динамическая система (1)

Аналитический вид функции момента движущих сил Mc(ω) находится методом наименьших квадратов:

Аналитический вид функции момента движущих сил Mg(ω,μ) находится методом наименьших квадратов. Сначала по столбцам при различных μ вычисляется матрица ABC зависимости Mg(ω,μ) от μ. Первый столбец матрицы ABC вычисляется при μ=0 из системы:

Остальные столбцы заполняются аналогично при μ равном 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.

Матрица ABC выражает зависимость функции Mg(ω,μ) от ω при различных μ. При этом функция Mg(ω,μ) имеет вид:

Строки матрицы выражают зависимость слагаемых (А(μ), В(μ) и С(μ)) функции Mg(ω,μ) от μ, соответственно 1-ая строка А(μ), 2-ая строка В(μ), 3-я строка С(μ). А(μ), В(μ) и С(μ) имеют вид:

Коэффициенты при μ вычисляются методом наименьших квадратов из матрицы ABC по строкам. Так для А(μ) по первой строке матрицы ABC из системы

Аналогично находим аналитический вид В(μ) и С(μ). Получаем:

3 Нахождение равновесного состояния системы

Найдем равновесное состояние системы при следующих условиях . Подставим эти условия в систему (1), получим систему вида:

Решая систему численно, получаем равновесное состояние системы при ω0=34.54 и μ0=0.5. Построим графики Mc(ω) и Mg(ω,μ) при разных μ0. На рисунке 1 жирными сплошными линиями отмечены графики Mc(ω) и Mg(ω,μ) при μ0=0.5

Рисунок 1 – Графики функций Mc(ω) и Mg(ω,μ)

4 Численное нахождение функций ω(t) и μ(t) равновесного состояния

Для того чтобы из системы (1) найти функции ω(t) и μ(t), необходимо понизить степень системы, то есть избавиться от производных второго порядка. Для этого введем функцию Z(t)= μ'(t), получим систему вида:

(2)

Решая систему численно, получаем табличные значения ω(t) и μ(t), по которым строим графики ω(t) (рисунок 2) и μ(t) (рисунок 3). По графикам хорошо видно, что ω(t) и μ(t) стремятся к равновесным значениям ω0=31.948 и μ0=0.5, ω(t)→ 31.948, μ(t) →0.5, что соответствует вычислениям.

Рисунок 2 – График функции ω(t)

Рисунок 3 – График функции μ(t)

5 Линеаризация и численное решение разомкнутой системы

Линеаризуем систему (2) в окрестности точки равновесия. Для этого выведем систему из равновесия, придав u, μ, ω малые приращения ∆u, ∆μ, ∆ω→0. Соответственно придается приращение Z, ∆Z→0.

  (3)

Теперь разложим функции Mc(ω) и Mg(ω,μ) в ряды Тейлора по формулам:

Пренебрегая остаточными членами Og(ω,μ) и Oc(ω), получим систему вида:

Или

(4)

Решая систему численно, получаем табличные значения ∆ω(t) и ∆μ(t), по которым строим графики ∆ω(t) (рисунок 4) и ∆μ(t) (рисунок 5).

Рисунок 4 – График ∆ω(t)

Рисунок 5 – График ∆μ(t)

6 Замкнутая система

В векторно-матричной форме линейную систему с непрерывным временем можно записать в виде:

, где

А =(5)

С дискретным временем:

Xk+1 = A∆Xk + B∆Uk , где

Замкнем систему, положив , где k – коэффициент регулятора. Из соотношений (3) получим , и тогда с непрерывным временем система примет вид:

, где

   (6)

С дискретным временем

, где

7 Оценка управляемости системы

Составим матрицу К:

Ранг матрицы K равен 3, что равно размерности системы (5), следовательно, система управляема.

Найдем коэффициент k0 регулятора замкнутой системы на границе устойчивости по критерию Рауса-Гурвица.

Сначала составим характеристическое уравнение для системы (6).

 (7)

Найдем k по критерию Рауса-Гурвица.

Определитель Рауса-Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения и имеет свойство . где ∆n и ∆n-1 определители матрицы, an свободный член характеристического уравнения.

Проверим ∆1, ∆2:

∆1 = |41.16| = 41.16 > 0

∆2 =

Условие границы устойчивости, если хотя бы один определитель будет равен нулю. Пусть ∆n=0, тогда аn=0. Получим:

, отсюда k0=0.169.

