[pic]
Рис. 4
Рис. 5
Мысленные эксперименты с движущимися часами, аналогичные только что описанному, показывают, что здесь синхронизация невозможна и единого для всех инерциальных систем времени не существует. Расмотрим пример с "эйнштейновским поездом" (см. Рис. 5).
Пусть наблюдатель A находится посередине длинного поезда, движущегося со скоростью сравнимой со скоростью света, а наблюдатель B стоит на земле вблизи железнодорожного полотна. Устройства, находящиеся в хвосте и в голове поезда на одинаковых расстояниях от A, испускают две короткие вспышки света, которые достигают наблюдателей A и B одновременно - в тот момент, когда они поравняются друг с другом. Какие выводы сделают из одновременного прихода к ним световых сигналов наблюдатели в поезде и на земле?
Наблюдатель A: Сигналы испущены из точек, удаленных от меня на равные расстояния, следовательно, они и испущены были одновременно.
Наблюдатель B: Сигналы пришли ко мне одновременно, но в момент испускания голова поезда была ко мне ближе, поэтому сигнал от хвоста поезда прошел больший путь, следовательно он и был испущен раньше, чем сигнал от головы.
Этот пример показывает, что часы в системе "поезд" синхронизованы только с точки зрения наблюдателя, который в ней неподвижен. С точки зрения наблюдателя на земле, часы, расположенные на поезде в разных точках (в голове, в хвосте и в середине поезда) показывают разное время. События, одновременные в одной системе отсчета (световые вспышки в системе отсчета поезда), не являются одновременными в другой системе отсчета земли. Синхронизация часов находящихся в разных системах отсчета невозможна. Этот вывод не исключает совпадения показаний часов в отдельный момент времени - например, наблюдатели A и B в момент встречи могут установить одинаковые показания своих часов. Но уже в любой последующий момент показания часов разойдутся.
2.3 Преобразования Лоренца
Преобразования Лоренца, обобщающие формулы Галилея перехода от одной инерциальной системы отсчета в другую, можно получить из анализа еще одного мысленного эксперимента. Пусть начала координат систем отсчета S и S' в начальный момент t = t' совпадают и оси координат в них имеют одинаковую ориентацию (см. Рис. 6). В этот момент времени в их общем начале координат пусть произошла световая вспышка. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе S, в ней распространяется сферическая электромагнитная волна, которая за время t пройдет расстояние r = c t ( [pic] ) от начала координат.
Но наблюдатель в движущейся системе S' также регистрирует сферическую световую волну, распространяющуюся из начала координат этой системы (точки 0') со скоростью света в вакууме c. По его часам за время t' волна пройдет расстояние r' = c t', где [pic]. Это связано с тем, что физические явления в инерциальных системах происходят одинаковым образом. Иначе, регистрируя различия, можно было бы найти "истинно" покоящуюся систему отсчета, что невозможно.
Теперь ясно, что координаты точек волнового фронта в системе S и S' связаны уравнением |c2 t2 - (x2 + y2 + z2) = 0 = c2 t'2 - (x'2 + |(11) | |y'2 + z'2), | | | | |
решение которого и является искомым обобщением преобразований перехода из одной инерциальной системы координат в другую.
Опуская сам формальный вывод, который использует общие соображения об однородности и изотропии пространства и однородности времени (из которых, например, следует, что связь "штрихованных" и "нештрихованных" координат должна быть линейной), можно получить, что в условиях рассматриваемого мысленного эксперимента, параметры {x',y',z',t'} связаны с параметрами {x,y,z,t} соотношениями |x' = |(12) | |x - V t | | |[pic] | | | | | | | | |________ | | |?1 - (V/c)2 | | | | | | | | | | | | | | |, y' = y, z' = z, t' = | | |t - x V/c2 | | |[pic] | | | | | | | | |________ | | |?1 - (V/c)2 | | | | | | | | | | | | | | |. | | | | |
Преобразования Лоренца оставляют неизменными уравнения Максвелла, однако проверка этого утверждения выходит за рамки школьной программы по физике.
Легко видеть, что уравнения Ньютона теперь не сохраняют свой вид при преобразовании (12). Поэтому второй закон Ньютона необходимо модифицировать. Новая механика, основанная на принципе относительности Эйнштейна, называется релятивистской (от латинского relativus - относительный).
При безразмерном параметре V/c - V: |x = |(5) | |x' + V t' | | |[pic] | | | | | | | | |________ | | |?1 - (V/c)2 | | | | | | | | | | | | | | |, y = y', z = z', t = | | |t' + x' V/c2 | | |[pic] | | | | | | | | |________ | | |?1 - (V/c)2 | | | | | | | | | | | | | | |. | | | | |
Рис. 6
2.4 Преобразование скорости
Если частица движется относительно движущейся системы координат S' со скоростью [pic], то ее скорость [pic]в системе отсчета S может быть найдена с помощью преобразований Лоренца (12).
