Помимо этих двух требований для обеспечения сходимости модельной схемы необходимо еще одно условие, которое накладывается на множество уровней целевой функции. Для функции F(x) и числа  множеством уровней называется совокупность всех точек, для которых справедливо выражение F() . Дополнительное условие заключается в том, чтобы данное множество L(F()) было бы ограничено и замкнуто.

Таким образом, если

·                   функция F(x) непрерывна и дважды дифференцируема;

·                   ее множество уровней ограничено и замкнуто;

·                   функция F(x) существенно убывает от итерации к итерации и на каждом шаге угол между вектором-градиентом и направлением поиска всегда не равен 90 градусам на фиксированную положительную величину,

то алгоритм модельной схемы генерирует последовательность точек, для которых справедливо .

Сходимость такого рода называется глобальной, так как она не предполагает близости начального приближения точки  к стационарной точке .

Четвертый шаг модельной схемы предполагает вычисление длины шага, то есть скалярной величины , которая должна удовлетворять условию спуска:

Для того, чтобы выбрать , удовлетворяющий этому условию, необходимо минимизировать значение целевой функции вдоль направления  как функцию одной переменной (скалярной) h. То есть минимизировать функцию:

Чем точнее будет находиться минимум функции , тем быстрее будет сходиться алгоритм модельной схемы. С другой стороны очень точное нахождение минимума  потребует больших вычислений функции, а следовательно вычисления целевой функции.

Для нахождения минимума  используются две группы методов одномерной оптимизации:

1.                 Эффективные методы одномерного поиска (метод Золотого сечения и метод Фибоначчи);

2.                 Методы полиномиальной интерполяции (Пауэлл, Ньютон, сплайн-интерполяция).

Для конкретизации модельной схемы помимо процедуры вычисления длины шага hk необходимо также задавать алгоритм расчета требуемого направления поиска .

В отличие от одномерного случая, где возможно всего лишь два направления движения ( вперед и назад), уже в двумерной задаче множество направлений поиска является бесконечным.

В этом случае возникает проблема выбора направления поиска . Именно способ вычисления  и определяет «лицо» алгоритма безусловной минимизации. Поэтому названия алгоритмам оптимизации даются по реализованным в них процедурам вычисления .

В данной курсовой работе в качестве метода синтеза применяется метод сопряженных градиентов. В группе данных методов процедура вычисления направления поиска не предполагает решения каких либо СЛАУ. Эти методы принципиально отличаются от методов Ньютна и квазиньютоновских методов.

Рассмотрим задачу поиска минимума квадратичной функции вида:

с,G - вектор и полноопределенная матрица, независящие от вектора  .

Предполагается, что нам известно к-тое приближение в точке минимума и (к+1) линейно независимых векторов .

Будем искать точку минимума целевой функции Ф() на линейном множестве векторов +Рк, где Рк – (к+1)-мерное множество, образованное линейно независимыми векторами.

Множества, образованные вида +Рк называются линейными многообразиями.

Задача сводится к нахождению точки минимума Ф() на этом линейном многообразии.

Для решения этой задачи сначала вводится матрица Рк=[]. Введение такой матрицы позволяет сформулировать задачу поиска минимума функции Ф() на многообразии +Рк следующим образом: найти

То есть надо найти вектор , таким образом, чтобы точка  была бы точкой минимума функции .

Для решения этой задачи необходимо сначала в функцию Ф(х) вместо  , затем продифференцировать получившуюся функцию по вектору , приравнять результат к нулю и оттуда выразить вектор, который является решением задачи.

Если есть функция

, то

Тогда точка минимума

 (1)

Формулу (1) можно рассматривать как формулу рекуррентного расчета точки в классических методах спуска. Другими словами, формула (1) описывает процедуру пошаговой минимизации квадратичной функции Ф(х).

Формула (1) обладает рядом свойств:

 ,

то есть каждая компонента должна быть равна нулю

Так как предполагается, что все точки xj при j=1,к рассчитывается по формуле (1), то справедливо следующее свойство:

 i>j

Тогда формулу (1) можно преобразовать

ек – (к+1) столбец единичной матрицы

С учетом всего этого формула (1) примет вид

Последнее выражение можно упростить, если матрица  будет ортогональной. Ето возможно сделать, если вектора  выбирать специальным образом. Вектора  должны быть сопряженными относительно матрицы G, то есть должны выполняться следующие соотношения

Тогда получаем упрощенное выражение

Таким образом мы установили, что среди методов минимизации квадратичных функций, укладывающихся в общую модельную схему, существует метод, к-тая итерация которого приводит в точку минимума функции Ф() на многообразии +Рк-1.

Теоретически такой метод конечен, то есть он обеспечивает нахождение минимума функции Ф() не более чем за N шагов (N-размерность задачи), так как многообразие +Рк-1 на последнем N-том шаге совпадает с множеством значений аргумента  и следовательно, если минимум функции Ф() не был найден ранее, то он обязательно будет найден на этом шаге.

Для того, чтобы полностью определить метод сопряженных градиентов необходимо определить правило выбора вектора . Это правило выглядит следующим образом:

 (2)

 - скаляр, который выбирается по двум теоретически эквивалентным формулам:

1.  - формула Флетчера-Ривса

2.  - формула Полака-Рибьера

Метод сопряженных градиентов для квадратических функций легко обобщается на случай целевой функции общего вида. Для этого необходимо ввести процедуру одномерного поиска длины шага hk и определиться, всегда ли направление поиска будет выдаваться по формуле (2) или допустимы отступления от нее. Такие отступления называются восстановлениями или рестартами. В начале рестарта вектор . Метод сопряженных градиентов, использующий такие рестарты, называется традиционным. Традиционный метод сопряженных градиентов сходится в тех же предположениях, что и метод наискорейшего спуска. Он обладает теоретической N-шаговой сверхлинейной сходимостью, но из-за наличия ошибок округления реальная скорость сходимости метода сопряженных градиентов практически всегда линейна.

Таким образом, хотя схема метода сопряженных градиентов далека от идеала, тем не менее этот метод остается единственным разумным средством для решения задачи оптимизации очень большой размерности (число переменных более 1000000).

5. Результаты синтеза

Синтез фильтра в данной курсовой работе был проведен на ЭВМ. В результате были получены следующие характеристики фильтра верхних частот третьего порядка:

Устойчивость фильтра можно оценить по карте нулей и полюсов, полученных в результате синтеза фильтра:

Коэффициенты фильтра:

Заключение

В данной курсовой работе был рассчитан цифровой фильтр высоких частот 3-го порядка. Результаты расчета показали, что фильтр является устойчивым, поскольку нули и полюса фильтра лежат внутри единичной окружности, что иллюстрируется картой нулей и полюсов, а это является достаточным условием устойчивости цифрового фильтра. Также в работе представлены частотные характеристики, которые полностью удовлетворяют требованиям технического задания.

Список использованной литературы

1. Смирнов А.А. Лекции по курсу “Теория проектирования радиоэлектронных систем управления и передачи информации”, 2004г.

2. Езерский В.В. Лекции по курсу “Цифровая обработка сигналов и микропроцессоры в радиоуправлении”, 2003г.

3. Езерский В.В., Паршин В.С. Теоретические основы цифровой обработки сигналов: Учебное пособие. РГРТА, Рязань, 1996г.

Страницы: 1, 2, 3