Кардиналістичний підхід до опису переваги замовника приписує кожній системі  якесь числове значення функції корисності . Функція корисності визначає відповідний порядок (або перевагу)  на множині  тоді і тільки тоді, коли для різних варіантів   виконуєтся нерівність . У цьому випадку кажуть, що функція корисності  є індикатором переваги . Фактично цей підхід зв'язаний із заданням такої скалярної цільової функції, оптимізація якої у загальному випадку може привести до вибору єдиного найкращого варіанту системи.

Однак на початкових етапах проектуваннях систем задати скалярну функцію корисності досить складно, тому спочатку вводять сукупність показників якості та зв’язаних з ними цільових функцій (1). Це пов'язано з такими причинами: багатогранність технічних вимог, які висуваються до проектуємої системи; необхідність забезпечення оптимальності системи за різних умов її роботи; система складається з декількох взаємозалежних між собою підсистем і оптимальність системи в цілому визначається ефективністю її складових частин.

У зв’язку з тим, що систему  доводиться характеризувати сукупністю показників якості (цільових функції), це ускладнює процес вибору оптимальних варіантів систем. При цьому мають місце три випадки: показники якості  не пов'язані між собою; показники якості  зв'язані між собою, але є узгодженими; показники якості зв'язані між собою і є конкуруючими (антагоністичними).

У першому випадку знаходження оптимальних варіантів системи виконується шляхом оптимізації по кожній із цільових функцій незалежно

.                                                              (2)

У другому випадку оптимальні варіанти можуть знаходитися також шляхом оптимізації окремих цільових функцій, тобто цей випадок близький до першого.

У третьому випадку оптимуми по різним цільових функціях не збігаються. Розв’язанням цієї задачі є узгоджений оптимум цільових функцій. Узгоджений оптимум полягає в тому, що досягається мінімальне (максимальне) значення кожнієї цільової функції за умови, що інші цільові функції приймають фіксовані, але довільні значення.

Ординалістичний підхід апелює до порядку (краще-гірше) і базується на введенні певних бінарних відношень на множині допустимих систем. У цьому випадку поняття переваги замовника системи - це бінарне відношення  на множині допустимих систем , яке відображує уяву замовника системи, що система  краща за систему : .

На практиці часто при виборі системи на множині  можна керуватися відношенням строгої переваги , що є асиметричним і транзитивним. При цьому система  називається оптимальною за відношенням , якщо не існує іншої системи , для якої справедливе відношення . Множина  оптимальних систем за відношенням  означається як . Залежно від структури допустимої множини  і властивостей відношення  множина оптимальних систем може включати єдиний елемент, скінченне або нескінченне число елементів. Якщо відношення нероздільності збігається з відношенням рівності , то множина  (якщо вона не порожня) складається з єдиного елемента.

Із введенням сукупності цільових функцій кожна система відображується на простір векторних оцінок (критеріальний простір). При цьому вказане відношення строгої переваги існує і для оцінок. Узгодженість відношення переваги на множині проектних рішень  і просторі векторних оцінок  встановлює аксіома Парето. Згідно з нею для будь-яких двох векторних оцінок , що задовольняють векторну нерівність , завжди виконується відношення .

Множину оптимальних оцінок відносно  на просторі  називають множиною Парето-оптимальних (оптимальних за Парето) або ефективних оцінок і позначають . Включення  має місце тоді і тільки тоді, коли немає оцінок, для яких виконується нерівність . Такий критерій вибору оптимальних рішень називають безумовним критерієм переваги (БКП) або критерієм Парето.

Проектні рішення, тобто варіанти побудови системи , для яких справджується включення  називають Парето-оптимальними відносно векторної цільової функції  на множині  і позначають як . Іншими словами,  тоді і тільки тоді, коли не існує такої системи , для якої виконується векторна нерівність.  

.                                                                                (3)

Співвідношення (3) означає, що виконуються нерівності для всіх  і принаймні для одного з показників якості виконується строга нерівність.

Слід зазначити, що відношення строгої переваги , яке має місце для векторних оцінок, перетворюється при  на відношення  для скалярних оцінок. При цьому Парето-оптимальна оцінка збігається з максимальним елементом множини , якому відповідає оптимум скалярної цільової функції . Таким чином, поняття Парето-оптимальності слід розглядати як узагальнення поняття оптимуму на випадок кількох цільових функцій. При цьому оптимум за Парето - це узгоджений оптимум зв'язаних між собою і конкуруючих показників якості системи.

Для Парето-оптимальних проектних рішень характерні такі властивості:

1. Усі елементи множини допустимих варіантів системи , що не належать до множини Парето-оптимальних , є безумовно гіршими.

Жодна Парето-оптимальна система з множини  не може бути визнана безумовно гіршою або кращою порівняно з іншою системою цієї множини. Це означає, що всі вони є незрівнянними за критерієм Парето - безумовним критерієм переваги.

