1) находится максимальный по модулю элемент среди элементов i-то-го столбца от aii до ani ;
2) если найденный элемент ali равен нулю, процесс вычисления завер- шается с выдачей результата det(A) = 0 ;
3) если l(i , тогда строки исходной матрицы с номерами i,l поменять местами.
После завершения преобразования матрицы, определитель вычисляется по формуле:
[pic] , где p – число выполненных операций перемены строк местами.
2.2 Обращение матриц
Обратной к матрице A называется матрица A-1, обладающая свойством:
A(A-1 = A-1(A = I , где I – единичная диагональная матрица. Опишем один из универсальных и эффективных методов расчета обратной матрицы (метод Жордана-Гаусса, в книге [4-218] описан как «метод исключений»). В [5-22] приведен более эф- фективный по памяти алгоритм обращения матрицы.
Пусть имеем матрицу A вида (2.1.1) и пусть B – единичная диагональная матрица такого же размера. Создадим рабочую матрицу R размером N(2N просто присоединив матрицу B справа к матрице A :
[pic] .
Над строками такой расширенной матрицы будем производить преобра- зования, аналогичные тем, которые были описаны в п.2.1. Левую часть мат- рицы R будем называть подматрицей A, правую – подматрицей B. Весь про-цесс преобразования матрицы R разобьем на 3 этапа.
1 этап. Выполним преобразования строк матрицы так, чтобы все элемен- ты, лежащие ниже диагональных элементов подматрицы A, обратились в ну-ли. При этом может использоваться выбор главного элемента.
2 этап. Выполним преобразования так, чтобы все элементы, лежащие вы- ше диагональных элементов подматрицы A, обратились в нули. Преобразо-вания надо выполнять в обратном порядке: со столбца номер n и до столбца номер 2.
3 этап. Каждую строку расширенной матрицы R с номером i делим на ди- агональный элемент aii .
После завершения процедуры подматрица A превращается в единичную диагональную матрицу, а подматрица B будет равна искомой обратной мат-рице A-1 . Алгоритм имеет порядок O(n3).
2.3. Методы решения систем линейных уравнений
Задача поиска решений системы линейных уравнений имеет не только са- мостоятельное значение, но часто является составной частью алгоритма ре- шения многих нелинейных задач. Основные методы решения СЛУ:
- метод Гаусса;
- метод обращения матрицы;
- итерационные методы.
2.4. Метод Гаусса
Пусть имеем систему линейных уравнений:
[pic]
Простой метод Гаусса состоит в следующем.
Составим расширенную матрицу, приписав к матрице коэффициентов СЛУ дополнительный столбец – правые части уравнения:
Выполним над строками расширенной матрицы преобразования, анало- гичные тем, которые были описаны в п. 2.1:
[pic] ,
[pic] , и приведем ее к треугольному виду:
Теперь можно вычислить искомые величины xi , начиная с последнего, т.е. вначале находится xn , затем xn-1, xn-2, … , x1. Формула для вычислений имеет вид:
Для расширения возможностей и повышения устойчивости приведенного алгоритма используется выбор главного элемента. Порядок метода Гаусса равен O(n3).
2.5. Метод обращения матрицы
Представим систему линейных уравнений в матричной форме:
[pic] . Умножим последнее равенство слева на A-1 :
[pic] . Учитывая, что A-1(A = I , формально получаем искомое решение:
Таким образом, решение системы выполняется в два этапа:
1) вычисление обратной матрицы;
2) умножение обратной матрицы на вектор правых частей СЛУ.
Несмотря на то, что метод обращения матрицы имеет такой же порядок, как и метод Гаусса - O(n3), по объему вычислений он проигрывает ему в нес- колько раз. Однако, если СЛУ необходимо решать многократно и при этом изменяется лишь вектор правых частей, метод обращения матрицы становит-ся все же выгодным.
Практическая часть
Описание класса Matrix для решения задач линейной алгебры
Класс имеет приватные и общедоступные члены-данные и члены-функции (методы). Для хранения компонентов матрицы используется одномерный динамический массив элементов типа параметра шаблона. Для создания объекта предусмотрены три конструктора: конструктор по умолчанию, конструктор с параметрами, конструктор копирования и деструктор. Для выполнения множества матричных операций созданы перегруженные операции: присваивания (=), сложения (+), вычитания (-), умножения(*) и т.п. На базе операторов ввода/вывода С++ разработаны функции ввода матриц из потока и вывода их в поток, предусматривающие в случае файлового ввода/вывода как текстовую форму хранения, так и бинарную.
Доступ к членам-данным класса – числу строк и столбцов матрицы осуществляется с помощью методов size_row( ) и size_col( ). Для доступа к элементам матрицы создан перегруженный оператор вызова функции operator( ) (dim x, dim x), где dim – переопределенный тип unsigned char. Вызов функции используется как оператор индексирования, принимающий два аргумента. Аналогично создан оператор вызова функции с одним аргументом operator( ) (dim x). Для данного класса – это очень важные перегруженные операторы, т.к. они используются во всех функциях и операторах, в которых происходит обращение к элементам матрицы.