Если закон движения частицы в движущейся системе координат имеет вид |x' = v' t', y' = z' | |= 0, | | |
то в покоящейся (лабораторной) системе координат этот закон, очевидно, имеет вид |x = v t, y = z| |= 0. | | |
Выполнив подстановку (13), найдем, что |v = |(13) | |v' + V | | |[pic] | | |1 + v' V/c2 | | |. | | | | |
Эта формула определяет релятивистский закон сложения скоростей.
При ? = V/c > 0 релятивистский закон сложения скоростей (13) с точностью до линейных по ? членов переходит в формулу преобразования скоростей в классической механике: |v = v' + V.| | | | |
Из (13) следует, что скорость частицы меньшая скорости света в вакууме (v' < c) в одной системе отсчета, останется меньше скорости света в вакууме (v < c) в любой другой системе отсчета, движущейся по отношению к первой с досветовой скоростью V < c. Если же [pic]' = (c,0,0), то [pic]= (c,0,0): скорость света одна и та же во всех системах отсчета.
Более общее преобразование скорости можно получить из формулы (14), если в ней перейти к дифференциалам координат и времени и использовать, что vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt и аналогичные выражения для vx', vy', vz'. После преобразования получившегося соотношения, получим |vx' = | |vx + V | |[pic] | |1 - V vx/c2 | |, vy' = | |vy | | | |________ | |?1 - V2/c2 | | | | | | | |[pic] | |1 - V vx/c2 | |, vz' = | |vz | | | |________ | |?1 - V2/c2 | | | | | | | |[pic] | |1 - V vx/c2 | |. | | |
2.5 Собственное время, события и мировые линии частиц
В качестве часов наблюдатели в системах S, S' могут использовать любой периодический процесс, например, излучение атомов или молекул на определенных фиксированных частотах. Время, отсчитываемое по часам, движущимся вмемте с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Для измерения длин можно взять некоторый эталон - линейку. Собственной длиной линейки называется ее длина l0 в той системе, в которой она покоится. Величина l0 равна модулю разности координат концов линейки в один и тот же момент времени.
Совокупность декартовых координат [pic]= (x,y,z) и момента времени t в некоторой инерциальной системе отсчета определяют событие. Событием является, например, нахождение точечной частицы в момент времени t в точке пространства, указанной вектором [pic].
Множество всех событий образуют "четырехмерный Мир Минковского". Отдельные точки в четырехмерном пространстве указывают координаты и время некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого тела (его координаты в разные моменты времени) изображается мировой линией (Рис. 7).
Рис. 7
Если частицы движутся только вдоль оси 0x, то наглядно представить "Мир Минковского" можно с помощью плоскости координат (с t, x). Время удобно умножить на скорость света, чтобы обе координаты имели одинаковую размерность. Это можно сделать, поскольку скорость света - универсальная мировая константа.
Рис. 8
Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики) обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося в начале координат, будет совпадать с временной осью 0 ct, а тела, покоящегося в пространственной точке xa - является прямой AB, параллельной оси времени. Мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью V - (и при t = 0, находящегося в точке x(0) = 0) - прямая CD; мировая линия светового луча, испущенного из начала координат в напралении оси x - биссектриса координатного угла OF; мировая линия тела, движущегося с переменной скоростью v(t) - кривая MN (cм. Рис. 8а))
2.6 Геометрический смысл преобразований Лоренца
Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз запишем его только для x и t в виде |x' = ? (x - ? ct), ct' = ? (ct -| |? x). | | |
Это линейное однородное преобразование, очень похожее на преобразование поворота на угол ? в плоскости XY: |x' = x cos?+ y sin?, y' = - | |x sin?+y cos?. | | |
Новые оси x', y', получающиеся в результате поворота изображены на Рис. 8 б).
Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение расстояния между любыми двумя точками: r12 = r'12.
Здесь:
Введем величину, зависящую от параметров двух событий { [(r1)vec],t1 } и { [(r2)vec],t2 } и определенную равенством |s12 = [ c2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - (y2 - |(15) | |y1)2- (z2 - z1)2 ]1/2. | | | | |
Она называется пространственно - временным интервалом.
Прямой подстановкой формул (12) можно проверить, что величина пространственно - временного интервала между двумя событиями является инвариантом преобразований Лоренца: |s12' = s12. |(16) | | | |
В двумерном случае [pic]можно рассматривать как "расстояние" между точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s12 со знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством, между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r212 ? 0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом пространстве s212 может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно для двух совершенно различных точек пространства - времени.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
