Докажем, что стационарное распределение изолированного узла в фиктивной окружающей среде имеет форму (3.1.15), (3.1.16). Полагая в (3.1.11) получим:
откуда получаем
Из (3.1.10) для находим, что
Для таких же из (3.1.10) также следует, что
в частности,
Подставляя (3.1.20) в (3.1.18), а затем подставляя полученное равенство в (3.1.19), будем иметь для
Тем самым доказано (3.1.15).
Для из (3.1.10) следует, что
Полагая в (3.1.11) , получим:
откуда
Далее, из (3.1.10)
Подставляя (3.1.23) в (3.1.22), а затем полученное равенство в (3.1.21), для будем иметь
Таким образом, (3.1.16) доказано для
Подставляя (3.1.26) в (3.1.25), а затем полученное равенство в (3.1.24), получим (3.1.16), которое таким образом доказано и для .
Так как - неприводимый процесс Маркова с конечным числом состояний и непрерывным временем, то по эргодической теореме Маркова [5] он является эргодическим. Лемма 3.2 полностью доказана.
Основной результат 3.1 заключается в следующем.
Теорема 1.1. [46, C.326], [53, C.159-160], [56, C.325-326] Марковский процесс эргодичен. Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в форме произведения (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия (3.1.13), (3.1.14). При этом множители в (3.1.9) имеют форму (3.1.15), (3.1.16), в которых полагается, что , а постоянная имеет вид:
где .
Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как марковский процесс с непрерывным временем и конечным числом состояний является неприводимым, то он эргодичен по эргодической теореме Маркова [5]. В [42] для замкнутых сетей с «заявкосохраняющими» узлами установлено, что для мультипликативности стационарного распределения достаточно, чтобы нетерминальные узлы являлись ограниченно -квазиобратимыми. Поэтому, с учетом условия ограниченной -квазиобратимости для изолированного узла, которое в силу леммы 3.2 для узла с номером принимает форму (3.1.13), (3.1.14), имеет место первое утверждение теоремы.
Наконец, поскольку сумма всех стационарных вероятностей должна быть равна единице, то подставляя в равенство
вместо произведение (3.1.9) и учитывая (3.1.15), (3.1.16), после очевидных преобразований получим
откуда вытекает (3.1.27). Теорема доказана.
Замечание 3.1. Если условия (3.1.13), (3.1.14) выполнены во всех узлах, то получается следующий алгоритм для нахождения стационарных вероятностей:
1. Решается система линейных уравнений (3.1.1). В качестве используемого в дальнейшем набора берется любой набор со строго положительными координатами.
2. Проверяется выполнение условий (3.1.13), (3.1.14).
3. По формуле (3.1.27) определяется постоянная нормировки .
4. Определяются с помощью соотношений (3.1.15), (3.1.16).
5. Находится стационарное распределение состояний сети с помощью формулы (3.1.9).
Отметим также, что если в сети есть узлы, в которых условия (3.1.13), (3.1.14) не выполняются, то алгоритм существенно усложнится, так как в этих узлах нельзя применить (3.1.15), (3.1.16). Поэтому для таких узлов необходимо добавить процедуру численного решения системы уравнений (3.1.2) - (3.1.8). При этом изменится также выражение для подсчета нормирующей постоянной . Известно, что наиболее трудоемким этапом при вычислении стационарного распределения для замкнутых сетей является этап подсчета нормирующей постоянной. Существуют различные численные процедуры, разработанные для ее вычисления, например, анализ средних значений [10], или алгоритм, рекуррентный по времени [4,10].
2. Примеры замкнутых сетей с переключением режимов
В 3.1 рассматривалась весьма общая модель замкнутой сети с многорежимными стратегиями. Здесь мы рассмотрим несколько полезных для различных приложений частных случаев этой модели. Во всех рассматриваемых ниже примерах предполагается, что для выполняется при и при .
Случай . Пусть для всех выполняется для и для , а также для и для . Это соответствует тому, что в модели из 3.1 полагается . Теорема 3.1 принимает следующий вид.
Следствие 2.1. Марковский процесс эргодичен. Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия
Множители в (3.1.9) имеют форму
а постоянная нормировки имеет вид
Случай . Во многих практических ситуациях переход с одного режима работы на другие невозможен, когда в узле нет заявок. Поэтому пусть для всех выполняется при . Пусть также для всех выполняется для и для , а также для и для . Это соответствует тому, что в модели из 3.1 полагается .
Следствие 2.2. Марковский процесс эргодичен. Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия
Случай . Предположим, что когда все заявок скапливаются в одном узле, прибор не может переходить с одного режима работы на другие: при . Пусть также для всех выполняется для и для , а также для и для . Это соответствует тому, что в модели из 3.1 полагается .
Следствие 2.3. Марковский процесс эргодичен. Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия
Случай . Когда в узле нет заявок или все заявки скапливаются в нем, переход с одного режима работы на другие невозможен: при или . Пусть также для всех выполняется для и для , а также для и для . Это соответствует тому, что в модели из 3.1 полагается .
Следствие 2.4. Марковский процесс эргодичен. Для того, чтобы его стационарное распределение представлялось в мультипликативной форме (3.1.9), достаточно, чтобы во всех узлах сети выполнялись условия
В следующих двух случаях стационарное распределение всегда имеет форму произведения, поскольку марковский процесс, описывающий изолированный узел в фиктивной окружающей среде, обратим. Поэтому не надо накладывать никаких ограничений типа (3.1.13), (3.1.14).
Случай . Прибор может переключаться с одного режима работы на другие только тогда, когда в узле нет заявок: для выполняется при и при . Кроме того для всех выполняется . Это соответствует тому, что в модели из 3.1 полагается .
