Так, після двохкратного застосування леми про розкладення больової функції по змінній, функція y = f(xn,…,x1) може бути представлена у формі
де f0, f1, f2, f3 — залишкові функції від n–2 перемінних. Схема, що відповідає такому представленню функції, показана на рис. 1.3.
Залишкові функції можуть бути реалізовані будь-яким способом. Зокрема, кожна з них може бути представлена через свої статочне функції з використанням мультиплексоров. У кожнім конкретному випадку необхідно оцінювати складність схем при чи тім іншому способі реалізації функції. Помітимо, що складність схем залежить від того, які перемінні виключаються. Для одержання найбільш простої схеми може знадобитися перебір усіх комбінацій включаюдчи перемінних.
При реалізації функції від чотирьох перемінних з використанням мультиплексора, що має два керуючі входу (рис. 1.4), треба виключити шістьох різних пар перемінних (x4x3, x4x2, x4x1, x3x2, x3x1, x2x1,). При виключенні кожної пари перемінних діаграму Вейча заданої функції можна розглядати як чотири самостійні діаграми для залишкових функцій f0, f1, f2, f3.
На рис. 1.5 показані всі шість варіантів визначення залишкових функцій. Виключає перемінні зазначені біля діаграм для кожного варіанта. Схеми на елементах І-НІ, що відповідають кожному варіанту, представлені на рис. 1.6. Найбільш проста реалізація заданої функції є при виключенні за допомогою мультиплексора перемінних х1 і х2 (рис. 1.7).
При побудові схем варто враховувати навантажувальну здатність виходів мікросхем і, при необхідності, усувати перевантаження відповідною розв'язкою.
Синтез комбінаційної схеми на логічних елементах можна умовно розбити на три етапи.
Визначаємо варіант перемикальної (больової) функції. Для цього номер варіанту переводимо у двійкову систему числення і записуємо шість його молодших розрядів у вигляді: a6 a5 a4 a3 a2 a1.
54 (110110): a6 =1, a5 =1, a4 =0, a3 =1, a2 =1, a1 =0.
Визначивши значення ai, підставляємо їх у таблицю 1.1.
Таблиця 1.1
0
1
.
На першому етапі, виходячи з таблиці істинності перемикальної функції, що описує роботу синтезованої комбінаційної схеми, знаходять мінімальну диз'юнктивну нормальну форму (МДНФ) функції (чи її заперечення).
Для заданої функції і для її заперечення знаходимо МДНФ за допомогою діаграми Кароно–Вейча.
МДНФ: .
МДНФ:.
Якщо функція, що описує роботу синтезованої схеми, є частково визначеною (заданою не на всіх 2n наборах), то попередньо роблять оптимальне її до визначення (таке, при якому функція буде мати більш просту МДНФ). На цьому перший етап закінчується.
На другому етапі функцію записують у так називаної операторній формі, тобто у вигляді суперпозиції операторів логічних елементів. Оператором логічного елемента називають функцію, що реалізується цим елементом. Якщо число входів в операторах досить велике, то одержання операторного запису функції зводиться до її представлення в одній зі стандартних канонічних нормальних форм. Таких форм вісім.
Узявши подвійне заперечення МДНФ функції і затосувавши кілька разів правило ДеМоргана, одержуємо нормальні форми:
і/ні
і-ні/і-ні
або/і-ні
або-ні/або
і/або-ні
і-ні/і
або/і
або-ні/або-ні
Нормальні форми дозволяють одержати комбінаційну схему з двома рівнями (каскадами) логічних елементів, якщо елементи мають необхідне число входів.
Записуємо операторні представлення функції, що можуть бути реалізовані на елементах, заданих у табл. 1.2 та будуємо схеми:
Таблиця 1.2
Тип елементів
Число елементів у корпусі
Час затримки сигналів
2 або-ні,
2 і-ні/3 і
4/3
20/24
2 або-ні
Дивитись у додаток Схема 1.
2 і-ні / 3 і
Дивитись у додаток Схема 2.
Вибраємо операторні форми, що забезпечують одержання комбінаційної схеми з максимальною швидкодією і комбінаційною схемою з мінімальним числом умовних корпусів, тобто схему з кращим параметром T і схему з мінімальним значенням N. Усі мікросхеми мають по 14 виходів.
