ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА СИГНАЛОВ
1 Основные положения теории оптимального приема сигналов
Прием сигналов – одна из наиболее сложных теоретических и инженерных задач передачи сообщений. Сложность состоит в том, что в пункте приема сообщения необходимо извлекать из модулированных сигналов-переносчиков, которые в процессе прохождения по линии связи не только ослабляются, но и подвергаются воздействиям различных искажающих факторов и помех.
Весьма желательно располагать методами приема, которые были бы наилучшими (оптимальными) в данных конкретных условиях. Направление, связанное с отысканием таких методов, называется теорией оптимального приема.
Теоретической основой решения задач оптимального приема является теория Байеса.
Пусть некоторая случайная физическая величина, которую назовем причиной, может принимать множество значений(исходов) П с плотностью вероятностей р(П), которая считается априорной(заранее известной). Пусть причина вызывает появление другой случайной величины – следствия С, которое также может принимать множество значений. Плотность вероятностей этих значений зависит от конкретных исходов причины. Поэтому ситуация описывается множеством условных плотностей вероятностей р(С/П).
Статистическим решением называют процедуру, которая состоит в том, чтобы, наблюдая конкретное следствие , указывать вызвавшую его причину . Так как наблюдаемое следствие может быть вызвано любым исходом причины П, то можно определить плотность вероятностей всех возможных исходов, которые могли вызвать данное следствие, т.е. определить функцию р(П/). Эта функция называется апостериорной (послеопытной, установленной на основе имевшего место опыта или наблюдения) плотностью вероятностей причин.
Основой для принятия статистического решения является теорема Байеса
(1)
где р(С/П) – условная плотность распределения следствий;
р(С) – безусловная плотность распределения следствий С, определяемая как
.
Значение этого интеграла не зависит от П, поскольку интегрирование по этой переменной ведется по всей области ее существования Г.
Из (1) следует, что апостериорная плотность вероятностей причины р(П/С) зависит от априорной плотности вероятностей причины р(П) и условной плотности вероятностей следствий р(С/П). плотность р(С/П) является функцией П, ее называют функцией правдоподобия.
В теории статистических решений показано, что при принятии решения о конкретном значении действовавшей причины , вызвавшей наблюдаемое (или заданное) следствие , наименьшую ошибку можно совершить, если выносить решение в пользу того значения причины, при которой условное распределение р(П/) имеет наибольшее значение. Такое правило принятия решения называется байесовским.
Если априорная плотность р(П) неизвестна, то самое большее, что можно сделать – предположить равномерность ее распределения. Тогда решение будет выноситься в пользу того значения причины , при котором функция правдоподобия р(С/П) для наблюдаемого следствия принимает наибольшее значение. Это означает, что такое значение причины считается наиболее правдоподобным среди других возможных значений. Подобная процедура принятия решения называется правилом максимального правдоподобия.
Применим изложенный подход к решению задачи оптимального приема сигналов.
Суть процедуры оптимального приема. Установлено, что между колебаниями и векторами можно установить взаимно-однозначное соответствие. Поэтому вместо колебаний можно рассматривать соответствующие векторы. Исходя из этого, будем считать причиной П случайный вектор х, соответствующий передаваемым сообщениям (или однозначно связанный с ним вектор сигналов s, переносящих эти сообщения), а следствием С – случайный вектор у, соответствующий смеси сигнала шума на входе приемника. С учетом сказанного (1) можно записать либо в виде
(2)
либо в эквивалентном выражению (2) виде
(3)
где x,s,y – векторы в многомерных пространствах, соответствующие сообщениям x(t), сигналам s(t)=s[x(t),t] и входным реализациям y(t)=s(t)+n(t).
При передаче дискретных сообщений множество сообщений x(t) может принимать только конечное число дискретных значений, которому однозначно соответствует конечное число различающихся сигналов
Оптимальная процедура приема состоит в определении величин р(s/ y) для всех М значений , сравнения этих величин между собой и выборе наибольшей из них. Значение , которому соответствует максимальная величина р(/y)
считается переданным сигналом и в соответствии с этим на выходе приемника воспроизводится сообщение .
Основная трудность при решении такой задачи связана с нахождением апостериорного распределения р(s/ y). Наиболее детально задача решена для помехи типа гауссовского белого шума и набора сигналов, заранее известных в точке приема. Если при этом все сообщения равновероятны и независимы, то выражение для р(s/y) можно привести к виду
(4)
где - односторонняя спектральная плотность мощности белого гауссовского шума;
А – некоторая константа.
Нахождение сигнала , максимизирующего величину(4) при наблюдении на входе приемника некоторой реализации y(t), эквивалентно минимизации показателя экспоненты. Следовательно, оптимальный приемник должен выносить решение о приеме того сигнала, при котором функция р(/ y) достигает максимума, а величина
(5)
соответственно становится минимальной.