Следствие 2.5. Марковский процесс эргодичен, а его стационарное распределение представляется в мультипликативной форме (3.1.9), множители в которой имеют форму
Случай . Переход с одного режима работы прибора на другие возможен только тогда, когда все заявки скапливаются в узле: для выполняется при и при . Кроме того для всех выполняется . Это соответствует тому, что в модели из 3.1 полагается .
Следствие 2.6. Марковский процесс эргодичен, а его стационарное распределение представляется в мультипликативной форме (3.1.9), множители в которой имеют форму
Можно выписать решения для других интересных с практической точки зрения случаев. Например, можно рассмотреть случай, когда переключение с одного режима работы на другой может производиться только при определенном фиксированном числе заявок в -ом узле , где . В этом случае марковский процесс обратим без всяких дополнительных предположений типа (3.1.13), (3.1.14).
В работе рассмотрена задача установления достаточных условий, которые надо наложить на изолированные узлы замкнутой сети массового обслуживания с многорежимными стратегиями обслуживания, чтобы стационарное распределение состояний сети имело мультипликативную форму с множителями, зависящими от состояний отдельных узлов. При этом изолированные узлы помещаются в фиктивную окружающую среду, характеризующуюся поступлением в них пуассоновских потоков заявок. Такие достаточные условия мультипликативности стационарного распределения состояний замкнутой сети в стационарном режиме ее работы установлены как для случая, когда интенсивности перехода в соседние режимы работы строго положительны при любых числах заявок в узлах, так и для случая, когда при определенных числах заявок в узлах они строго положительны, а при других числах все они равны нулю.
Доказана эргодичность марковского процесса, описывающего состояния сети. При выполнении установленных достаточных условий мультипликативности в аналитической форме найдены множители в мультипликативном представлении стационарного распределения и нормирующая постоянная. Построен алгоритм для расчета стационарных вероятностей состояний сети.
Литература
1. Кениг Д., Рыков В.В., Шмидт Ф. Стационарные системы массового обслуживания с зависимостями // Итоги науки и техники. - М., 1981. - Т.18. - С. 95-186. - (Сер. Теория вероятностей. Матем. статистика. Теор. кибернетика / ВИНИТИ).
2. Клейнрок Л. Коммуникационные сети. - М.: Наука, 1970. - 255 с.
3. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. - М.: Мир, 1979. - 600 с.
4. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. - М.: Наука, 1966. - 243 с.
5. Ковалев Е.А. Сети с ненадежными каналами и резервом // Математические методы исследования сетей связи и сетей ЭВМ. Тезисы докладов VI Белорусской школы-семинара по ТМО. - Минск, 1990. - С. 70-71.
6. Ковалев Е.А., Чикунова Н.А. Стационарное распределение двухузловой замкнутой ненадежной сети с делящимся резервом // Материалы международной конференции «Современные математические методы исследования телекоммуникационных сетей». - Минск, 1999. - С. 85-89.
7. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения. - М.: Мир, 1965. - 302 с.
8. Крыленко А.В. Сети массового обслуживания с несколькими типами заявок, немедленным обслуживанием и обходами узлов заявками // Проблемы передачи информации. - 1997. - Т. 33, Вып. 3. - С. 91-101.
9. Крыленко А.В. Малинковский Ю.В. Сети массового обслуживания с мгновенно обслуживаемыми заявками II. Модели с несколькими тинами заявок // Автоматика и телемеханика. - 1998. - №2. - С. 62-71.
10. Крыленко А.В., Малинковский Ю.В. Замкнутые сети массового обслуживания с обходами узлов и несколькими классами заявок // Becni Акад. навук Беларусi. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1998. - №2. - С.
11. Крыленко А.В. Инвариантность стационарного распределения замкнутых сетей массового обслуживания с обходами узлов, неэкспоненциальным обслуживанием и несколькими типами заявок // Becni Акад. навук
12. Крыленко A.В., Малинковский Ю.В. Сети обслуживания с обходами и несколькими классами заявок // Исследование систем и сетей массового обслуживания: Тез. докл. 12-й Бел. зимней школы-семинара по ТМО, Гр., 1996 г. / Бел. гос. унив. - 1996. - С. 48-49.
13. Крыленко А.В., Малинковский Ю.В. Замкнутые сети массового обслуживания с обходами узлов и несколькими классами заявок // VII Белорусская математ. конф. Тез. докл. науч. конф., Минск, 18-22 нояб. 1996 г. / Бел. матем. общ-во, Бел. гос. унив., Ин-т матем-ки Академии наук Беларуси. - 1996.
14. Крыленко А.В. Инвариантность сетей массового ообслуживанием и обходами узлов заявками // Математические методы исследования телекоммуникационных сетей: Материалы 13-й Бел. зимней школ. (науч. конф. BWWQT-97), Минск, 3 - 1997 г. / Бел. гос. унив. - 1997. - С. 50-52.
15. Малинковский Ю.В. Критерий точечной независимости состояний узлов в открытой стационарной марковской сети обслуживания с одним классом заявок // Теория вероятностей и ее применения. - 1990. - Т.35, №4. - С. 779-784.
16. Малинковский Ю.В. Мультипликативность стационарного распределения открытых сетей обслуживания со стандартными узлами и однотипными заявками // Проблемы передачи информации. - 1999. - Том 35, Вып.1. - С. 96-110.
17. Малинковский Ю.В. Мультипликативность стационарного распределения состояний для одного класса сетей массового обслуживания // Автоматика и телемеханика. - 1988. - №2. - С. 108-118.
Страницы: 1, 2
