоистые структуры.

Жидкие кристаллы, как и твердые, обладают анизотропией физических свойств. Однако пространственной решетки жидкие кристаллы не имеют.

К жидким кристаллам относятся отдельные компоненты желчи и крови, хрусталик глаза, оболочки нервов, серое вещество мозга, головка сперматозоида и т. д. Но особенно важное значение играет жидкокристаллическая структура мембран клеток. Это та «кожица», которая удерживает вещество клетки от растекания и служит ей как бы внешним органом. Мембрана — вязкая жидкость, в которой молекулы фосфолипидов
(жиров) имеют длинные оси, расположенные параллельно. При комнатной температуре молекулы фосфолипидов свободно перемещаются вдоль плоскости мембраны, пространственной решетки нет, и это состояние — нормальное состояние живой клетки. При понижении температуры мембрана «замерзает», молекулы фосфолипидов останавливаются, образуется пространственная решетка.
Лишенная подвижности мембрана не может выполнять свои функции, и клетка гибнет. Наступила кристаллизация, клетка оказалась «пойманной» решеткой.

Интересную попытку объяснить пятерную симметрию морского ежа предпринял профессор Оксфордского университета Девид Никлз. Он считает, что все дело в прочности. Скелет ежа составлен из десятков хрупких, тонких пятиугольных
.пластинок, однако он надежно служит своему хозяину. Самые слабые места скелета — это швы, где одна пластинка соединяется с другой. Если первая пластинка — квадрат или шестиугольник, то на линии действия силы будут два продольных шва. Если же первая пластинка пятиугольная, то шов только один.
Такая конструкция гораздо прочнее. Однако возникает законный вопрос: почему первая пластинка не семиугольная, девятиугольная и т. д.? Ответ может быть только один: при пятиугольнике число швов наименьшее и, следовательно, такой скелет прочнее. Но еще меньше швов дает треугольник. Тогда почему не он? Дело в том, утверждает Никлз, что морские ежи почти круглые организмы, а из треугольников труднее составить многоугольник, близкий к сфере.

Представители другого класса обитателей глубин— морские черви — имеют цилиндрическое тело, а в ротовой полости - массу острых зубов. Зубы расположены так, что если соединить их прямыми .линиями, то получится пятиугольник. Такой феномен Никлз объясняет следующим образом. Если бы число зубов было четным, то они мешали бы друг другу. Минимальное нечетное число — три, но треугольник сильно отличается от круга и не соответствует цилиндрическому телу червя. Семь, девять и больше зубов - излишняя роскошь, которую природа не может себе позволить. Поэтому реализуется оптимальный случай, наиболее соответствующий круговому сечению ротового отверстия, пятиугольник.

Если рассматривать царство живого, то любому его представителю, от простейшей водоросли до эвкалипта, от крошечного жучка до кита, от червяка до человека, можно приписать одну из групп симметрии (точечных или пространственных), выведенных для материальных фигур.

Биологические дроби

Винтовые оси симметрии видны в расположениях чешуек шишек и укладке коры пальм, структуре костной ткани и в побегах различных растений. На стебле подсолнечника явно видна винтовая ось пятого порядка. Каждый вновь выросший лист связан с предыдущим поворотом на 72°, а при повороте та 360° листья перемещаются на целую величину трансляции. По правилам, принятым в кристаллографии, такую ось следует обозначать 51. Но в ботанике принято представлять винтовые оси в виде дроби, в знаменателе которой стоит число оборотов в листовом цикле (количество оборотов вокруг стебля для перехода от нижнего листа к вышестоящему, расположенному над ним), а в числителе — число листьев в этом цикле. В соответствии с этим расположение листьев у подсолнечника задается дробью 5/1.

У растений существуют только определенные, строго фиксированные оси, но в большинстве своем не такие, как у кристаллов. Так, если злаки, липа, бук, береза образуют ось 21 (ботаническая дробь 2/1), осока, тюльпан, орешник, виноград и ольха — 31 (3/1), то дуб, вишня смородина, слива имеют ось 52
(5/2), капуста, малина, груша, тополь, редька, лен, барбарис — 83 (8/3), а ель, миндальник, облепиха и жасмин — 1З5 (13/5). Для хвойных шишек типичны оси 218 (21/8), 3413 (34/13) и 5521 (55/21).

Почему именно такие оси, а не другие — неизвестно. Но уже давно было подмечено, что биологические дроби не произвольны, а представляют собой члены двух последовательностей, составленных из чисел Фибоначчи. Их ввел в математику итальянский купец Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи, что означает сын Боначчо. В его «Книге абака» приведена оригинальная задача о кроликах, решение которой принадлежит самому Фибоначчи. В задаче спрашивалось, сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течение года, если каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца тоже становится производителем, и кролики не дохнут.

Решение этой задачи сопряжено с появлением числового ряда 0, 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, 55. ... Эти числа и называются числами Фибоначчи.

Биологические дроби, описывающие винтовую симметрию растений, составлены из членов двух рядов. В обоих рядах числители есть числа Фибоначчи, начиная с четвертого члена — двойки. Знаменатели рядов различны. В первом числа
Фибоначчи начинаются с третьего числа, а во втором — со второго.

Итак, первый ряд:

2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13…

Второй ряд:

2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8…

До сих пор совершенно непонятно, почему симметричное винтовое расположение листьев или чешуек в шишках точно связано с величиной определенного отношения, присутствующего в пространственных объектах, производящих особое эстетическое впечатление? Здесь можно высказать только самое общее утверждение, что формирование эстетических критериев человека происходит под влиянием пространственных закономерностей природных объектов. Однако это утверждение не дает конкретный ответ на поставленный вопрос.

Заключение

Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства.
Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.

Можно надеяться, что на основе биологических законов сохранения, разнообразных инвариантов, симметрии законов живой природы относительно тех или иных преобразований рано или поздно удастся глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции, её вершины, тупики, предсказать неизвестные сейчас ветви, теоретически возможные и действительные числа типов, классов, семейств…организмов. И вообще нужно проанализировать вопрос о том, нельзя ли эволюцию материи в целом и внутри отдельных её форм представить как групповые преобразования, найти их инварианты и на основе последних определить все возможные варианты эволюции в цело и в частностях, предсказать возможные её ветви – число, характер и т.д. Таким образом, развитый здесь подход даёт возможность поставить вопрос о неединственности той картины развития, которую мы знаем.

Литература

Жёлудев И.С. симметрия и её приложения. –М.: Энергоатомиздат, 1983г.

Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. –М.: НАУКА, 1978г., 206с.

Пидоу Дэн. Геометрия и искусство М.: Мир, 1979г.

Сонин А.С. Постижение совершенства: симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия. –М.: ЗНАНИЕ, 1987г., 208с.

Трофимов В. Введение в геометрическом многообразии с симметриями М.: МГУ
1989г

Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. –М.: МЫСЛЬ, 1974г.,
232с.

Шубников А.В. Избранные труды по кристаллографии. –М.: НАУКА, 1975г.



Страницы: 1, 2



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.