должны быть учтены все важные факторы, от которых

существенно зависит исход операции. С другой стороны,

модель должна быть достаточно простой для того, чтобы

можно было установить обозримые (желательно—

аналитические) зависимости между входящими в нее

параметрами. Модель не должна быть «засорена» множеством

мелких, второстепенных факторов — их учет усложняет

математический анализ и делает результаты исследования

трудно обозримыми.

Одним словом, искусство составлять математические

модели есть именно искусство, и опыт в этом деле

приобретается постепенно. Две опасности всегда

подстерегают составителя модели: первая - утонуть в

подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая

- слишком огрубить явление («выплеснуть из ванны вместе

с водой и ребенка»). В сложных случаях, когда построение

модели вызывает наибольшее сомнение, полезным

оказывается своеобразный «спор моделей», когда одно и то

же явление исследуется на нескольких моделях. Если

научные выводы и рекомендации от модели к модели

меняются мало, это — серьезный аргумент в пользу

объективности исследования. Характерным для сложных

задач исследования операций является также повторное

обращение к модели: после того, как первый цикл

исследований выполнен, возвращаются снова к модели и

вносят в нее необходимые коррективы.

Построение математической модели — наиболее

важная и ответственная часть исследования, требующая

глубоких знаний не только и не столько в математике,

сколько в существе моделируемых явлений. Однако раз

созданная удачная модель может найти применение и далеко

за пределами того круга явлений, для которого она

первоначально создавалась. Так, например, математические

модели массового обслуживания нашли широкое применение в

целом ряде областей, далеких, с первого взгляда, от

массового обслуживания (надежность технических

устройств, организация автоматизированного производства,

задачи ПВО и др.). Математические модели, первоначально

предназначенные для описания динамики развития

биологических популяций, находят широкое применение при

описании боевых действий и наоборот — боевые модели с

успехом применяются в биологии.

Математические модели, применяемые в настоящее

время в задачах исследования операций, можно грубо

подразделить на два класса:

а н а л и т и ч е с к и е и с

т а т и с т и ч е с к и е.

Для первых характерно установление формульных,

аналитических зависимостей между параметрами задачи,

записанных в любом виде: алгебраические уравнения,

обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с

частными производными и т. д. Чтобы такое аналитическое

описание операции было возможно, как правило, нужно

принять те или иные допущения или упрощения. С помощью

аналитических моделей удается с удовлетворительной

точностью описать только сравнительно простые операции,

где число взаимодействующих элементов не слишком велико.

В операциях же большого масштаба, сложных, в которых

переплетается действие огромного количества факторов, в

том числе и случайных, на первый план выходит метод

статистического моделирования. Он состоит в том, что

процесс развития операции как бы «копируется» на

вычислительной машине, со всеми сопровождающими его

случайностями. Всякий раз, когда в ход операции

вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние

учитывается посредством «розыгрыша», напоминающего

бросание жребия. В результате многократного повторения

такой процедуры удается получить интересующие нас

характеристики исхода операции с любой степенью

точности.

Статистические модели имеют перед аналитическими

то преимущество, что они позволяют учесть большее число

факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Зато

результаты статистического моделирования труднее

поддаются анализу и осмыслению. Более грубые

аналитические модели описывают явление лишь приближенно,

зато результаты более наглядны и отчетливее отражают

присущие явлению основные закономерности. Наилучшие

результаты получаются при совместном применении

аналитических и статистических моделей:

простая аналитическая модель позволяет вчерне

разобраться в основных закономерностях явления, наметить

главные его контуры, а любое дальнейшее уточнение может

быть получено статистическим моделированием.

3. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙ

Рассмотрим задачу исследования операций в общей

постановке, безотносительно к виду и цели операции.

Пусть имеется некоторая операция 0, т. е.

