sin y 0 cos y 0
0 0 0 1
Матрица вращения вокруг оси аппикат на угол c:
[ Rz ] =
-sin
(4.3)
0 0 1 0
Полезно обратить внимание на место знака « - » в каждой из трех приведенных матриц.
Б. Матрица растяжения-сжатия:
a 0 0 0
[ D ] =
(4.4)
0 0 g 0
где
a > 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс;
b > 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат;
g > 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.
В. Матрицы отражения
Матрица отражения относительно плоскости ху:
1 0 0 0
[ Mz ] =
(4.5)
0 0 -1 0
Матрица отражения относительно плоскости yz:
-1 0 0 0
[ Mx ] =
(4.6)
Матрица отражения относительно плоскости zx:
[ My ] =
(4.7)
Г. Матрица переноса (здесь (l, m, n) - вектор переноса):
[ T ] =
(4.8)
l m n 1
Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырождены.
Приведем важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.
Пример 3. Построить матрицу вращения на угол j вокруг прямой L, проходящей через точку А (a, b, c) и имеющую направляющий вектор (l, m, n). Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:
l2 + m2 + n2 = 1
На рис. 10 схематично показано, матрицу какого преобразования требуется найти.
Z
Y
X
Рис. 10
Решение сформулированной задачи разбивается на несколько шагов. Опишем последовательно каждый из них.
1-й шаг. Перенос на вектор –А (-a, -b, -c) при помощи матрицы
(4.9)
-a -b -c 1
В результате этого преноса мы добиваемся того, чтобы прямая L проходила через начало координат.
2-й шаг. Совмещение оси аппликатс прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат.
1-й поворот – вокруг оси абсцисс на угол y (подлежащий определению). Чтобы найти этот угол, рассмотрим ортогональную проекцию L’ исходной прямой L на плоскость X = 0 (рис. 11).
0
Рис. 11
Направляющий вектор прямой L’ определяется просто – он равен
(0, m, n).
Отсюда сразу же вытекает, что
cos y = n / d, sin y = m / d, (4.10)
d = m2 + n2 (4.11)
Соответствующая матрица вращения имеет следующий вид:
(4.12)
[ Rx ] =
0 -m/d n/d 0
Под действием преобразования, описываемого этой матрицей, координаты вектора (l, m, n) изменятся. Подсчитав их, в результате получим
(l, m, n, 1)[ Rx ] = (l, 0, d, 1). (4.13)
2-й поворот вокруг оси оси ординат на угол q, определяемый соотношениями
сos q = l, sin q = -d (4.14)
Cоответствующая матрица вращения записывается в следующем виде:
l 0 d 0
[ Ry ] =
(4.15)
-d 0 l 0
3-й шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол j.
Так ка теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то соответствующая матрица имеет следующий вид:
(4.16)
4-й шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -q.
5-й шаг. Поворот вокруг оси абсцисс на угол -y.
Однако вращение в пространстве некоммутативно. Поэтому порядок, в котором проводятся вращения, является весьма существенным.
6-й шаг. Перенос на вектор А (a, b, c).
Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим следующую матрицу:
[ T ][ Rx ][ Ry ][ Rz ][ Ry ]-1[ Rx ]-1 [ T ]-1.
Выпишем окончательный результат, считая для простоты, что ось вращения ходит через начальную точку.
l2 + cos j(1 – l2) l(1 – cos j)m + n sin j l(1 – cos j)n – m sin j 0
l(1 – cos j)m – n sin j m2 + cos j(1 – m2) m(1 – cos j)n + lsin j 0
l(1 – cos j)n + m sin j m(1 – cos j)n – lsin j n2 + cos j(1 - n2) 0
Рассматривая примеры подобного рода, мы будем получать в результате невырожденные матрицы вида
a1 a2 a3 0
[ А ] =
(4.17)
g1 g2 g3 0
При помощи таких матриц можно преобразовать любые плоские и пространственные фигуры.
Пример 4. Требуется подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник.
Для этого сначала по геометрическому описанию отображения находим его матрицу [ A ]. Замечая далее, что произвольный выпуклый многогранник однозначно задается набором всех своих вершин
Vi ( xi, yi, zi), i = 1,…,n,
Строим матрицу
x1 y1 z1 1
V = . . . . . . . . . . (4.18)
xn yn zn 1
Подвергая этот набор преобразованию, описываемому найденной невырожденной матрицей четвертого порядка, [ V ][ A ], мы получаем набор вершин нового выпуклого многогранника – образа исходного (рис. 12).
5. Заключение
Учитывая вышеописанные принципы, была разработана программа моделирования синтеза металлорежущих станков, которая наглядно показывает зависимость компоновки станка от формы обрабатываемой поверхности через код компоновки, а также возможность построения модели станка из стандартных узлов для последующей оценки компоновки. В виду того, что данная программа разрабатывалась как исследование, в ней лишь наглядно демонстрируется модель станка для обработки произвольной поверхности.
Программа построена на основе принципов объектно-ориентированного программирования (ООП). Такой подход был признан оптимальным для данной задачи с учетом того, что модель станка строится на основе компоновочного кода. При реализации сначала была рассмотрена цепочка узлов, представляющая станок. Это привело к трудностям и неудобству реализации отображения 3-х мерной модели в эмулированном графическом пространстве. Поэтому была реализована концепция, рассматривающая станок, как “дерево” объектов, исходя из того, что один из узлов станка, а именно станина, является неподвижным и зафиксированным жесткой привязкой к системе координат. Таким образом, полученная модель представляла собой объект, из которого выходили две “ветви” объектов.
Принципы ООП позволили создать базовый класс, из которого были получены дочерние классы для станины и остальных узлов. Каждый объект инкапсулировал свои свойства и “видел” лишь свои геометрические размеры и координаты, в которые он должен быть помещен, в результате чего модель получилась гибкой.
6. Список используемой литературы.
1. Шишкин Е. В., Боресков А. В. Компьютерная графика. М.: Диалог-МИФИ, 1995. – 288 с., ил.
2. Вайсберг А. В., Гриценко М. Е. Формирование структуры станка на ранних стадиях проектирования. – Точность автоматизированных производств (ТАП – 97). Сборник статей международной научно-технической конференции. Пенза, 1997., с. 52 – 53.
Страницы: 1, 2, 3, 4
