Пример 4.3.3. Рассмотрим систему четвертого порядка

                             (4.3.59)

Где x(0)=(-1,0.1,1.0,-0.5)T, квадратичная функция оценки Q=daig(2,1,1,2), R=diag(1,2) и нет граничного штрафа. Надо использовать метод прогнозирования взаимодействия и найти оптимальное управление для tf =1.

Решение: Систему разделили на две подсистемы второго порядка и применили методы, описанные в алгоритме 4.2. На первом шаге решили два независимых дифференциальных матричных уравнения Риккати используя как дублирующий алгоритм Davison и Maki (1973), так и стандартный метод Рунге-Кутта. Элементы матрицы Риккати были представлены в виде квадратичного полинома в ряде Чебышева (Newhouse,1962), для удобства вычислений:

               (4.3.60)

На первом уровне были решены два сопряженных уравнения второго порядка в виде (4.3.49) и два уравнения состояния подсистем, как показано в алгоритме 4.2 в шаге 3, используя метод четвертого порядка Рунге-Кутта и первоначальные значения

             (4.3.61)

На втором уровне векторы взаимодействия [a11(t),a12(t),z11(t),z12(t)] и [a21(t),a22(t),z21(t),z22(t)]T были спрогнозированы с использованием рекурсивных отношений (4.3.56), и на каждой итерации производился обмен информацией с подсчетом общей ошибки взаимодействия (4.3.58) для  и программы кубической сплайн интерполяции. Ошибку взаимодействия снизили до  за шесть итераций, как показано на рисунке 4.11. Были получены оптимальные значения выхода для Ci =(1 1) и сигнала управления. Затем для сравнения первоначальную систему (4.3.59) оптимизировали, решив нестационарное матричное уравнение Риккати четвертого порядка обратным интегрированием, и для хi(t), i=1,2,3,4; yj(t) и uj(t), j=1,2. Значения выхода и сигналы управления как для случая иерархического управления, так и для централизованного, показаны на рисунке 4.12. Отметьте относительно точное соответствие между значениями выхода для первоначальной соединенной и иерархической разъединенной систем. Но как и ожидалось, эти два уравнения различны.

Теперь рассмотрим второй пример.

Пример 4.3.4. Рассмотрим систему восьмого порядка

Необходимо использовать метод прогнозирования взаимодействия для нахождения u*.

Решение: Система была разложена на две подсистемы четвертого порядка и были выбраны tf=2, =0.1 , Q1=Q2=I4, R1=R2=1. Первоначальные значения , i=1,2 и состояние х0 были приняты за ,  и . Сходимость была очень быстрой, как видно на рисунке 4.13. Всего за четыре итерации второго уровня ошибка взаимодействия была снижена до . Фактически была быстрая сходимость для различных x0 и .

САПР пример 4.3.1. Рассмотрим систему четвертого порядка в примере 4.3.1 в (4.3.59):

Где x(0)=(-1,0.1,1.0,-0.5)T , квадратичная функция оценки Q =diag(2,1,1,2), R=diag(1,2) и нет граничного штрафа. Необходимо использовать LSSPAK или подобное программное обеспечение и метод прогнозирования взаимодействия и найти оптимальное управление для tf=2.

Решение: Как и раньше, система делится на две подсистемы второго порядка, и уравнения Риккати для подсистем решаются с использованием RICRKUT от LSSPAK/PC, а их решения представлены в виде полинома четвертого порядка для удобства вычислений. Используя программу INTRPRD от LSSPAK/PC реализуют алгоритм прогнозирования взаимодействия и схождение достигается за пять итераций. Точные выборки из выполнения этого САПр примера приведены ниже. Инструкции для вычерчивания программы прогнозирования взаимодействия появляются, когда на экране появится чертеж; нажмите Enter, чтобы вернуться к меню.

Если вы хотите вывести чертежи через принтер откройте DOS файл GRAPHICS до запуска программы, когда вы захотите вывести чертеж, нажмите shift-PrtScr.

Optimization via the interaction prediction method.

Initial time (to): 0

Final time (tf): 2

Step size (Dt): .1

Total no. of 2nd level iterations = 6

Error tolerance for multi-level iterations - .00001

Order of overall large scale system = 4

Order of overall control vector (r) = 2

Number of subsystems in large scale system = 2

Matrix Subsystem state orders-n sub i 0.200D+01 0.200D+01

Matrix Subsystem input orders-r sub i 0.100D+01 0.100D+01

Polynomial approximation for the Ricatti matrices to be used.

