Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если попытаться найти связь между отрезками x', ct' и x, ct, посто проектируя отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и искажают масштабы координат по осям!

Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в пространстве Минковского.

[pic]

Рис. 9

С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные оси 0x. В системе S' - это прямые, параллельные 0x', не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в системе S событиями A и B в системе S' пройдет промежуток времени ? t' =
|A'B'|/c, причем событие B произойдет раньше.

Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и отрицательным.

Если s212 > 0, его называют времениподобным, при s212 < 0 - пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым.

Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно - временных точках 1 и 2. Если s212 > 0, то из точки 1 можно послать сигнал со скоростью [pic], который вызовет событие 2. В случае s212 = 0 это также возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью [pic].

2.7 Замедление времени

Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x'
= 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени, определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет, тогда, определить показания движущихся часов:
|t' = t |(17) |
| | |
|________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |

Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной системы отсчета, замедляется.

Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся" часы взаимно отстают друг от друга.

С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс близнецов (см. ниже раздел "Задачи").

Замедление хода времени в движущейся системе отсчета было экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси и Д.Х. Холлом в 1941 году. Они наблюдали увеличение среднего времени жизни мюонов, двигавшихся со скоростью v ? c, в 6 ч8 раз по сравнению с временем жизни неподвижных мюонов.

Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.

2.8 Лоренцево сокращение длины

Стержень, расположенный вдоль оси 0'X' движущейся системы отсчета и покоящийся в ней, имеет длину l0. Если один из концов стержня (для простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются преобразованием Лоренца:
|x1 = 0, x2 = l = l0 |(18) |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |

Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца
- Фитцджеральда.

Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что объем тела также уменьшается:
|V = V0 |(19) |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |

3 Динамика специальной теории относительности

3.1 Энергия и импульс частицы

Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе покоя частицы - массу покоя.

Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной инерциальной системе отсчета со скоростью [pic], называется векторная величина [pic], определяемая формулой
| |(20) |
|> | |
|p | |
| | |
|= | |
|m | |
|> | |
|v | |
| | |
| | |
| | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (v/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|. | |
| | |

Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в классической механике. При v/c > 0, [pic]> m [pic] (с точностью до линейных по v/c слагаемых).

Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E, определяемая выражением
|E = |(21) |
|m c2 | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (v/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|. | |
| | |

Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и энергия в ньютоновской механике.

Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится, называется ее энергией покоя E0:
|E0 = |
|mc2. |
| |

При ? = v/c > 0 релятивистское выражение для энергии частицы может быть записано в виде
|E = mc2 + |
|m v2 |
|[pic] |
|2 |
|= E0 + |
|m v2 |
|[pic] |
|2 |
|. |
| |

Второе слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в классической теории. Разность E - mc2 = T называют кинетической энергией релятивистской частицы.

Из формул (20) и (21) находим полезную формулу для скорости частицы:
| |(22) |
|> | |
|v | |
| | |
|= c2 | |
| | |
|> | |
|p | |
| | |
| | |
| | |
|[pic] | |
|E | |
|. | |
| | |

3.2 Релятивистские преобразования энергии и импульса

Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью V в направлении оси x.

Закон преобразования для величин (E, [pic]) и (E', [pic]'), измеряемых в системах S и S', имеет форму преобразования (23):
|E' = |(23) |
|E - V px | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (V/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, px' = | |
|px - E V/c2 | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - (V/c)2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, py' = py, pz' = pz. | |
| | |

Таким образом,энергия и импульс частицы зависят от выбора системы отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл. Из формул (23) следует, что
| |
|? |
|? |
|? |
| |
|E' |
|[pic] |
|c |
| |
|? |
|? |
|? |
|2 |
| |
| |
|- |
|> |
|p |
| |
| '2 = |
|? |
|? |
|? |
| |
|E |
|[pic] |
|c |
| |
|? |
|? |
|? |
|2 |
| |
| |
|- |
|> |
|p |
| |
| 2 = m2 c2, |
| |

из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета и, следовательно, является релятивистским инвариантом.

