Коррекция весов в комбинированном алгоритме, использующем обратное распространение и обучение Коши, состоит из двух компонент: (1) направленной компоненты, вычисляемой с использованием алгоритма обратного распространения, и (2) случайной компоненты, определяемой распределением Коши. Эти компоненты вычисляются для каждого веса, и их сумма является величиной, на которую изменяется вес. Как и в алгоритме Коши, после вычисления изменения веса вычисляется целевая функция. Если имеет место улучшение, изменение сохраняется. В противном случае оно

сохраняется с вероятностью, определяемой распределением Больцмана.
Коррекция веса вычисляется с использованием представленных ранее уравнений для каждого из алгоритмов:

wmn,k(n+1) = wmn,k(n) + ([(( wmn,k(n) + (1 - ()(n,kOUTm,i] + (1 - ()xc ,

где (- коэффициент, управляющий относительными величинами Коши и обратного распространения в компонентах весового шага. Если ( приравнивается нулю, система становится полностью машиной Коши. Если ( приравнивается единице, система становится машиной обратного распространения. Изменение лишь одного весового коэффициента между вычислениями весовой функции неэффективно. Оказалось, что лучше сразу изменять все веса целого слоя, хотя для некоторых задач может оказаться выгоднее иная стратегия.

Преодоление сетевого паралича комбинированным методом обучения. Как и в машине Коши, если изменение веса ухудшает целевую функцию, - с помощью распределения Больцмана решается, сохранить ли новое значение веса или восстановить предыдущее значение. Таким образом, имеется конечная вероятность того, что ухудшающее множество приращений весов будет сохранено. Так как распределение Коши имеет бесконечную дисперсию (диапазон изменения тангенса простирается от [pic] до [pic] на области определения), то весьма вероятно возникновение больших приращений весов, часто приводящих к сетевому параличу. Очевидное решение, состоящее в ограничении диапазона изменения весовых шагов, ставит вопрос о математической корректности полученного таким образом алгоритма. В работе [6] доказана сходимость системы к глобальному минимуму лишь для исходного алгоритма. Подобного доказательства при искусственном ограничении размера шага не существует. В действительности экспериментально выявлены случаи, когда для реализации некоторой функции требуются большие веса, и два больших веса, вычитаясь, дают малую разность. Другое решение состоит в рандомизации весов тех нейронов, которые оказались в состоянии насыщения. Недостатком его является то, что оно может серьезно нарушить обучающий процесс, иногда затягивая его до бесконечности. Для решения проблемы паралича был найден метод, не нарушающий достигнутого обучения.
Насыщенные нейроны выявляются с помощью измерения их сигналов ОПТ.
Когда величина OUT приближается к своему предельному значению, положительному или отрицательному, на веса, питающие этот нейрон, действует сжимающая функция. Она подобна используемой для получения нейронного сигнала OUT, за исключением того, что диапазоном ее изменения является интервал (+ 5,- 5) или другое подходящее множество.
Тогда модифицированные весовые значения равны

Wmn = -5+10/[1 + ехр(-Wmn /5)].

Эта функция сильно уменьшает величину очень больших весов, воздействие на малые веса значительно более слабое. Далее она поддерживает симметрию, сохраняя небольшие различия между большими весами. Экспериментально было показано, что эта функция выводит нейроны из состояния насыщения без нарушения достигнутого в сети обучения. Не было затрачено серьезных усилий для оптимизации используемой функции, другие значения констант могут оказаться лучшими.

Экспериментальные результаты. Комбинированный алгоритм, использующий обратное распространение и обучение Коши, применялся для обучения нескольких больших сетей. Например, этим методом была успешно обучена система, распознающая рукописные китайские иероглифы [6]. Все же время обучения может оказаться большим (приблизительно 36 ч машинного времени уходило на обучение). В другом эксперименте эта сеть обучалась на задаче ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, которая была использована в качестве теста для сравнения с другими алгоритмами. Для сходимости сети в среднем требовалось около 76 предъявлений обучающего множества. В качестве сравнения можно указать, что при использовании обратного распространения в среднем требовалось около 245 предъявлений для решения этой же задачи [5] и 4986 итераций при использовании обратного распространения второго порядка. Ни одно из обучений не привело к локальному минимуму, о которых сообщалось в [5]. Более того, ни одно из
160 обучений не обнаружило неожиданных патологий, сеть всегда правильно обучалась. Эксперименты же с чистой машиной Коши привели к значительно большим временам обучения. Например, при р=0,002 для обучения сети в среднем требовалось около 2284 предъявлений обучающего множества.

Обсуждение

Комбинированная сеть, использующая обратное распространение и обучение Коши, обучается значительно быстрее, чем каждый из алгоритмов в отдельности, и относительно нечувствительна к величинам коэффициентов. Сходимость к глобальному минимуму гарантируется алгоритмом
Коши, в сотнях экспериментов по обучению сеть ни разу не попадала в ловушки локальных минимумов. Проблема сетевого паралича была решена с помощью алгоритма селективного сжатия весов, который обеспечил сходимость во всех предъявленных тестовых задачах без существенного увеличения обучающего времени. Несмотря на такие обнадеживающие результаты, метод еще не исследован до конца, особенно на больших задачах. Значительно большая работа потребуется для определения его достоинств и недостатков.