Учитывая свойства векторного представления функций времени, от выражения(5), можно перейти к эквивалентному ему выражении.
(6)
Выражение(5) или (6) представляет собой алгоритм работы оптимального приемника дискретных сообщений. Работая по этому алгоритму, оптимальный приемник должен вычислить значения величины для всех М, используемых в системе сигналов (где j-1,2,…,М), сравнить их между собой, выбрать наименьшее значение и воспроизвести на выходе соответствующее ему дискретное сообщение.
Иными словами, оптимальный приемник всегда воспроизводит на выходе сообщение, переносимое тем сигналом, к которому наиболее близка входная реализация y(t). В геометрической интерпретации это означает, что оптимальный приемник всегда относит вектор входной реализации y к ближайшему вектору сигнала.
Очевидно, что прием сигналов в присутствии шума может приводить к ошибкам, поскольку вектор входной реализации случаен и с некоторой вероятностью может попасть в любую точку пространства. Допустим, что вектор y, образованный из переданного сигнала и шума n, попал в точку, наиболее близко расположенную к вектору сигнала .
Если i=j, то приемник примет правильное решение, если же , то решение приемника окажется ошибочным и вместо переданного сообщения он ошибочно воспроизведет сообщение .
Несмотря на то, что оптимальный приемник дискретных сообщений может допускать ошибочные решения, их вероятность у этого приемника минимальна по сравнению с любыми реальными приемниками таких сообщений.
Исследования показывают, что алгоритм может быть представлен в более удобном для схемной реализации виде и позволяет получить структурные схемы оптимальных приемников и выражения для расчета помехоустойчивости.
2 Оптимальный когерентный прием дискретных сигналов и его помехоустойчивость
В задаче распознавания сигналов, не содержащих случайных параметров(т.е. точно известных), «причинами» являются поступающие на вход сигналы , вероятности которых равны, очевидно, вероятности появления соответствующих элементов . «Следствиями» являются реализации суммы сигнала и помехи.
Количественно описание ситуации удобно производить с помощью рассмотрения векторов соответствующих колебаний. Вместо сигналов будем оперировать однозначно соответствующими им векторами , а вместо реализаций y(t) – векторами , координаты которых определяются выражением, которое в нашем случае запишем так:
В соответствии с теоремой Байеса
Как было отмечено, решение обычно выносится в пользу сигнала, имеющего наибольшую апостериорную вероятность. Так как знаменатель не зависит от номера I, то решающее правило(алгоритм решения) определяется так:
Следует обратить внимание на то, что в этих выражениях -- плотности вероятностей, так как компоненты вектора y, как видно из (1), являются непрерывными случайными величинами.
В выражении (3) априорные вероятности передачи элементов должны быть заданы. Следовательно, необходимо определить только правдоподобия . Это можно сделать исходя из того, что помеха аддитивна. Так как
,
то плотность вероятности некоторого значения вектора равна плотности вероятности, что вектор помехи n примет значение . Отсюда следует, что если- известная нам плотность вероятности вектора помехи, то
Последний переход справедлив потому, что сигнал и помехи – независимые процессы.
Для дальнейшей конкретизации алгоритма необходимо задать определенный вид помехи. В большинстве случаев имеют место нормальные (гауссовские) или близкие к ним помехи. Вычисления в этом случае оказываются наиболее простыми. При гауссовских помехах каждая компонента вектора распределена по нормальному закону
В ряде случаев, в частности, при равномерном распределении энергии помехи по полосе рассматриваемых частот, компоненты вектора являются независимыми случайными величинами. Тогда, как известно,
При зависимых компонентах выражение для существенно усложняется и этот случай здесь рассматривать не будем.
Отметим, что ,т.е. является квадратом длины(нормы) вектора помехи.
Следовательно,
(7)
Отбросив множители, не зависящие от номера сигнала i, решающее правило(3) можно представить в виде
(8)
Приемник, работающий по алгоритму(8), называется байесовским или приемником максимальной апостериорной вероятности. Если апостериорные вероятности элементов одинаковы, то решающее правило упрощается:
(9)
Соответствующий приемник называется приемником максимального правдоподобия. Правило(9) раскрывает механизм работы оптимального приемника.
Получив вектор y, с помощью обработки реализации y(t) необходимо вычислить расстояние от его конца до концов векторов всех возможных сигналов и вынести решение в пользу того сигнала, для которого величина будет минимальной, так как именно в этом случае функция (9) достигнет максимума. Коротко можно сказать, что оптимальный приемник выносит решение в пользу сигнала «ближайшего» к y(t).
Выражение(9) достигает максимума при минимуме показателя экспоненты. Следовательно, правило (9) можно записать в ином виде:
Страницы: 1, 2