Описание функций, конструкторов и деструкторов класса: 1. Конструктор по умолчанию Matrix( ):
Конструктор по умолчанию создает матрицу нулевого размера. В дальнейшем размер этой матрицы можно изменить с помощью функции newsize(i, j). 2. Конструктор с параметрами Matrix(dim, dim=1):
Это обычный конструктор с параметрами, который принимает в качестве параметров размеры матрицы и создает одномерный динамический массив размером m*n, где m – число строк, а n – число столбцов матрицы. С целью возможности использовать его для создания векторов, второй параметр конструктора задан как умалчиваемый со значением 1. Для первоначальной «инициализации» элементов матрицы нулями используется функция setmem( ). 3. Конструктор копирования Matrix(const Matrix &):
Конструктор принимает в качестве параметра ссылку на объект класса (на существующую матрицу), определяет ее размер, выделяет для нее память и копирует в эту память содержимое матрицы, принимаемой по ссылке. Таким образом, создается точная копия матрицы с текущими значениями ее элементов. 4. Деструктор ~Matrix( ):
Деструктор высвобождает память, выделенную конструкторами для элементов матрицы. 5. Функция операции присваивания "=" Matrix& operator= (Matrix&):
Данная функция сравнивает адрес передаваемого по ссылке объекта с адресом собственного класса, чтобы не предпринялась попытка присвоит объект самому себе. После этого создается новый массив с числом элементов, равным числу элементов массива принимаемого по ссылке, и в этот массив заносится содержимое принимаемого массива. Возвращается разыменованный указатель this (return *this;). 6. Функции операций суммирования, вычитания, умножения матриц и умножения матрицы на число:
Эти функции реализованы как дружественные функции и алгоритмы этих функций аналогичны по своему составу. Общий вид прототипа этих функций: friend Matrix operator @(const Matrix&, const Matrix&). Применение дружественных функций в данном случае целесообразно для того, чтобы иметь возможность передавать в оператор функцию объекты в любой последовательности. В этих операторах-функциях вначале создается временный объект типа матрица (с помощью конструктора копирования), в который копируется первая матрица и который при выходе из функции является возвращаемым объектом. Затем эта матрица суммируется (вычитается, умножается) с матрицей, стоящей после знака оператора по соответствующим правилам матричных операций. При этом для доступа к элементам матрицы и индексирования используются перегруженные операторы вызова функции operator( ) (dim x, dim x) и operator( ) (dim x). 7. Функция – оператор Matrix operator^ (int):
Этот оператор-функция реализован как член класса и предназначен для возведения матрицы в степень. В случае, когда значение входного параметра равно минус единице осуществляется вызов функции вычисления обратной матрицы методом преобразований Гаусса, для чего разработана отдельная функция Matrix & Gauss(dim, dim). Таким образом, использование этого оператора позволяет решать систему линейных алгебраических уравнений в представлении X = (A^-1)*B, где X и B –вектора неизвестных и правых частей соответственно. 8. Функция – оператор Matrix operator ! ( ):
Оператор для определения транспонированной матрицы. 9. Функция – оператор friend VARTYPE operator %(const Matrix&, const
Matrix&):
Функция вычисления скалярного произведения векторов. В ней в начале проверяется, являются ли передаваемые объекты векторами, а затем вычисляется скалярное произведение. 10. Функции-члены VARTYPE determ( ) и VARTYPE vmodule( ):
Первая функция вычисляет определитель собственного объекта (матрицы). При этом используются функция Matrix & Gauss(dim, dim). Функция VARTYPE vmodule( ) вычисляет длину (модуль) вектора 11. Функция операции вывода friend ostream& operator, и ссылку объект, который находится слева от знака операции, в него и будут вводиться данные из потока. Затем следует ввод данных из потока в элементы массива и возвращается поток. Для ввода данных из файла, нужно открыть его присоединением к потоку ifstream. 13. Функции-члены dim write(ofstream&) и dim read(ifstream&):
Функции предназначены для вывода в файл и ввода из файла матриц в из двоичном представлении. Для этого необходимо передать в них соответствующую ссылку на открытый файл. 14. Функция void ERROR_MATRIX(dim):
Это функция-член, которая вызывается для фиксации некоторых ошибок при создании матриц и работе с ними, таких как отсутствие памяти, несогласованность размеров матриц при операции умножения, попытки вычислить отрицательную степень матрицы и т.п.
Листинг модуля с определением и реализацией класса матриц
// файл tmatr.cpp #include #include // для setmem() #include #include
typedef unsigned char dim;
template class Matrix { typedef Matrix Vector; private:
VARTYPE *matr; // указатель на массив матрицы dim m,n; // размеры матрицы public:
// конструкторы и деструкторы:
Matrix() { matr=(VARTYPE*)0; m=n=0; }
Matrix(dim,dim=1); // Обычный конструктор
Matrix(const Matrix&); // Конструктор копирования
~Matrix() { delete [ ]matr; }
// доступ к элементам матрицы dim size_row() { return m; } // число строк dim size_col() { return n; } // число столбцов
VARTYPE& operator() (dim x) const { return (*this)(x,0); } // элементу
// перегруженные операции и функции:
Matrix& operator=(const Matrix&);
Matrix& operator=(const VARTYPE&);
Matrix operator^(int); // возведение в степень
Matrix operator!(); // транспонирование
VARTYPE determ(); // определитель матрицы
VARTYPE vmodul(); // модуль вектора
Matrix& Gauss(dim,dim); // преобразование по Гауссу
// (для получ. обратной и единичной матрицы)
// (для получ. верхнетреугольной матрицы)
Matrix minor(dim,dim); // возвращает указ. минор матрицы
Vector line(dim i) // возвращает вектор-строку матрицы
{ return extract(1,n,i,0); }
Vector column(dim j) // возвращает вектор-столбец матрицы
{ return extract(m,1,0,j); }
VARTYPE& operator() (dim,dim) const; // доступ к Matrix& operator
Страницы: 1, 2