3. Якщо множина  узгоджена, тобто містить лише один елемент (систему), то відповідний варіант системи є найкращим.

4. Кожній Парето-оптимальній системі відповідає потенціально можливе значення кожного із показників якості , що може бути досягнуто  за фіксованих, але довільних значень інших  показників якості. Це властивість -кратного оптимуму. Сукупність таких оптимальних значень показників якості є багатовимірними потенціальними характеристиками системи (БПХ).

5. Оптимальна поверхня, що є геометричним місцем Парето-оптимальних оцінок, має строго монотонний характер, тобто кожна із функцій

,

,                                                                   (4)

..........................

для Парето-оптимальних оцінок монотонно спадає щодо кожного з аргументів. Ці залежності називаються багатовимірними діаграмами обміну (БДО) для Парето-оптимальних систем.

Порівняно з одновимірними потенціальними характеристиками системи БПХ та зв'язані з ними БДО характеризуються двома важливими властивостями. По-перше, вони дають найкраще (потенціальне можливе) значення не одного, а кожного з обраних показників якості. По-друге, вони вказують, яким чином слід змінити значення одних показників якості для поліпшення інших показників якості і за рахунок якої зміни структури чи параметрів системи це можна зробити.

4 Деякі методи знаходження Парето-оптимальних рішень

Більшість методів знаходження Парето-оптимальних рішень базується на тих чи інших умовах Парето-оптимальності. У загальному випадку використовуються достатні й необхідні умови Парето-оптимальності. Зокрема, рішення є Парето-оптимальним, якщо воно є рішеннями задачі максимізації певної функції, зростаючої за відношенням . Фактично розв'язання задачі Парето-оптимізації зводиться до множини відповідних задач скалярної оптимізації за деяких обмежень. Якщо використані умови оптимальності є також і достатніми, то знайдена у такій спосіб множина рішень є множиною Парето-оптимальних рішень. У противному випадку, знайдена множина може включати і зайві рішення, що мають бути відкинуті.

Знаходження множини Парето-оптимальних систем може здійснюватися або безпосередньо перебиранням усіх строго допустимих варіантів системи та перевіркою умови (3), або з використанням спеціальних методів, наприклад, методу послідовних поступок, вагового методу, методу робочих характеристик. Вибір відповідного методу оптимізації залежить від змісту сформульованих вихідних даних, типу поставленої задачі проектування. Розглянемо особливості деяких методів.

Метод перебору. При розв'язанні оптимізаційної задачі методом перебору згідно з умовою (3) припускається, що множина  має скінченну потужність. Такі задачі виникають, наприклад, при виборі з уже відомих (“у натурі” або у вигляді технічних проектів) варіантів систем. Зокрема, множина допустимих систем може формуватися на основі відомого морфологічного підходу як різні допустимі комбінації певної кількості  підсистем. Тут суттєво зазначити, що навіть для порівняно простих систем, які складаються лише з кількох підсистем, кількість допустимих комбінацій останніх може бути значною (десятки і сотні тисяч). Тому, хоча принципових труднощів при використанні методу перебору не існує, проте на практиці можливі складнощі обчислювального характеру.

Метод робочих характеристик. Метод полягає у тому, що шукається оптимум однієї із цільових, наприклад, першої функції на множині строго допустимих систем при умові, що на всі цільові функції накладаються  обмеження типу рівності

, при ,                                  (5)

де  - фіксовані, але довільні значення показників якості.

Очевидно, оптимальне значення показника  у загальному випадку залежатиме від фіксованих значень інших показників якості . Знайдені у такий спосіб залежності за допустимих комбінацій фіксованих значень  у критеріальному просторі являють собою робочу поверхню. Робочій поверхні відповідає сім'я одновимірних робочих характеристик  виду 

,

,                                                                     (6)

...........................

.

Тут підкреслені змінні, що розглядаються як фіксовані параметри.

Робоча поверхня має такі характерні властивості:

1. Робоча поверхня включає усі Парето-оптимальні точки, але поряд з ними має і ряд безумовно гірших точок. Вони мають бути відкинуті з подальшого розгляду.

Необхідною і достатньою умовою збіжності робочої поверхні з Парето-оптимальною множиною, є її строга монотонність, тобто монотонно спадний характер відносно кожного з аргументів. В цьому випадку робоча поверхня визначає БПХ системи.

Основні складнощі при використанні методу робочих характеристик полягають у розв'язанні задачі скалярної оптимізації в умовах -го обмеження типу рівностей. Але у багатьох практичних випадках таку задачу вдається довести до одержання конкретної структури системи з довільними параметрами.

Ваговий метод. При його застосуванні Парето-оптимальні рішення знаходяться шляхом оптимізації зваженої суми цільових функцій виду

.                                               (7)

Тут  — скінченні додаткові зважуючі коефіцієнти. При цьому знаходиться оптимальне значення  і відповідні йому значення показників якості ,

Страницы: 1, 2, 3