|
|
РЕШЕНИЕ
Алгоритм метода половинного деления заключается в следующем:
1. Выбрать нулевое приближение x0=(a+b)/2.
2. Если f(x0)=0, то x0 очевидно является корнем уравнения.
3. Если f(x0)≠0, то проверить условия f(x0)×f(a)<0 и f(x0)×f(b)<0 и выбрать тот из отрезков [a, х0], [х0, b], на границах которого выполнено одно из этих условий (т.е. функция f(х) имеет на концах отрезка противоположные знаки).
4. Выбранный отрезок вновь разделить пополам и вычислить значение x1.
5. Для х1 проверить условие f(х1)=0 и, если оно не выполняется, вернуться к п. 4.
6. Процесс деления отрезков пополам продолжить до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше e .
7. Принять, что условие f(xk)= 0 выполнено, если
Ниже приведены блок-схема алгоритма и листинг программы на языке Паскаль.
Program lab3;
function f1 (x: real): real;
begin
f1:=cos(0.2*x*x-2);
end;
var
x,a,b,e: real;
iteraz: integer;
begin
write ('Input a = '); readln (a);
write ('Input b = '); readln (b);
write ('Input e = '); readln (e);
iteraz:=0;
x:=(a+b)/2;
while (f1(x)<>0) and (abs(a-b)>e) do
begin
x:=(a+b)/2;
iteraz:=iteraz+1;
if (f1(a)*f1(x))<0 then b:=x
else a:=x;
writeln ('n=', iteraz,' x=', x:3:6,' f(x)=', f1(x):3:6);
end;
readln;
end.
Решение этой задаче было проведено и в MS Excel. Лист с решением задачи и ответом приведен ниже.
Задача 4.
Вычислить определенный интеграл методом прямоугольников: или трапеций, на выбор.
, , , , с точностью .
Формула метода прямоугольников:
Формула метода трапеций: .
№
9
-3π
0
РЕШЕНИЕ
Алгоритм метода трапеций заключается в следующем:
1. Отрезок [a,b] разбивается на n равных частей.
2. Интеграл представляет собой площадь
криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми x=a и x=b и
графиком функции. Очевидно, что интеграл от функции на отрезке равен сумме
интегралов от этой же функции на каждом из маленьких отрезков, полученных в
результате разбиения. Но на каждом из маленьких отрезков мы приближенно
заменяем площадь криволинейной трапеции на площадь прямолинейной трапеции с
основанием (высотой), равным длине маленького отрезка, и высотами (основаниями)
f(xn) и f(xn+1), где xn – левая граница отрезка, xn+1
– правая граница отрезка. Основание (высота трапеции) равно
(b-a)/n, и таким образом площадь трапеции равна
(f(xn)+f(xn+1))(b-a)/2n. У нас всего n трапеций, причем каждые
две соседние трапеции имеют одинаковые высоты (основания). Таким образом, в
сумму каждое из f(xn) кроме f(a) и f(b) войдет дважды, и таким образом весь интеграл
вычисляется как ,
где .
3. В методе трапеций не определен шаг (количество отрезков разбиения). Очевидно, что чем больше количество отрезков, тем более точным будет результат. Поэтому, задаем начальное значение n (например n=10) и вычисляем интеграл.
4. После этого удваиваем n и снова вычисляем интеграл (п. 2). Сравнивая полученные результаты, делаем вывод, достигнута ли требуемая точность.
5. Если результаты отличаются друг от друга меньше чем на ε, то требуемая точность достигнута. Если нет, то снова удваиваем n и вычисляем интеграл еще раз (возвращаемся к п. 4).
Ниже представлена блок-схема алгоритма и листинг программы.
program pr4;
uses crt;
var
h,a,b,S,dS,P,x,eps:real;
n,i:integer;
function f(x:real) : real;
begin
f:=0,1*sin(0.1*x+0.0025*x*x)/cos(0.1*x+0.0025*x*x);
end;
begin
clrscr;
writeln('input a,b,n,eps, please');
write('a');
readln(a);
write('b');
readln(b);
write('n');
readln(n);
write('eps');
readln(eps);
s:=0;
repeat P:=S;
h:=(b-a)/2;
S:=0;
x:=a;
for i:= 1 to n do
begin
x:=x+h;
S:=S+f(x);
end;
S := S*h;
write('n=',n:3,' h=',h:12:9);
n:=n*2;
until abs(P-S)/(s*100)<eps;
writeln;
writeln('Result S=',S:10:6,' dS=',dS:12:9);
writeln;
writeln('Process ended');
writeln('Press any key to exit');
repeat until keypressed;
end.
