1. Постановка сетевой транспортной задачи.
На практике часто встречается задача определения кратчайшего маршрута по заданной сети из начального пункта до конечного пункта маршрута. Транспортная сеть может быть представлена в виде графа (рис.1), дуги которого - транспортные магистрали, а узлы - пункты отправления и назначения. Графически транспортная сеть изображается в виде совокупности n пунктов P1,P2,...,Pn, причем некоторые упорядоченные пары (Pi,Pj) пунктов назначения соединены дугами заданной длинны r (Pi,Pj)=lij. Некоторые или все дуги могут быть ориентированы, т.е. по ним возможно движение только в одном направлении, указанном стрелками.
На рис.1 построена ориентированная транспортная сеть, содержащая шесть пунктов P1,P2,...,P6, которые связаны между собой восьмью транспортными путями.
Необходимо определить кратчайший маршрут из пункта P1 в P6. Определение кратчайшего маршрута состоит в указании последовательности прохождения маршрута через промежуточные пункты и суммарной длинны маршрута.
Например маршрут из пункта P1 в пункт P6: P1P2P4P6; L=l12+l24+l46=10.
Постановка задачи приобретает смысл в том случае, если имеется несколько вариантов маршрута из начального пункта в конечный. В этом случае физический смысл функции цели задачи состоит в минимизации общей длинны маршрута, т.е. в определении кратчайшего пути из P1 в Pn.
2. Описание метода и алгоритма решения.
Метод Форда бал разработан специально для решения сетевых транспортных задач и основан, по существу, на принципе оптимальности.
Алгоритм метода Форда содержит четыре этапа (схема 1). На первом этапе производится заполнение исходной таблицы расстояний от любого i-го пункта в любой другой j-й пункт назначения. На втором этапе определяются для каждого пункта некоторые параметры l i и l j по соответствующим формулам. Далее на третьем этапе определяются кратчайшие расстояния. Наконец, на четвертом этапе определяются кратчайшие маршруты из пункта отправления Р1 в любой другой пункт назначения Рj, j=1,2,...,n.
Рассмотрим подробнее каждый из этих четырех этапов.
2.1 Первый этап: Составление исходной таблицы расстояний.
Данная таблица содержит n+1 строк и такое же количество столбцов; Pi - пункты отправления; Pj - пункты назначения. Во второй строке и втором столбце проставляется значения параметров l i иl j, определение значений которых производятся на втором этапе решения задачи. В остальных клетках таблицы проставляются значения расстояний lij из i-го пункта в j-й пункт. Причем заполняем клетки таблицы, лежащие выше главной диагонали. Если пункт Pi не соединен отрезком пути с пунктом Pj, то соответствующая клетка таблицы не заполняется.
2.2 Второй этап: Определение l i и l j.
Определяется значение параметров в соответствии с формулой:
l j=min(l i+lij); i=1,2,...,n; j=1,2,...,n, (1)
где l 1=0.
Эти значения заполняются во второй строке и во втором столбце.
2.3 Третий этап: Определение длинны кратчайших путей.
Возможны два случая определения длинны кратчайших путей из пунктов Pi в пункты Pj, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.
В первом случае, если выполняются неравенство:
l j - l i £ lij; lij¹ 0; j=1,2,...,n; j=1,2,...,n, (2)
то значения параметров l 1,...,l n удовлетворяют условиям оптимальности. Каждое значение l j есть не что иное, как кратчайшее расстояние от пункта Pi до пункта Pj, j=2,3,...,n.
Во втором случае, если для некоторых клеток (i,j) таблицы имеет место неравенство:
l j - l i > lij; i=1,...,n; j=1,...,n, (3)
то значения l j и l i могут быть уменьшены.
Если справедливо (3), тогда исправим значение l j0, пересчитав его по формуле:
l ¢ j0=l i0+li0j0. (4)
2.4 Четвертый этап: Нахождение кратчайшего пути.
Определения последовательности пунктов кратчайшего маршрута. С этой целью для каждого столбца определяют величину:
lr1,j = l j - l r1, (5)
где lr1,j берется из таблицы, причем l r1 выбирается так, чтобы выполнилось равенство (5). Таким образом определим r1. Далее продолжим ту же операцию, но будем считать, последней не Pn, а Pr1. Будем продолжать до тех пор, пока rn=1.
Таким образом кратчайший маршрут проходит через Pr1,Pr2,...,Prn, а длинна маршрута Lmin=lr2,r1+lr3,r2+...+lrn-1,rn.
3. Описание программы.
Программа “FORD” написана на языке высокого уровня - Pascal, в интегрированной среде разработки “Turbo Pascal 7.0” фирмы Borland Inc.
Программа предназначена для нахождения кратчайшего пути в сетевом графе по методу Форда. Программа легка в использовании, что достигается за счет использования дружественного интерфейса и иерархического меню. Вначале программы производится ввод данных, затем нахождение кратчайшего маршрута и вычисление его длинны, далее выводится результат. Вывод результатов возможен как в файл, так и на экран.
В программе предусмотрена возможность повторного решения задачи с другими исходными данными.
4. Описание подпрограмм и процедур.
Подпрограммы и функции.
ТИП
