Постановка задачи оптимального управления.
Состояние объекта управления характеризуется n -мерной вектор функцией, например, функцией времени
Так, шестимерная вектор-функция времени полностью определяет положение самолета как твердого тела в пространстве. Три координаты определяют положение центра масс, а три - вращение вокруг центра масс.
От управляющего органа к объекту управления поступает вектор-функция . Векторы x' и u' , обычно связаны между собой каким-то соотношением. Наиболее развитым в настоящее время является уравнение, в котором векторы связаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
И так, пусть движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений
(1.1)
где - вектор координат объекта или фазовых координат, - заданная вектор-функция, - вектор управлений или просто управление.
В уравнении (1.1) векторы являются функциями переменной t, обозначающей время, причем, где - отрезок времени, на котором происходит управление системой. На управление обычно накладывается условие
, (1.2)
где U(t) - заданное множество в при каждом . Будем называть далее управлением кусочно-непрерывную на отрезке (т. е. имеющую конечное число разрывов первого рода) r--мерную вектор-функцию и, непрерывную справа в точках разрыва и непрерывную в точке Т. Управление и называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению (1.2). Заметим, что ограничиться рассмотрением непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, отделение ступеней ракеты, поворот рулей и т. д. Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (1.2). Покажем, как при произвольном начальном положении и допустимом управлении и определяется траектория управляемого объекта. Рассмотрим задачу Коши
(1.3)
Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи (1.3). Для этого поступим следующим образом.
Пусть функция и имеет скачки в точках причем. Предположим, что задача (1.3) имеет решение х, определенное на всем отрезке [to,], причем . Далее рассмотрим задачу Коши
.
Предполагая, что она имеет решение на отрезке [] и ,приходим к задаче
и т. д.
Если функцию х удалось определить указанным способом на всем отрезке [to. Т], то будем называть ее решением задачи (1.3) или фазовой траекторией (иногда просто траекторией), соответствующей управлению и. Отметим, что x - непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке равенству
При выполнении определенных условий на f решение задачи (1.3), соответствующее управлению и, существует и единственно при произвольном начальном положении и произвольном допустимом управлении и.
Помимо ограничения на управление могут существовать ограничения и на фазовые координаты
(1.4)
Ограничения на концах траектории целесообразно рассматривать отдельно:
(1.5)
здесь, S (Т) - заданные множества из R"; -заданные множества из R, причем inf < sup, to<.T.
Таким образом, начальный и конечный моменты времени не обязательно фиксированы. Случаю фиксированных to, Т соответствуют множества , , состоящие из одной точки; при этом говорят, что рассматривается задача с закрепленным временем.
Если So (to) = {} при любом ,то левый конец траектории называют закрепленным. Если же So (to) == R" при всех , то левый конец траектории называют свободным. Во всех остальных случаях левый конец называют подвижным. В аналогичных ситуациях говорят о закрепленном, свободном или подвижном правом конце траектории.
Цель управления в задаче оптимального управления состоит в минимизации некоторого функционала на множестве допустимых наборов.
Если каждой функции y=f(x) определенного класса ставится в соответствии по некоторому закону определенное числовое значение переменной I, то эту переменную называют функционалом от одной функциональной переменной I=I[y]=I[y(x)]=I[f(x)].
Наиболее часто под задачами управления понимаются задачи, в которых роль функционала выполняет интегральный функционал
Мы будем рассматривать задачу с целевым функционалом
(1.6)
представляющим собой сумму интегрального функционала
и терминального
функционала Ф(х(Т), Т). Эта задача называется задачей Больца. Ее частными случаями являются задача с интегральным функционалом, называемая задачей Лагранжа, и задача с терминальным функционалом, называемая задачей Майера. Задача с интегральным функционалом при называется задачей оптимального быстродействия.
Набор (to, Т, х, и, х), минимизирующий функционал (1.6), называется решением задачи оптимального управления, управление и - оптимальным управлением, а траектория х - оптимальной траекторией. Часто решением задачи оптимального управления называют пару (ц, х).
Принцип максимума Понтрягина.
Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности в таких задачах.
Формулировка принципа максимума.
Рассмотрим задачу оптимального управления, являющуюся частным случаем задачи, сформулированной выше
(2.1) , где (2.2)
При этом предполагается, что моменты to, Т фиксированы, т. е. рассматривается задача с закрепленным временем; множество U не зависит от времени, фазовые ограничения отсутствуют. Положим
,
где -константа,
Функция Н называется функцией Гамильтона. Система линейных дифференциальных уравнений относительно переменных называется сопряженной системой, соответствующей управлению и и траектории х. Здесь
>В более подробной покоординатной записи сопряженная система принимает вид
, (2.3)
Система (2.3) имеет при любых начальных условиях единственное решение , определенное и непрерывное на всем отрезке .
Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в задаче (2.1).
Теорема (принцип максимума Понтрягина).
Пусть функции и, Ф, g1, ..., gm имеют частные производные по переменным х1, ..., Хn и непрерывны вместе с этими производными по совокупности аргументов х , и U, t [to. Т]. Предположим, что (и, х)-решение задачи (2.1). Тогда существует решение сопряженной системы (2.3), соответствующей управлению и и траектории х, и константа такие, что
| | + || (t) || при t [to, Т], и выполняются следующие условия:
а) (условие максимума) при каждом t [to. Т] функция Гамильтона, достигает максимума по при v=u (t), т. е.
H(x(t), u(t),=max H(x(t), v(t), (2.4)
б)(условие трансверсальности на левом конце траектории) существуют числа, такие, что
(2.5)
в) (условие трансверсальности на правом конце траектории) существуют числа такие, что
(2.6)
Центральным в теореме является условие максимума -(2.4). Если отказаться от предположения о том, что конечный момент времени Т фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия трансверсальности на правом конце траектории. Условие (2.6) заменим условием
и добавить еще одно условие трансверсальности на правом конце траектории:
Примеры применения принципа максимума.
1. Простейшая задача оптимального быстродействия.
Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом
(3.1)
где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию
Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина . Введем фазовые переменные . Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:
(3.2)
Начальное положение
при t0=0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован.
В обозначениях п.п. 1, 2 в данной задаче U ==[-1, 1], f0=1, Ф=0, а функция Гамильтона имеет вид
Общее решение сопряженной системы
легко выписывается в явном виде
где С, D - постоянные.
Очевидно, что максимум функции Н по и U достигается при
Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения +1 .
2.Определить управление u(t) , которое дает минимум интегралу
, в процессе, описываемом уравнением (1). Решение. Введем дополнительную переменную
(2)
Для этой переменной имеем дифференциальное уравнение ( (3)
с начальными условиями, получаемыми из (2), т.е. х2(0)=0. Минимизирующий функционал, используя (2), можно записать в виде I[T]=x2(T).
Построим функцию Гамильтона
Запишем сопряженную систему (3)
Запишем
Y1(Т)=0 (т.к. с1=0)
Y2(Т)=-1
Из поэтому Y2(е)=-1. Теперь функция Гамильтона запишется в виде H=-aY1x1+Y1u-0,5x12-0,5u2 .
По принципу максимума функция Н при фиксированных х1 и Y1 достигает максимума по u : , , откуда .
Страницы: 1, 2