Данная задача была решена также в MS Excel. Лист с решением задачи приведен ниже. Требуемая точность была достигнута при n=10.
Программа выполненная на языке Microsoft Visual Basic 6.0
Private Sub Command1_Click()
Dim i As Integer
Dim x(1 To 40) As Double
Dim f(1 To 40) As Double
Dim f1(1 To 40) As Double
Dim s(1 To 40) As Double
a = -3 * 3.14
b = 0
e = 0.1
n = 40
h = (b - a) / n
i = 1
x(i) = a
f(i) = 0.1 * Tan(0.1 * x(i) + 0.025 * x(i) ^ 2)
f1(i) = f(i)
s(i) = h * f(i)
For i = 2 To n
x(i) = x(i - 1) + h
f(i) = 0.1 * Tan(0.1 * x(i) + 0.025 * x(i) ^ 2)
f1(i) = f1(i - 1) + f(i)
s(i) = h * f1(i)
Next
For i = 1 To n
Print " s="; s(i)
Next
If Abs(s(n) - s(n - 1)) < e Then Print "удвойте n"
End Sub
Private Sub Form_Load()
End Sub
Задача 5.
Дана прямоугольная матрица Ci,j,, размером . Если данная матрица является квадратной, найти сумму элементов главной диагонали, в противном случае найти сумму всех членов матрицы.
РЕШЕНИЕ
Составим схему алгоритма.
Program Lab_5;
uses crt;
var
i,j,m,n:integer;
b,a : array[1..10,1..10] of real;
s : real;
begin
clrscr;
write ('chislo stolbcov n='); Readln(n);
write ('chislo strok m='); readln (m);
begin
if m=n then
s:=0;
for i := 1 to n do
begin
for j := 1 to m do
begin
write('a[',i,',',j,']='); readln(a[i,j]);
end;
writeln;
end;
begin
if i=j then s:=s+a[i,j];
writeln(s:6:3);
end;
if i<>j then
begin
s:=0;
for i := 1 to n do
begin
for j := 1 to m do
begin
s:=s+a[i,j];
end;
writeln(s:6:3);
end;
end;
readln;
end;
end.
Данная задача была решена также в MS Excel. Лист с решением задачи приведен ниже.
Программа выполненная на языке Microsoft Visual Basic 6.0
Private Sub Command1_Click()
Dim i, j, m, n As Integer
Dim s As Double
Dim c(1 To 50, 1 To 50) As Double
m = 3
n = 3
For i = 1 To m
For j = 1 To n
c(i, j) = 7 * i - j
Next
Next
s = 0
For i = 1 To m
For j = 1 To n
If m = n Then s = s + c(i, i) Else s = s + c(i, j)
Next
Next
Print s
End Sub
Private Sub Form_Load()
End Sub
Список литературы
1. Информатика: Базовый курс. / С. В. Симонович и др. СПб.: Питер, 2005
2. Острейковский В. А. Информатика: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 2000. – 511 с.: ил.
3. Алексеев Е. В. и др. Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию: Практ. пособие / В. Е. Алексеев, А. С. Ваулин, Г. Б. Петрова; Под ред. А. В. Петрова. – М.: Высш. шк., 1991. – 400 с.: ил
4. Глушаков С. В., Мельников И. В. Персональный компьютер: Учебный курс / Худож. оформитель А. С. Юхтман. – Харьков: Фолио; М.: ООО «Издательство АСТ», 2001. – 520 с. – (Домашняя б-ка).
5. Леонтьев В. Новейшая энциклопедия персонального компьютера. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 1999. – 640 с.
6. Козлов В.В., Можаева Н.А., Зуева Н.Г. Информатика. Алгоритмизация и программирование. Мет. Указания и задания к курсовой работе,2006. -32с
Страницы: 1, 2
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.