Министерство образования Украины
Севастопольский Государственный Технический
Университет
–
Департамент ИС
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ табличного симплекс - метода для РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
ДЛЯ
ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ задач
Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине “Методы исследования операций”
Гибкий магнитный диск
59 листов
Выполнил: ст. гр. И-22 д
Крыльцова Т.В.
Принял: Старобинская Л.П.
Севастополь
1997
- 3 -
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ДАННОГО ТИПА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1 Математическое программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Табличный симплекс - метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Метод искусственного базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Модифицированный симплекс - метод . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . 10 3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Построение математической модели задачи . . . . . . . . . . . .
. . 11
3.2 Решение задачи вручную . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 12 4. АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ . . . . . . . . . . . . 16
4.1 Построение двойственной задачи и её численное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Определение статуса ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Определение значимости ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Определение допустимого интервала изменения запаса ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.5 Исследование зависимости оптимального решения от изменений запасов ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
- 4 -
5. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ
РЕЗУЛЬТАТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОМУ
ИСПОЛЬЗОВАНИЮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
- 5 -
ВВЕДЕНИЕ
Цель данного курсового проекта - составить план производства требуемых изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить её симплекс - методом и составить программу для решения задачи этим методом на ЭВМ.
- 6 -
1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ДАННОГО ТИПА
1.1 Математическое программирование
Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом : найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x1, x2, ... , xn ) при ограничениях gi ( x1, x2, ... , xn ) ( bi , где gi - функция, описывающая ограничения, ( - один из следующих знаков ( , ( , ( , а bi - действительное число, i = 1, ... , m. f называется функцией цели ( целевая функция ).
Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.
Задачу линейного программирования можно сформулировать так . Найти max
[pic] при условии : a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ( b1 ; a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ( b2 ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ( bm ; x1 ( 0, x2 ( 0, . . . , xn ( 0 .
Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.
- 7 -
В матричной форме задачу линейного программировани записывают следующим образом. Найти max cT x при условии
A x ( b ; x ( 0 , где А - матрица ограничений размером ( m(n), b(m(1) - вектор-столбец свободных членов, x(n ( 1) - вектор переменных, сТ = [c1, c2, ... , cn ] - вектор-строка коэффициентов целевой функции.
Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется условие сТ х0 ( сТ х , для всех х ( R(x).
Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ] , то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.
Для решения задач данного типа применяются методы:
1) графический;
2) табличный ( прямой, простой ) симплекс - метод;
3) метод искусственного базиса;
4) модифицированный симплекс - метод;
5) двойственный симплекс - метод.
1.2 Табличный симплекс - метод
Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.
Алгоритм решения сводится к следующему :
1. Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.
2. Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ”
- 8 -
или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.
3. Формируется симплекс-таблица.
4. Рассчитываются симплекс-разности.
5. Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.
6. При необходимости выполняются итерации.
7. На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.
1.3 Метод искусственного базиса
Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков “ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами ( , а в задачи минимизации - с положительными ( . Таким образом из исходной получается новая ( - задача.
Если в оптимальном решении ( - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении ( - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.
1.4 Модифицированный симплекс - метод
В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особен -
- 9 -
ности линейной алгебры , которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.
В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.
В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.
Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.
- 10 -
2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - а1 , оборудованием 2-го типа - а2 , оборудованием 3-го типа - а3 . На производство единицы изделия В идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - b1 , оборудованием 2-го типа - b2 ,, оборудованием 3-го типа - b3 .
На изготовление всех изделий администрация предприятия может предоставить оборудование 1-го типа не более, чем на t1 , оборудование 2- го типа не более, чем на t2 , оборудование 3-го типа не более, чем на t3 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет ( рублей, а изделия В - ( рублей.
Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями-неравенствами. а1 = 1 b1 = 5 t1 = 10 ( = 2 а2 = 3 b2 = 2 t2 = 12 ( = 3 а3 = 2 b3 = 4 t3 = 10
- 11 -
3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
3.1 Построение математической модели задачи
| |На произв-во |На произв-во |Предпр-е | | |изделия А, часов |изделия B, часов |предоставит, часов| |Оборуд-е 1го типа |1 |5 |10 | |Оборуд-е 2го типа |3 |2 |12 | |Оборуд-е 3го типа |2 |4 |10 | |Прибыль от |2 |3 | | |реализации, за ед. | | | | |изд-я | | | |
Построение математической модели осуществляется в три этапа :
1. Определение переменных, для которых будет составляться математическая модель.
Так как требуется определить план производства изделий А и В, то переменными модели будут: x1 - объём производства изделия А, в единицах; x2 - объём производства изделия В, в единицах.
2. Формирование целевой функции.
Так как прибыль от реализации единицы готовых изделий А и В известна, то общий доход от их реализации составляет 2x1 + 3x2 ( рублей ). Обозначив общий доход через F, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции : определить допустимые значения переменных x1 и x2 , максимизирующих целевую функцию F =
2x1 + 3x2 .
3. Формирование системы ограничений.
При определении плана производства продукции должны быть учтены ограничения на время, которое администрация предприятия сможет пре -
Страницы: 1, 2, 3