Известно, что r-L-с цепочка является резонансной, с резонансной частотой ω0, определяемой по формуле: .

Поэтому, необходимо выбрать значение резонансной частоты ω0 таким образом, чтобы обеспечить выполнение всех трёх критериев технического задания. Разумеется, значение резонансной частоты ω0 не может находиться внутри или на границе диапазона частот составляющих полезного сигнала (хотя бы потому, что значение ФЧХ при ω = ω0 равно нулю, а должно быть, в идеале, равным π/2). С другой стороны, резонансная частота не должна совпадать или быть близкой к частоте помехи (хотя бы потому, что условие ω = ω0 соответствует максимуму тока в цепи и, следовательно, максимуму напряжения на выходе, а задача состоит как раз в обратном - в необходимости максимально уменьшить это напряжение). Следовательно, положение резонансной частоты на оси частот определяется неравенством ω2< ω0< ωп, где ω2 - частота высшей гармоники полезного входного сигнала, ωп -частота помехи. Поскольку ωп намного больше ω2, диапазон возможного положения ω0 на оси частот достаточно широк, и это позволяет надеяться, что при каком-то значении индуктивности L цепь сможет соответствовать всем указанным выше критериям качества, хотя это и не гарантировано.

Теперь рассчитаем параметры r-L-c цепочки согласно требованиям технического задания. Как уже было отмечено ранее, параметры r и C можно оставить теми же, что были использованы при расчете rc-цепочки. Активное сопротивление катушки rk зависит от числа её витков, которое в свою очередь определяет индуктивность катушки L. Сама же индуктивность может быть вычислена, если будет известна резонансная частота ω0 r-L-c цепочки.

Проведём анализ формул для расчёта АЧХ и ФЧХ r-L-c цепочки с точки зрения критериев, описанных в техническом задании. Целью анализа будет установление интервала частот Δω, в котором может находиться резонансная частота ω0, и при этом будут выполняться все три критерия качества. При анализе можно пренебречь активным сопротивлением катушки rk, т.к. rk<<r . Поэтому можно считать, что оно не оказывает существенного влияния на характер АЧХ и ФЧХ.

C учётом сказанного, перепишем формулы (4) и (5), подставив в них зависимости:

 и  (c).

Получим:

 (6)

 (7)

При расчете интервала частот Δω, можно принять следующие обозначения:

ω01 - минимально-необходимое значение резонансной частоты ω0 , обеспечивающее соответствие первому критерию качества,

ω02 - максимально возможное значение ω0, обеспечивающее выполнение требований второго критерия;

ω03 - максимально возможное значение ω0, обеспечивающее выполнение требований третьего критерия.

1)                 Расчёт резонансной частоты ω0 с точки зрения критерия минимального уровня полезного сигнала на выходе.

Составим неравенство, исходя из условия, что минимально-необходимым можно принять сигнал u2(t), у которого амплитуда первой гармоники не меньше 1мВ:  (8).

Подставив выражение для K(ω) из формулы (6), составим и решим неравенство:

, где , .

Решая это неравенство относительно ω01, получим:

ω01– любое значение (9). Расчёт резонансной частоты ω0 с точки зрения критерия точности дифференцирования выходного сигнала.

В качестве опорных неравенств, воспользуемся неравенствами (10) и (11), которые приведены в техническом задании:

 (10) и (11)

Подставим из выражения (6) в неравенство (10) значения K(1)=K(ω1) и K(2)=K(ω2), получим:

Здесь , , . Решая это неравенство относительно ω02, получим:

ω02 – любое значение (12). Подставим из формулы (7) в неравенство (11) значение , получим:

.

Решая это неравенство относительно ω02, получим: ω02 ≥2797,5 рад/с (13)

2)                 Расчёт резонансной частоты ω0 с точки зрения критерия помехозащищённости r-L-c цепочки.

Для расчёта помехозащищённости, воспользуемся условием неравенства (6):

 (3)

Здесь  и . Подставим эти значения в неравенство (3), используя формулу (6). Получим:

;

Здесь , ωп = 200000 рад/с.