8 Оценка устойчивости системы

Найдем корни характеристического уравнения (7) λ1, λ2, λ3 при различном Коэффициенте регулятора k, k = k0*α = 0.169* α, где α=0.6..0.9.

Таблица 4 – Корни характеристического уравнения замкнутой системы

Построим графики изменения λ1, λ2, λ3.

Рисунок 6 – График изменения λ1

Рисунок 7 – График изменения λ2

Рисунок 8 – График изменения λ3

Действительные части собственных чисел матрицы системы всегда меньше нуля, следовательно, система устойчива.

9 Построение переходного процесса

Построим переходный процесс для системы (6) с начальными условиями t=0, ω(0)= 1.1ω0, μ(0)=0, Z(0)=0 по формуле:

, где

, - правые и левые собственные вектора системы.

Собственные числа:

λ1= 1.59

λ2= – 2.79

λ3= –39.96

Матрица правых собственных векторов

Матрица левых собственных векторов

Получим переходный процесс

в котором

Построим графики ω(t), μ(t), Z(t)

Рисунок 9 - Переходный процесс ω(t)

Рисунок 10 - Переходный процесс μ(t)

Рисунок 11 - Переходный процесс Z(t)

10 Нахождение передаточной функции для разомкнутой системы

Сделаем преобразование Лапласа над разомкнутой линейной системой, получим систему вида:

, или

Выразим ∆μ из первого уравнения:

Выразим ∆ω через U:

→

получили выражение вида , где W(p) есть передаточная функция комплексной переменной, имеющая вид:

(8)

11 Амплитудная, фазовая, вещественная, мнимая и амплитудно-фазовая частотные характеристики

Подставим в передаточную функцию (8) в качестве комплексного аргумента iω, получим:

Умножим числитель и знаменатель правой части на число сопряженное знаменателю, получим и выделим действительную и мнимую части передаточной функции Re(ω) и Im(ω):

Построим графики.

Рисунок 12 - График Re(ω) Рисунок 13 - График Im(ω)

Получим амплитудную, фазовую и амплитудно-фазовую частотные характеристики системы. Построим графики функций:

- амплитудная характеристика (рис. 14).

- фазовая характеристика (рис. 15).

Для АФХЧ отложим на графике по вертикальной оси значения мнимой части, а по горизонтальной действительной части, при ω=1..100 с шагом 0.001. Рисунок 16.

Рисунок 14 - График A(ω) Рисунок 15 - Графики Ф(ω)

Рисунок 16 - Годограф АФЧХ

Рисунок 17 - Годограф АФЧХ

12 Оценка устойчивости системы по критерию Найквиста, по критерию Михайлова

Оценим устойчивость системы по критерию Найквиста. Годограф АФЧХ не охватывает точку (-1,0), следовательно, система устойчива. Найдем запасы устойчивости системы по фазе и по амплитуде.

Запас устойчивости по фазе – это угол, на который нужно повернуть годограф АФЧХ, чтобы он охватывал точку (-1,0).

Из уравнения  получаем ω0=2.551. Вычислим значение действительной части при ω0, Re(ω0) = -0.926. Тогда запас устойчивости по фазе вычисляется как:

Запас устойчивости по фазе равен 0.386 радиан.

Запас устойчивости системы по амплитуде – это расстояние от точки пересечения годографа АФЧХ с осью OX до точки (-1,0). Из уравнения  получаем ω0=6.509. Вычислим Re(ω0)=-0.143. Тогда запас устойчивости системы по амплитуде будет равен 1-0.143=0,857

Оценим устойчивость системы по критерию Михайлова. Подставим в характеристическое уравнение разомкнутой системы iω вместо λ, выделим действительную и мнимую часть. Построим годограф Михайлова, отложив на графике по вертикальной оси значения мнимой части, а по горизонтальной действительной части, при ω=1..100 с шагом 0.001 (рис. 18).

Рисунок 18 - Годограф Михайлова

Рисунок 19 - Годограф Михайлова

Годограф Михайлова пересекает последовательно n квадрантов (n=3), следовательно, система устойчива.

Заключение

Результатом выполнения курсового проекта стало закрепление знаний по дисциплине «Основы теории управления», приобретены практические навыки для исследования поведения управляемой динамической системы, описанной системой дифференциальных уравнений. Были изучены возможности математических программных пакетов.

Библиографический список

1.                 Советов Б.Я. Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов – 3-е изд. – М.: Высшая школа, 2001. – 343 с.

Страницы: 1, 2