Нахождение АЧХ и ФЧХ rc-цепочки в общем виде:
Для этого запишем уравнения Кирхгоффа для rc-цепочки в комплексной форме (рис. 10):
Рис.10 К расчету дифференцирующей rc-цепочки комплексным методом
Комплексный коэффициент передачи напряжения может быть найден, как отношение комплексных амплитуд, либо как отношение действующих значений напряжений:
Составляющие называются соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками.
Отсюда, АЧХ:
(1)
ФЧХ:
(2)
В общем виде, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики дифференцирующей rc-цепочки могут быть представлены в виде графиков (рис.11 и рис. 12):
Рис 11 и 12 - Общий вид АЧХ rc-цепочки АЧХ идеального дифференцирующего устройства и общий вид ФЧХ rc-цепочки ФЧХ идеального дифференцирующего устройства
Анализируя амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики дифференцирующей rc-цепочки можно сделать следующие выводы:
1) В области низких частот АЧХ rc-цепочки практически линейна и совпадает по форме с низкочастотной областью АЧХ идеального дифференцирующего устройства. При такой форме АЧХ, после дифференцирования возможно сохранится соотношение между амплитудами полезного сигнала, что требуется в техническом задании.
2) В области высоких частот , т.е. амплитуда помехи не будет многократно увеличена, как в случае с идеальным дифференцирующим устройством. Возможно, что при определённых параметрах rc-цепочки будет обеспечена её достаточная помехозащищённость.
3) При некоторых значениях параметров rc-цепочки, её фазо-частотная характеристика будет оставаться в районе в течении достаточно длительного диапазона частот. Таким образом может быть достигнуто требование по точности дифференцирования из технического задания.
Таким образом, rc-цепочку возможно использовать в качестве дифференцирующего устройства, если удастся так подобрать её параметры, чтобы выполнялись все три критерия качества из технического задания.
Выбор необходимых параметров rc-цепочки, согласно критериям технического задания
При анализе формул (1) и (2) можно заметить, что сопротивление резистора r и ёмкость конденсатора С входят в формулы АЧХ и ФЧХ только в виде произведения τ=r∙C. Это произведение является постоянной времени для rc-цепочки. Известно, что приемлемая точность дифференцирования обеспечивается в том случае, когда постоянная времени цепи хотя бы на два порядка меньше наименьшего интервала времени, в пределах которого функция u1(t) изменяется с наибольшей скоростью. В данном случае достаточно, чтобы τ была в сто раз меньше половины периода высшей(второй) гармоники полезного сигнала, т.е. τ = r∙C = . Период высшей гармоники полезного сигнала определяется, как . Тогда
τ = r∙C = ≈ 22,4∙(с).
Выберем ёмкость С = 1мкФ, тогда сопротивление r = 22,4 (Ом).
С учётом выбранных r и С окончательно получаем τ = (с). Для этой постоянной времени построим амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.
По формуле (1): .
По формуле (2): .
ФЧХ rc-цепочки с выбранными параметрами r и c ФЧХ идеального дифференцирующего устройств
Входной сигнал имеет вид:
Найдем значения АЧХ и ФЧХ для частот сигнала:
=700 рад/с
=1400 рад/с
=200000 рад/с
Выходной сигнал:
Общая формула для вычисления:
Выходной сигнал без помехи:
Выходной сигнал с помехой:
Рис.8 – Выходной сигнал
Выхондой сигнал без помехи найденный с помощью АЧХ и ФЧХ rc-цепочки на полезных частотах сигнала. Формула для нахождения каждой из составляющих выходного сигнала: u_2 (t)=U_1m∙K(ω)∙sin(ωt+ψ_1+α(ω))
Выходной сигнал, полученный путем умножения дифференцированого входного сигнала без помехи на коэффициент m(коэффициент подбирается визуально, так чтобы графики выходных сигналов совпадали) m=0,0000224
u_2 (t)=0,0000224∙(1,6∙cos(700∙x)∙700+cos(1400∙x)∙1400) а
Рис.9 - Выходной сигнал с помехой
Выходной сигнал с помехой найденный с помощью АЧХ и ФЧХ rc-цепочки на полезных частотах и на частоте помехи сигнала u_2 (t)=U_1m∙K(ω)∙sin(ωt+ψ_1+α(ω))
u_2 (t)=0,0000224∙(1,6∙cos(700∙x)∙700+cos(1400∙x)∙1400) Вывод: rc-цепочка не способна обеспечить выходной сигнал с допустимо малым уровнем помехи, необходимо искать путь подавления помехи в сигнале. Так как, при отсутствии помехи, rc-цепочка может быть использована как идеальное дифференцирующее устройство.