[pic]

Рис. 10
Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее энергию и импульс в релятивистской физике:

[pic]
.
Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых значениях импульса E = m c2 + p2/2 m, а при достаточно больших импульсах
E = p c.
Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c2, вводя "релятивистскую массу" частицы, зависящую от скорости:
|m(v) = |
|m |
|[pic] |
| |
| |
| ________ |
|?1 - (v/c)2 |
| |
| |
| |
| |
|. |
| |

Саму же формулу (21) истолковывают, как "эквивалентность" энергии и массы в релятивистской физике. Однако такое утверждение приводит лишь к путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса - инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в системе покоя частицы.

Поэтому понятие "массы, зависящей от скорости" [(m)/([?(1 -
(v/c)2)])] лишено физического смысла!

3.3 Частицы с нулевой массой покоя

Если в формулах (20,21) формально положить скорость частицы v = c, то энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света.
Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны соотношением:
|| |
|> |
|p |
| |
|| = |
|E |
|[pic] |
|c |
|, |
| |

откуда следует, что здесь
|(E/c)2 - |
|> |
|p |
| |
| 2 |
| |
|= 0 |
| |

в соответствии с тем, что m = 0.
К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в разделе "Квантовая теория" - задание N 5.

3.3 Релятивистский эффект Доплера

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну
|E( |(23) |
|> | |
|r | |
| | |
| ,t) = E0 cos | |
|? | |
|? | |
| | |
|> | |
|k | |
| | |
|· | |
|> | |
|r | |
| | |
|- ? t | |
|? | |
|? | |
|. | |
| | |

Здесь ?- частота волны, а [pic]= k [pic] - волновой вектор (k =
[(?)/( c)] - волновое число, [pic]- единичный вектор в направлении распространения волны (см. Рис. 11).)

[pic]

Рис. 11

Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе в другую инерциальную систему отсчета. Будем для определенности считать, что волна распространяется под углом ? к оси 0x, вдоль которой со скоростью
V движется "штрихованная" система отсчета S'. Из Рис. 11 видно, что существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что фаза электромагнитной волны должна быть инвариантна!
| |
|> |
|k |
| |
|· |
|> |
|r |
| |
|- ?t = |
|> |
|k |
| |
|' |
| |
|· |
|> |
|r |
| |
|' |
| |
|-?' t'. |
| |

В декартовых координатах это условие принимает вид:
|kx x +ky y + kz z -? t = kx' x' |(24) |
|+ky' y' + kz' z' - ?' t'. | |
| | |

Поскольку x, y, z, t связаны с x', y', z', t' преобразованием Лоренца , то для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись преобразования
|?' = |(25) |
|?- V kx | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, kx' = | |
|kx - V/c2 ? | |
|[pic] | |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|, ky' = ky, kz' = kz. | |
| | |

Прямой подстановкой формул (25) в соотношение (24) можно проверить его выполнение.

Найдем теперь связю между частотой ?0 в системе источника волны и частотой ? той же волны в системе наблюдателя.

Полагая в первой формуле из (25) ?' = ?0, kx = [(?)/( c)] cos?, где
?- угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя
(приемника), найдем
|? = ?0 |(26) |
| | |
| | |
| ________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
| | |
| | |
|[pic] | |
|1 - (V/c)cos? | |
|. | |
| | |

Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызанное относительным движением источника и приемника.

При V/c 0) и убывает при их удалении (V|| < 0) продольный эфект Доплера. Если относительная скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos? = 0), то уменьшение частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/c:
|?? = - |
|?0 |
|[pic] |
|2 |
| |
|? |
|? |
|? |
| |
|V |
|[pic] |
|c |
| |
|? |
|? |
|? |
|2 |
| |
| |
| |
| |

- поперечный эффект Доплера.
При выводе последних двух формул учтено, что при V/c

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5