Скористаємося цією таблицею для визначення функції відгуку, яка встановлює аналітичний зв’язок між ІК – параметром оптимізації і незалежними змінними ІБ, UКЕ – факторами. Для цього формуємо матрицю Х – вектор значення факторів, матрицю Y – відгук технічної системи. Далі знаходимо матрицю (ХТ · Х)-1, яка називається матрицею похибок або матрицею коваріацій. Вона має наступний вигляд:

(ХТ * Х)-1

Рис. 2 Матриця коваріацій для моделі

Виходячи з отриманих даних знайдемо коефіцієнти поліному bi. Матриця коефіцієнтів В = (ХТ * Х)-1 * (ХT * Y) має вигляд (рис.3)

Рис. 3. Матриця коефіцієнтів В

Отже, математична модель залежності Iк (Uке, Іб) буде представлена наступною функцією:

Y’ = 0,144+ 7,649Iб -0,185 Uке + 20,066Uке Iб – 24.0314Iб2 – 0.193Uке2 –

–1,604Uке2 Iб + 8,677Iб2 Uке – 14,015Uке2 Iб2

Розраховуємо значення ІК по отриманому рівнянню моделі Отримані данні наведені нижче у таблиці 2.

Таблиця 2. Залежність ІК від ІБ та UКЕ для транзистора 2Т909Б, отримана по рівнянню моделі.

Порівняємо наші результати, а саме експериментальні з отриманими по рівнянню моделі. Для цього побудуємо вольт-амперні характеристики та поверхні, що відображають поведінку нашої системи.

Рис. 4. ВАХ транзистора 2Т909Б, побудована по експериментальним даним

Рис. 5. ВАХ транзистора 2Т909Б, побудована на основі модельних даних

Рис. 6. Поверхня станів транзистора 2Т909Б, побудована по експериментальним даним

Рис. 7. Поверхня станів транзистора 2Т909Б, побудована на основі модельних даних

Приймаємо, що дисперсія експерименту σy2 = 0,05 А.

Домноживши матрицю коваріацій на σy2 отримаємо (табл. 3):

Таблиця 3 Матриця коваріацій помножена на σy2

σy2·(ХТ·Х)-1

Тепер значущість коефіцієнтів регресії можна оцінити за допомогою критерія Стьюдента. Скористаємось наступною формулою:

Табличне значення критерію Стьюдента для числа ступенів свободи n0 = 8 – 1 = 7, складає tт = 2,365. Оцінимо статистичну значущість кожного з коефіцієнтів:

Як видно із отриманих значень tp для кожного з коефіцієнтів, порівнявши їх з табличним значенням 2,365, помітно, що коефіцієнти tp3, tp4 менше табличного значення. Але вони є статистично зв’язаними з іншими коефіціентами, а значить вони є статистично значущими і не мають бути рівними нулю. Також матриця коваріацій не є ортогональною.

Отже модель залишається незмінною, а саме:

Y’ = 0,144+ 7,649Iб -0,185 Uке + 20,066Uке Iб – 24.0314Iб2 – 0.193Uке2 –

–1,604Uке2 Iб + 8,677Iб2 Uке – 14,015Uке2 Iб2

На основі отриманих значень моделі обчислимо дисперсію:

σмод2 = ,

де      k – кратність дублювання,

N – кількість дослідів,

d – кількість значущих коефіцієнтів моделі.

σмод2 = 2,4113 / (76-2) = 0,03258.

Перевіримо статистичну гіпотезу про адекватність моделі станів транзистора 2Т909Б за допомогою критерію Фішера.

Розрахуємо значення критерію Фішера, виходячи з того, що це є відношення більшої з двох дисперсій до меншої, причому воно завжди більше за одиницю.

Fp = σмод2 (σy2)/ σy2(σмод2);

Нехай похибка виміру за допомогою лінійки складає 0,5 мм. Враховуючи, що вся вісь Ік 136 мм - 483 мА, отримуємо σy ≈ 1,7757 мА, тобто дисперсія експерименту σy2 = 3,1532. Таким чином дисперсія експерименту складає σy2 = 3,1532, у той час як дисперсія моделі в свою чергу складає σмод2 = 8,664. Легко бачити, що дисперсія моделі більша, тому визначимо розрахункове значення критерію Фішера згідно приведеної вище формули:

Fp = 0,05 / 0,03258 ≈ 1,5346.

Табличне значення критерію Фішера складає:

FT ≈ 3,29046. Тобто Fp < FT, що говорить про те, що модель експерименту є адекватною.

Висновок

В даній розрахунково-графічній роботі мною були обрані вихідні ВАХ транзистора 2Т909Б у якості приклада дослідження двофакторного технічного процесу. Дані були взяті з довідника.

Спочатку було знято експериментальні дані вихідних ВАХ транзистора, тобто залежність Ік(Uк-е, Іб) і складенна таблиця початкових даних.

Потім в якості моделі було взято функцію

Y’ = b0 + b1 Uке + b2 Iб + b3 Uке Iб + b4 Uке2 + b5 Iб2+ b6 Uке2 Iб + b7 Iб2 Uке +

+ b8 Uке2 Iб2,

Розраховано її коефіцієнти за допомогогю регресійного аналізу, побудовано графіки та поверхні станів і обчислено дисперсію експерименту,яка склала σy2 ≈ 3,1532.

На другому етапі було проведено оцінку статистичної значущості коефіцієнтів регресії за допомогою критерію Стьюдента. В результаті чого отримали, що коефіцієнти b0,b1, b2, b5, b6, b7, b8 є статистично незначущими, але прирівняти до нуля їх не можна, оскільки вони статистично зв’язані з іншими коефіцієнтами матриці коваріацій. Таким чином, рівняння моделі не змінилося.

На завершальному етапі роботи було перевірено статистичну гіпотезу про адекватність моделі станів технічної системи за допомогою критерію Фішера. Спочатку було знайдено розрахункове значення критерію Фішера: на основі двох значень дисперсії - теоретичної і експериментальної (поділили більшу σy2 на меншу σмод2 з них), отримали Fp ≈ 1,389391. Потім з таблиці вибрали відповідне значення критерію Фішера FT ≈ 3,29046 і порівняли з розрахунковим, в результаті чого упевнились, що Fp < FT, тобто модель є адекватною.

Література

1.                 П.О. Яганов, «Регресійний аналіз багатофакторних систем»-K.:НТУУ «КПІ»,2006-35с.

Страницы: 1, 2