Теперь проанализируем полученные результаты с точки зрения критериев технического задания, всего их 3(уровень полезного сигнала, точность дифференцирования, помехоучтойчивость rc-цепочки)
Начнем проверку с третьего критерия, так как он представляется(судя по графику) невыполняемым(рис 9).
Помехоучтойчивость rc-цепочки
Для количественного определения допустимого уровня помехи в составе выходного сигнала, вычислим отношение амплитуды помехи к амплитуде первой гармоники полезного сигнала для входного сигнала u1(t):
.
Приблизительно таким же (или ещё меньше) должно быть отношение амплитуд помехи и первой гармоники полезного сигнала в выходном сигнале u2(t), т.е. должно выполняться соотношение:
(3);
Вычислим отношение амплитуд помехи и первой гармоники полезного сигнала в выходном сигнале u2(t):
В результате соотношение (3) не выполняется, т.е. уровень помехи в составе выходного сигнала значительно превышает допустимый
Следовательно если один из критериев не выполняется, то нет смысла проверять и другие два.
Анализируя результат, можно сделать вывод о том, что дифференцирующая rc-цепочка с постоянной времени τ = 22,4∙(с) обеспечивает достаточный уровень полезного сигнала на выходе и приемлемую точность дифференцирования(рис13,14). Однако, уровень помехи в составе выходного сигнала такой цепочки недопустимо высок, что не позволяет использовать её в устройстве формирования управляющих сигналов.
Помеху можно было бы подавить на выходе с помощью частотного фильтра. Но в этом случае необходимо учесть влияние (вполне возможно, неблагоприятное) фильтра на качество дифференцирования полезного сигнала, так как АЧХ и ФЧХ совместно работающих дифференцирующего устройства и фильтра, скорее всего, окажутся существенно хуже АЧХ и ФЧХ отдельно рассчитанной r-с цепочки.
Гораздо более удачным был бы вариант электрической цепи, которая обладала бы дифференцирующими свойствами в области частот полезных составляющих входного сигнала и одновременно свойством подавления высокочастотной помехи. Таким дополнительным свойством обладала бы цепь, в которую включена катушка индуктивности, т.е. выполненная по схеме (рис. 15):
Рис. 15 Простейшая дифференцирующая r-L-c цепочка
Здесь L - индуктивность катушки, rk - ее активное сопротивление, r и c - активное сопротивление и емкость, величины которых могут остаться такими же, как и в r-с цепочке, рассмотренной ранее. Индуктивное сопротивление xL = ωL особенно велико на частоте помехи и способно существенно ограничить составляющую тока этой частоты, а следовательно, и выходное напряжение сигнала помехи, что и является ожидаемым полезным эффектом. Однако наличие дополнительных параметров L, rk изменяет вид АЧХ и ФЧХ и в области частот полезного сигнала, причем пока не ясно, в сторону их улучшения или ухудшения. Поэтому необходимо исследовать (аналитически, в общем виде) АЧХ и ФЧХ предложенной r-L-c цепи. Если имеется некоторый диапазон частот, в пределах которого АЧХ и ФЧХ одновременно отвечают условиям дифференцирования полезной составляющей входного сигнала, значит, дальнейшие операции имеют смысл. Если такого диапазона нет, цепь в принципе не обладает нужными свойствами.
1. Расчет в общем виде АЧХ и ФЧХ скорректированного дифференцирующего устройства (r-L-c цепи). Расчет параметров r-L-c цепи согласно требованиям технического задания.
Составим уравнения Кирхгоффа для r-L-c-цепочки в комплексной форме (рис. 17):
Рис.17 К расчету дифференцирующей rc-цепочки комплексным методом
(4)
(5)
В общем виде, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики дифференцирующей r-L-c-цепочки могут быть представлены в виде графиков (рис.18 и рис. 19):
Рис. 18
Общий вид АЧХ дифференцирующей r-L-c-цепочки, ω0 – резонансная частота
Рис. 19
Общий вид ФЧХ дифференцирующей r-L-c-цепочки, ω0 – резонансная частота
Страницы: 1, 2, 3
