В задачах параметрической идентификации используются модели объекта с шумом измерений, задаваемые передаточными функциями и структурой рис. 3.2. Считая порядки моделей заданными, задачей параметрической идентификации стохастической системы считается определение оценок коэффициентов полиномов модели A,B,C и D по результатам измерений входа u(t) и выхода y(t). Свойства получаемых оценок (состоятельность, несмещенность и эффективность) зависят от характеристик внешних возмущений и метода идентификации, при этом существенную роль играет вид закона распределения внешних возмущений.
Важным преимуществом методов параметрической идентификации является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации .
Подставим в уравнение АРСС - модели значения сигналов y(k) и u(k), а также оценки параметров объекта, полученные после (k – 1) - го такта [32]:
. (5.1)
В этом уравнении ноль, стоящий в правой части уравнения (получающийся после переноса всех слагаемых в левую часть) заменен величиной ошибки e(k). Она отражает наличие погрешности измерений выхода и неточность оценок параметров модели ai и bi. Обозначим значение y(k) как значение y(k/k – 1), предсказанное в момент (k – 1) на момент k. Тогда
, (3.6)
Или , (3.8)
где - вектор оценок,
- вектор данных,
d – величина дискретного запаздывания.
Ошибка уравнения e(k) будет иметь вид
, (3.9)
где y(k) – новое измерение; y(k/k-1) – предсказанное значение измерения.
Предположим, что измерения выполнены на интервале
k = 1, 2, ..., n + d + N
а порядок АРСС – модели (n, n). Тогда на основании (3.8) (5.4)получим векторно-матричное уравнение вида
, (3.10)
где - вектор выхода,
- матрица данных,
– вектор ошибок.
Функция потерь по критерию наименьших квадратов определяется как квадрат ошибки, что в векторном представлении дает
, (3.11)
а ее минимум находится из условия
. (3.12)
Полагая, что N ³ 2n, обозначим
, (3.13)
тогда оценка минимизирующая функцию потерь (3.11)будет иметь вид:
. (3.14) .
Алгоритм (3.14) – нерекуррентный алгоритм идентификации по методу наименьших квадратов, так как вычисление оценок параметров модели производится лишь после того как сформирован весь массив входных и выходных данных объекта
.
Рекуррентный алгоритм МНК получается после записи новой и старой оценок и вычитания одной из другой:
. (3.15)
Вектор коррекции определяется из соотношения:
. (3.16)
Вектор на следующем шаге вычисляется как
. (3.17)
Рекуррентный алгоритм метода наименьших квадратов реализуется в следующей последовательности.
1. Задаются начальные значения вектора оценок параметров модели и вектора данных:
,
где – достаточно большое число, I – единичная матрица соответствующей размерности.
2. Производятся измерения входного и выходного сигналов объекта, и формируется новый вектор данных .
3. Вычисляется вектор коррекции по формуле (3.16)
4. Находится новая оценка параметров по формуле (3.15)
5. Вычисляется новый вектор по формуле (3.16)
Обычно для промышленных объектов характерна коррелированность во времени шумов, действующих на объект. Использование обычного МНК при таком шуме, т. е. при минимизации выражения (3.11), вызывает смещение оценок параметров, увеличение дисперсии этих оценок. Ухудшение этих оценок, в свою очередь, приводит к ухудшению свойств оценок переменных состояния х(k) и в итоге к снижению качества управления.
Для получения несмещенных оценок используется обобщенный МНК (ОМНК).
При использовании ОМНК оцениваются параметры моделей объекта и шума на его выходе. Идентификации подвергается модель максимального правдоподобия (МП - модель) для которой связь между переменными задается уравнением
. (3.18)
Вводя расширенные векторы данных
(3.19)
и параметров
, (3.20)
выход ной сигнал объекта можно записать через (5.13) и (5.14)
. (3.21)
Так как сигнал помехи е(к) неизвестен, то используется его оценка , определяемая из уравнения
. (3.22)
Оценки параметров МП - модели вычисляются аналогично как в МНК по формулам (3.15) – (3.17).
На рис. 3.3. -3 показаны результаты идентификации.
Рис. 3.3. Коэффициенты АРСС – модели объекта.