Глава 6 Сети Хопфилда

Сети, рассмотренные в предыдущих главах, не имели обратных связей, т.е. связей, идущих от выходов сетей и их входам. Отсутствие обратной связи гарантирует безусловную устойчивость сетей. Они не могут войти в режим, когда выход беспрерывно блуждает от состояния к состоянию и не пригоден к использованию. Но это весьма желательное свойство достигается не бесплатно, сети без обратных связей обладают более ограниченными возможностями по сравнению с сетями с обратными связями.
Так как сети с обратными связями имеют пути, передающие сигналы от выходов к входам, то отклик таких сетей является динамическим, т.е. после приложения нового входа вычисляется выход и, передаваясь по сети обратной связи, модифицирует вход. Затем выход повторно вычисляется, и процесс повторяется снова и снова. Для устойчивой сети последовательные итерации приводят к все меньшим изменениям выхода, пока в конце концов выход не становится постоянным. Для многих сетей процесс никогда не заканчивается, такие сети называют неустойчивыми.
Неустойчивые сети обладают интересными свойствами и изучались в качестве примера хаотических систем. Однако такой большой предмет, как хаос, находится за пределами этой книги. Вместо этого мы сконцентрируем внимание на устойчивых сетях, т.е. на тех, которые в конце концов дают постоянный выход. Проблема устойчивости ставила в тупик первых исследователей. Никто не был в состоянии предсказать, какие из сетей будут устойчивыми, а какие будут находиться в постоянном изменении. Более того, проблема представлялась столь трудной, что многие исследователи были настроены пессимистически относительно возможности ее решения. К счастью, в работе [2] была получена теорема, описавшая подмножество сетей с обратными связями, выходы которых в конце концов достигают устойчивого состояния. Это замечательное достижение открыло дорогу дальнейшим исследованиям и сегодня многие ученые занимаются исследованием сложного поведения и возможностей этих систем. Дж. Хопфилд сделал важный вклад как в теорию, так и в применение систем с обратными связями. Поэтому некоторые из конфигураций известны как сети Хопфилда. Из обзора литературы видно, что исследованием этих и сходных систем занимались многие. Например, в работе [4] изучались общие свойства сетей, аналогичных многим, рассмотренным здесь. Работы, цитируемые в списке литературы в конце главы, не направлены на то, чтобы дать исчерпывающую библиографию по системам с обратными связями. Скорее они являются лишь доступными источниками, которые могут служить для объяснения, расширения и обобщения содержимого этой книги.

КОНФИГУРАЦИИ СЕТЕЙ С ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ

На рис. 6.1 показана сеть с обратными связями, состоящая из двух слоев. Способ представления несколько отличается от использованного в работе Хопфилда и других, но эквивалентен им с функциональной точки зрения, а также хорошо связан с сетями, рассмотренными в предыдущих главах. Нулевой слой, как и на предыдущих рисунках, не выполняет вычислительной функции, а лишь распределяет выходы сети обратно на входы. Каждый нейрон первого слоя вычисляет взвешенную сумму своих входов, давая сигнал NET, который затем с помощью нелинейной функции
F преобразуется в сигнал OUT. Эти операции сходны с нейронами других сетей (см. гл.2).

Бинарные системы

В первой работе Хопфилда [6] функция F была просто пороговой функцией. Выход такого нейрона равен единице, если взвешенная сумма выходов с других нейронов больше порога Т., в противном случае она равна нулю. Он вычисляется следующим образом:

[pic] (6.1)

[pic]

Состояние сети - это просто множество текущих значений сигналов
OUT от всех нейронов. В первоначальной сети Хопфилда состояние каждого нейрона менялось в дискретные случайные моменты времени, в последующей работе состояния нейронов могли меняться одновременно. Так как выходом бинарного нейрона может быть только ноль или единица
(промежуточных уровней нет), то текущее состояние сети является двоичным числом, каждый бит которого является сигналом OUT некоторого нейрона.
Функционирование сети легко визуализируется геометрически. На рис. 6.2 а показан случай двух нейронов в выходном слое, причем каждой вершине квадрата соответствует одно из четырех состояний системы (00, 01, 10,
II). На рис. 6.2 б показана трехнейронная система, представленная кубом (в трехмерном пространстве), имеющим восемь вершин, каждая из которых помечена трехбитовым бинарным числом. В общем случае система с п нейронами имеет 2n различных состояний и представляется fi-мерным гиперкубом.

[pic]

Рис. 6.2 а. Два нейрона порождают систему с четырьмя состояниями.

[pic]

Рис. 6.2 б. Три нейрона порождают систему с восемью состояниями.

Когда подается новый входной вектор, сеть переходит из вершины в вершину, пока не стабилизируется. Устойчивая вершина определяется сетевыми весами, текущими входами и величиной порога. Если входной вектор частично неправилен или неполон, то сеть стабилизируется в вершине, ближайшей к желаемой.

Устойчивость

Как и в других сетях, веса между слоями в этой сети могут рассматриваться в виде матрицы W. В работе [2] показано, что сеть с обратными связями является устойчивой, если ее матрица симметрична и имеет нули на главной диагонали, т.е. если Wij = Wji и Wii = 0 для всех i. Устойчивость такой сети может быть доказана с помощью элегантного математического метода. Допустим, что найдена функция, которая всегда убывает при изменении состояния сети. В конце концов эта функция должна достичь минимума и прекратить изменение, гарантируя тем самым устойчивость сети. Такая функция, называемая функцией
Ляпунова, для рассматриваемых сетей с обратными связями может быть введена следующим образом:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22