управляемое мероприятие, на исход которого мы можем в

какой-то мере влиять, выбирая тем или другим способом

зависящие от нас параметры. Эффективность операции

характеризуется каким-то численным критерием или

показателем W, который требуется обратить в максимум

(случай, когда его требуется обратить в минимум,

сводится к предыдущему и отдельно не рассматривается).

Предположим, что тем или иным способом

математическая модель операции построена; она позволяет

вычислить показатель эффективности W при любом принятом

решении, для любой совокупности условий, в которых

выполняется операция.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай: все

факторы, от которых зависит успех операции, делятся на

две группы:

— заданные, заранее известные факторы (условия

проведения операции) а1, а2..., на которые мы влиять не

можем;

— зависящие от нас факторы (элементы решения) х1,

х2, ..., которые мы, в известных пределах, можем

выбирать по своему усмотрению.

Этот случай, в котором факторы, влияющие на исход

операции, либо заранее известны, либо зависят от нас, мы

будем называть детерминированным.

Заметим, что под «заданными условиями» операции

а1,а2 ... могут пониматься не только обычные числа, но и

функции, в частности— ограничения, наложенные на

элементы решения. Равным образом, элементы решения х1,

х2, ... также могут быть не только числами, но и

функциями.

Показатель эффективности W зависит от обеих групп

факторов:

как от заданных условий, так и от элементов решения.

Запишем эту зависимость в виде общей символической

формулы:

W=W(a1, а2,... х1, х2,...). (3.1)

Так как математическая модель построена, будем

считать, что зависимость (3.1) нам известна, и для любых

а1, а2 ...; х1, х2, ... мы можем найти W.

Тогда задачу исследования операций можно

математически сформулировать так:

При заданных условиях а1, а2, ... найти такие

элементы решения х1, х2, ..., которые обращают

показатель W в максимум.

Перед нами — типично математическая задача,

относящаяся к классу так называемых вариационных задач.

Методы решения таких задач подробно разработаны в

математике. Простейшие из этих методов («задачи на

максимум и минимум») хорошо известны каждому инженеру.

Для нахождения максимума или минимума (короче,

экстремума) функции нужно продифференцировать ее по

аргументу (или аргументам, если их несколько),

приравнять производные нулю и решить полученную систему

уравнений.

Однако, этот простой метод в задачах исследования

операций имеет ограниченное применение. Причин этому

несколько.

1. Когда аргументов х1, х2, ... много (а это

типично для задач исследования операций), совместное

решение системы уравнений, полученных дифференцированием

основной зависимости, зачастую оказывается не проще, а

сложнее, чем непосредственный поиск экстремума.

2. В случае, когда на элементы решения х1, х2,

... наложены ограничения (т. е., область их изменения

ограничена), часто экстремум наблюдается не в точке, где

производные обращаются в нуль, а на границе области

возможных решений. Возникает специфическая для

исследования операций математическая задача «поиска

экстремума при наличии ограничений», не укладывающаяся в

схему классических вариационных методов.

3. Наконец, производных, о которых идет речь,

может вовсе не существовать, например, если аргументы

х1, х2, ... изменяются не непрерывно, а дискретно, или

же сама функция W имеет особенности.

Общих математических методов нахождения

экстремумов функций любого вида при наличии произвольных

ограничений не существует. Однако для случаев, когда

функция и ограничения обладают определенными свойствами,

современная математика предлагает ряд Специальных

методов. Например, если показатель эффективности W

зависит от элементов решения х1, х2, ... линейной

ограничения, наложенные на х1, х2, ..., также имеют вид

линейных равенств (или неравенств), максимум функции W

находится с помощью специального аппарата, так

называемого линейного программирования. Если эти функции

обладают другими свойствами (например, выпуклы или

квадратичны), применяется аппарат «выпуклого» или

«квадратичного» программирования, более сложный по

сравнению с линейным программированием, но все же

позволяющий в приемлемые сроки найти решение. Если

операция естественным образом расчленяется на ряд

«шагов» или «этапов» (например, хозяйственных лет), а

Страницы: 1, 2, 3, 4