Знаходимо час затримки сигналу:
,
де – кількість елементів, що входять у максимальну по довжині ланцюжок елементів, – усереднене значення часу затримки, що знаходиться по формулі:
Розраховуємо складність схем:
де – кількість елементів у мікросхемі, – число виводів мікросхеми і-того типу, – число типів мікросхем.
4,6.
4,3.
На елементах ЗІ-НІ будуємо перетворювач кодів відповідно до таблиці 1.3. У процесі проектування використовуємо методи спільної мінімізації системи перемикальних функцій.
Таблиця 1.3
Мінімізація систем булевих функцій відбувається згідно з наступним алгоритмом, який представляє собою модифікацію алгоритму Квайна.
Будуємо повну множину елементарних кон’юнкцій отриманої системи, приписуючи в дужках після кожної констітуенти ознаку (у вигляді номеру чи номерів БФ у системі) її належності до тих чи інших БФ системи.
Виконуємо мінімізацію функції , застосовуючи модифікований алгоритм Квайна. Модифікація полягає в тому, що:
– при виконані операції неповного склеювання двох констітуент, елементарній кон’юнкції, що виникає в результаті склеювання, приписується ознака, яка складається із номерів БФ, спільних для двох констітуент (останнє також справедливо для двох елементарних кон’юнкцій, що склеюються). Якщо ознаки констітуент не містять спільних номерів, то склеювання не відбувається;
– операція поглинання відбувається тільки для елементарних кон’юнкцій з однаковими ознаками.
Отримані в результаті склеювання і поглинання елементарні кон’юнкції називаються простими імплікантами системи БФ.
Для зручності виконання операції неповного склеювання пронумеруємо кожну констітуенту із ДДНФ функції і виконуємо склеювання.
Подальші склеювання і поглинання неможливі, тобто ми отримали всі прості імпліканти системи БФ і остання форма – це скорочена ДНФ БФ .
Будуємо ІТ з тією лише відмінністю, що для кожної констітуети виділяються стільки стовпчиків, скільки різних номерів БФ містить її ознака; строчки ІТ позначаються простими імплікантами скороченої ДНФ; « * » в ІТ проставляються згідно з наступним правилом:
а) проста імпліканта і констітуента мають спільні ознаки;
б) проста імпліканта накриває констітуенту;
в) « * » проставляються лише у клітини, що знаходяться на перетині строчок (з простими імплікантами) і стовпчиків (з констітуентами 1), які мають спільні ознаки.
Далі знаходимо ядро БФ і так далі.
Дивитись у додаток Таблиця 1.
Отримана мінімальна система БФ служить основою для побудови комбінаційної схеми.
Дивитись у додаток Схема 3
Для отриманої схеми визначаємо L, Т и N.
, 100.
Будуємо схему для реалізації функції, заданої табл. 1.1 з використанням мультиплексорів з двома керуючими входами.
При реалізації функції від чотирьох перемінних з використанням мультиплексора, що має два керуючі входу, треба виключити шістьох різних пар перемінних (x4x3, x4x2, x4x1, x3x2, x3x1, x2x1). При виключенні кожної пари перемінних діаграму Вейча заданої функції можна розглядати як чотири самостійні діаграми для залишкових функцій f0, f1, f2, f3.
Найбільш проста реалізація заданої функції є при виключенні за допомогою мультиплексора перемінних х2х1:
Дивитись у додаток Схема 4.
Побудувати перетворювач кодів по табл. 1.3 з використанням елементів ЗІ-НІ і четирьохвхідного дешифратора з інверсними виходами.
Дивитись у додаток Схема 5.
Перелік літератури
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Наука, 1976.
3. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. – М: Машиностроение, 1986.– 286с.
4. Давыдов Э.Т. Исследование операций: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 1990.- 383с.
5. Ермолаев Ю.М. Математические методы исследования операций. – К.: Наука, 1979.
6. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование. – М.: Наука, 1976.
7. Минц М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. – М.: Наука, 1990.
8. Таха Х. Введение в исследование операций. – м.: Мир, 1985.
9. Толбатов Ю.А. Эконометрика в Excel. – К.: Четверта хвиля, 1997.
Додаток
Страницы: 1, 2