Решая это неравенство относительно ω03, получим:

ω03 ≤ 16741,6 рад/с (14)

Итак, наложив ограничения на резонансную частоту ω0 с точки зрения всех трёх критериев, можно составить систему из неравенств (9,12,13,14):. Отсюда, искомый интервал частот Δω = (2797,5 …) (рад/с). Так как в техническом задании не оговорено никаких дополнительных требований к резонансной частоте, то можно выбрать любое значение ω0 из интервала Δω. Выберем ω0 = 10000 рад/с. С учетом выбранной резонансной частоты и ранее выбранной ёмкости С = 1мкФ, вычислим индуктивность катушки L:

 (Гн).

Рассчитаем число витков катушки с сердечником в виде кольцевого магнитопровода, выполненного из феррита (рис. 5) с магнитной проницаемостью μr. Пренебрегаем всеми видами потерь. Напряженность поля на одинаковом расстоянии r от оси симметрии такого магнитопровода одинакова и равна

Здесь i – сила тока в катушке, W – число витков, B – магнитная индукция, μ0 = 1,25663706*10-6 Гн/м – магнитная постоянная. Магнитный поток в сердечнике равен:

;

Следовательно, индуктивность катушки без учёта индуктивности рассеяния

 (15).

Отсюда, число витков

С учётом W=141, найдём индуктивность такой катушки по формуле (15):  (Гн)

Теперь рассчитаем активное сопротивление катушки rk::

 (16)

Здесь  Ом∙м – удельное сопротивление меди, l=W∙2(  + h) – полная длинна провода в катушке,  – площадь поперечного сечения проводника. Таким образом,

 (Ом).

Добротность контура

Вычисление АЧХ и ФЧХ r-L-c цепочки с учётом всех выбранных параметров

Выпишем все рассчитанные параметры r-L-c цепочки:

Сопротивление резистора r = 22,4 Ом;

Ёмкость конденсатора C = 1 мкФ;

Индуктивность катушки L = 0,01 Гн;

Число витков катушки W=141;

Активное сопротивление катушки rk =  Ом;

По формуле (6):

По формуле (7):

Построим графики амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристики r-L-c цепочки (рис.20-24):

При помощи рассчитанных АЧХ и ФЧХ, можно полностью вычислить выходной сигнал u2(t):

Рис. 16 – Выходной сигнал с помехой

Выходной сигнал с помехой найденный с помощью АЧХ и ФЧХ rlc-цепочки на полезных частотах и на частоте помехи сигнала. Формула для нахождения каждой из составляющих выходного сигнала: u_2 (t)=U_1m∙K(ω)∙sin⁡(ωt+ψ_1+α(ω)).     Выходной сигнал, полученный путем умножения дифференцированого входного сигнала без помехи на коэффициент m(коэффициент подбирается визуально, так чтобы графики выходных сигналов совпадали) m=0,0000229. u_2 (t)=0,0000229∙(1,6∙cos(700∙x)∙700+cos(1400∙x)∙1400)

Общий вывод

В данной работе был произведён расчет дифференцирующего устройства, используемого в устройстве формирования управляющих сигналов некоторой системы автоматического регулирования. В процессе выполнения работы оказалось, что применение простейшей дифференцирующей rc-цепочки не может удовлетворить всем требованиям технического задания. Поэтому были приняты соответствующие меры (добавление в rc-цепочку индуктивности L) для достижения необходимых свойств дифференцирующего устройства. Для r-L-c цепочки был произведён анализ допустимого интервала Δω резонансной частоты ω0. После выбора резонансной частоты ω0, было выбрано значение индуктивности катушки L, рассчитаны геометрические параметры её сердечника и определено её активное сопротивление rk.

После расчета всех параметров r-L-c цепочки, расчёта и построения её частотных характеристик, а также построения графиков выходного сигнала, был сделан вывод о том, что r-L-c цепочка с выбранными параметрами полностью удовлетворяет всем требованиям технического задания, в частности:

1)                 Уровень полезного сигнала достаточно высок для его дальнейшего использования в системе автоматического регулирования. Амплитуда 1-ой гармоники полезного сигнала U2(1)m составляет 25,6 мВ (по ТЗ U2(1)m ≥ 1 мВ).

2)                 Обеспечена достаточная точность дифференцирования:

, по условию ;

, по условию Δ ≤ 0,042

3)                 Уровень высокочастотной помехи в составе выходного сигнала достаточно низок, по сравнению с уровнем входного сигнала:

, по условию

Страницы: 1, 2, 3