Рис. 3.4. Выходные сигналы объекта и модели.
Рис. 3.4. Ошибка идентификации.
Рис. 3.5. Корреляционная функция ошибки идентификации.
Рис. 3.5. Спектральная плотность ошибки идентификации.
Рис. 3.6. Гистограмм ошибки идентификации.
4. Расчет характеристик математической модели объекта управления
Математическая модель (образ) представляет собой абстрактное отражение реального объекта (оригинала, прообраза). В зависимости от типа объекта и целей, ради которых строится и используется модель, формальное описание может быть различным. Для моделирования объектов могут быть использованы структурные схемы, операторные уравнения, алгебраические уравнения, дифференциальные, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, Марковские цепи, передаточные функции, частотные характеристики, весовые функции, графы и т. д. Все эти методы функционально связывают входные и выходные сигналы объекта. По количеству входов и выходов объекты и соответствующие им модели разделяют на одномерные и многомерные. Одномерными называют объекты, имеющие один вход и один выход, многомерными – объекты, имеющие несколько входов и выходов, причем число входов не обязательно равно числу выходов. Блок-схемы одномерного и многомерного объектов изображены соответственно на рис. 4.1,а и рис. 4.1,б. Причем число входов не обязательно равно числу выходов.
Рис. 4.1.
Наиболее полно идентифицируемый объект описывается в терминах пространства состояний. Под состоянием объекта понимается совокупность величин xi, полностью определяющих его положение в данный момент времени.
Наиболее употребительной моделью динамических объектов являются дифференциальные уравнения. Будем рассматривать только объекты с сосредоточенными параметрами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Порядок системы дифференциальных уравнений, описывающей модель объекта, непосредственно не определяется количеством входов и выходов, а зависит от операторов, преобразующих входные сигналы в выходные.
Для динамических систем, в которых физические процессы протекают непрерывно во времени, скорости изменения переменной состояния объекта можно также задать вектором
, (4.1)
где , – скорости изменения компонент многомерной переменной состояния.
В свою очередь эти скорости определяются текущими значениями переменной состояния , управлениями и возмущениями , действующими на объект
, (4.2)
где g = (g1, ..., gn)T – вектор функция; x10 , x20. .., xn0 – начальные условия.
Если g( ) – нелинейная функция, то решение уравнения (4.2) усложняется, так как сводится к интегрированию системы нелинейных ДУ. Так как методы интегрирования систем ДУ хорошо разработаны только для линейных систем, то перед работой с ними необходимо линеаризовать g( ) в окрестности рабочей точки, которой соответствует установившейся режим работы объекта.
Для линеаризованной функции g( ) ДУ вида (4.2) с учетом воздействия среды можно представить в векторной форме:
, (4.3)
где A(t); B(t); E(t) – матрицы преобразования, элементы которых в общем случае являются функциями времени.
Элементы xi в уравнении (4.3) называются переменными состояния объекта или фазовыми координатами. Переменные состояния (фазовые координаты) образуют вектор состояния, переменные управления и возмущения образуют векторы управления и возмущения. Множество этих векторов составляет пространство состояний (фазовое пространство) X, пространство управлений U и возмущений F.
Во многих физических объектах регулируются, измеряются и передаются по информационным каналам не значения вектора состояния , а другие значения – функции составляющих вектора фазовых координат, называемые управляемыми или выходными величинами. Обозначим измеряемые величины через y1(t), y2(t),..., ys(t), причем обычно s £ n. Тогда уравнение измерения, связывающее регулируемые и фазовые координаты объекта примет вид
. (4.4)
Для линейного объекта это соотношение линейное:
. (4.5)
Матрица С(t) называется матрицей измерения. Она показывает, как изменяются значения вектора состояний при измерении. При измерениях, описываемых выражениями (4.4) и (4.5), вектором выходных сигналов (или просто вектором выхода) является вектор . Отметим, что между векторами входа, выхода и состояния существует принципиальное различие. Если все составляющие вектора входа и вектора выхода являются вполне конкретными физическими величинами, то элементами вектора состояния могут быть некоторые абстрактные переменные, физическая природа которых не всегда определена.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
