Рефераты. Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач

Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач

Министерство образования Украины

Севастопольский Государственный Технический

Университет

Департамент ИС

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ табличного симплекс - метода для РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ДЛЯ

ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ задач

Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине “Методы исследования операций”

Гибкий магнитный диск

59 листов

Выполнил: ст. гр. И-22 д

Крыльцова Т.В.

Принял:
Старобинская Л.П.

Севастополь

1997

- 3 -

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 5
1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДАННОГО ТИПА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 6

1.1 Математическое программирование . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 6

1.2 Табличный симплекс - метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 7

1.3 Метод искусственного базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 8

1.4 Модифицированный симплекс - метод . . . . . . . . . . . . . . .
. . 8
2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . 10
3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Построение математической модели задачи . . . . . . . . . . . .

. . 11

3.2 Решение задачи вручную . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 12
4. АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Построение двойственной задачи и её численное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Определение статуса ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 16

4.3 Определение значимости ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 17

4.4 Определение допустимого интервала изменения запаса ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.5 Исследование зависимости оптимального решения от изменений запасов ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 19

- 4 -

5. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ

РЕЗУЛЬТАТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 20
6. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОМУ

ИСПОЛЬЗОВАНИЮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 22

ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 23

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 11

- 5 -

ВВЕДЕНИЕ

Цель данного курсового проекта - составить план производства требуемых изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить её симплекс - методом и составить программу для решения задачи этим методом на ЭВМ.

- 6 -

1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДАННОГО ТИПА

1.1 Математическое программирование

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом : найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x1, x2, ... , xn ) при ограничениях gi ( x1, x2, ... , xn ) ( bi , где gi - функция, описывающая ограничения, ( - один из следующих знаков ( , ( , ( , а bi - действительное число, i = 1,
... , m. f называется функцией цели ( целевая функция ).

Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так . Найти max

[pic] при условии : a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ( b1 ; a21 x1 + a22 x2 + .
. . + a2n xn ( b2 ;

. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ( bm ; x1 ( 0, x2 ( 0, . . . , xn ( 0 .

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.

- 7 -

В матричной форме задачу линейного программировани записывают следующим образом. Найти max cT x при условии

A x ( b ; x ( 0 , где А - матрица ограничений размером ( m(n), b(m(1) - вектор-столбец свободных членов, x(n ( 1) - вектор переменных, сТ = [c1, c2, ... , cn ]
- вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется условие сТ х0 ( сТ х , для всех х ( R(x).

Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ] , то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный ( прямой, простой ) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

1.2 Табличный симплекс - метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида
“ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему :

1. Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

2. Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ”

- 8 -

или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

3. Формируется симплекс-таблица.

4. Рассчитываются симплекс-разности.

5. Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

6. При необходимости выполняются итерации.

7. На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.

1.3 Метод искусственного базиса

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков
“ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами ( , а в задачи минимизации - с положительными ( . Таким образом из исходной получается новая ( - задача.

Если в оптимальном решении ( - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении ( - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

1.4 Модифицированный симплекс - метод

В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особен -

- 9 -

ности линейной алгебры , которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

- 10 -

2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - а1 , оборудованием 2-го типа
- а2 , оборудованием 3-го типа - а3 . На производство единицы изделия В идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - b1 , оборудованием 2-го типа - b2 ,, оборудованием 3-го типа - b3 .

На изготовление всех изделий администрация предприятия может предоставить оборудование 1-го типа не более, чем на t1 , оборудование 2- го типа не более, чем на t2 , оборудование 3-го типа не более, чем на t3 часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет ( рублей, а изделия В - ( рублей.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями-неравенствами. а1 = 1 b1 = 5 t1 = 10 ( = 2 а2 = 3 b2 = 2 t2 = 12 ( = 3 а3 = 2 b3 = 4 t3 = 10

- 11 -

3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

3.1 Построение математической модели задачи

| |На произв-во |На произв-во |Предпр-е |
| |изделия А, часов |изделия B, часов |предоставит, часов|
|Оборуд-е 1го типа |1 |5 |10 |
|Оборуд-е 2го типа |3 |2 |12 |
|Оборуд-е 3го типа |2 |4 |10 |
|Прибыль от |2 |3 | |
|реализации, за ед. | | | |
|изд-я | | | |

Построение математической модели осуществляется в три этапа :

1. Определение переменных, для которых будет составляться математическая модель.

Так как требуется определить план производства изделий А и В, то переменными модели будут: x1 - объём производства изделия А, в единицах; x2 - объём производства изделия В, в единицах.

2. Формирование целевой функции.

Так как прибыль от реализации единицы готовых изделий А и В известна, то общий доход от их реализации составляет 2x1 + 3x2 ( рублей ). Обозначив общий доход через F, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции : определить допустимые значения переменных x1 и x2 , максимизирующих целевую функцию F =

2x1 + 3x2 .

3. Формирование системы ограничений.

При определении плана производства продукции должны быть учтены ограничения на время, которое администрация предприятия сможет пре -

Страницы: 1, 2, 3



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.