Matrix Ricatti coefficients for SS# 1

Matrix Ricatti coefficients for SS# 2

System Matrix A

Matrix Input Matrix B

Matrix Input Cost Function R

Matrix Lagrange Multiplier Initial Values

Matrix Initial conditions vector xO

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 1

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 1

At second level iteration no. 1 interaction error = 0.347D+00

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 2

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 2

At second level iteration no. 2 interaction error = 0.771D - 03

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 3

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 3

At second level iteration no. 3 interaction error = 0.507D - 03

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 4

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 4

At second level iteration no. 4 interaction error = 0.323D - 04

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 5

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 5

At second level iteration no. 5 interaction error = 0.310D - 05

Оптимальные отклики показаны на рисунке 4.14, а схождение на рисунке 4.15.

Другие применения метода прогнозирования взаимодействия представлены в разделе задач.

4.3.3 Согласование цели и однородность

Когда в (4.3.15) – (4.3.17) обсуждался метод согласования цели, было замечено, что положительно определенные матрицы Si были введены в функцию оценки (4.3.17) для того, чтобы избежать однородности. Чтобы убедится в этом, обратимся к задаче минимизации Li в (4.1.24) для объекта (4.3.15). Пусть i-й Гамильтониан подсистемы имеет вид:

                                   (4.3.62)

Одно из необходимых уравнений для решения задачи i-й подсистемы на первом уровне

                                       (4.3.63)

или

                                                       (4.3.64)

где однородное решение появляется, если  не появляется в функции оценки. Чтобы избежать однородности на первом уровне возможны два альтернативных подхода. Следующий пример иллюстрирует два подхода.

Пример 4.3.5. Рассмотри следующую систему:

                                                      (4.3.65)

Необходимо найти (u1,u2), такие, чтобы они удовлетворяли (4.3.65), а квадратичная функция оценки

                                                       (4.3.66)

минимизировалась методом согласования цели.

Решение: Из (4.3.65) –(4.3.66) ясно, что систему можно разделить на две подсистемы первого порядка.

                                                          (4.3.67)

                                                            (4.3.68)

с ограничением взаимодействия

                                                                                              (4.3.69)

Задача в настоящий момент имеет следующий Гамильтониан:

(4.3.70)

в котором переменная взаимодействия появляется линейно. Применение метода согласования цели для данной формулировки приведет к однородности, так как z1 появляется линейно в (4.3.70). Следующая системная переформулировка задач поможет избежать однородности.

Часть а – подсистема 1, переменные состояния

Часть б – подсистема 1, переменные управления

Часть в – подсистема 2, переменные состояния

Часть г – подсистема 2, переменные управления

4.3.3.а. Переформулировка 1.

Bauman (1968) предложил переписать ограничения взаимодействия квадратичной формы

                                                                                    (4.3.71)

которая даст следующее необходимое условие для оптимизации на первом уровне:

                    (4.3.72)

для первой подсистемы и

                                         (4.3.73)

для второй подсистемы. После введения формулы Риккати (4.3.72) и (4.3.73) мы получим:

и

где ki(t) – i-я скалярная нестационарная матрица Риккати для подсистемы. Согласование на втором уровне достигается через следующие итерации:

Эта переформулировка помогает избежать однородности, но делает схождение итераций второго уровня очень медленным.

4.3.3.б. Переформулировка 2.

Singh (1980) предложил альтернативную формулировку, которая не только позволит избежать однородности, но и даст хорошее схождение процедура основывается на том, чтобы найти х через вектор взаимодействия z и подставить его в функцию оценки, т.е. z можно представить как:

где G – считается неоднородной и переформулированный Гамильтониан представлен в виде:

В этом примере матрица G – однородна, но решение можно получить. Гамильтониан имеет вид:

А задача подсистемы первого уровня имеет вид

и

вторую подсистему можно решить сразу же, так как уравнение p2 – косостояние отделено от х2 и может быть решено в обратном порядке и подставлено в уравнение х2, что приведет к тому, что решение уравнения Риккати в данном примере не требуется. Но для первой подсистемы, исходя из формулировки задач первого уровня в прогнозировании взаимодействия (4.3.40) – (4.3.51), необходимо как уравнение Риккати, так и открытое сопряженное (компенсирующее) векторное уравнение. Для этого примера задача первой подсистемы имеет вид

где два дифференциальных уравнения для ki(t) и gi(t) нужно решить в обратном порядке. В то время как для второй подсистемы не нужно решать вспомогательное уравнение, надо решить два таких уравнения для первой подсистемы. В общем эта переформулировка требует решения

                                           (4.3.74)

что означает, что уравнения вектора косостояния p отделено от х и может быть решено в обратном порядке (без решения уравнения Риккати) и подставлено в верхнее уравнение для нахождения х. Так как матрицы A, B, Q и R – блок-диагональные, задачу (4.3.74) можно разделить на N задач подсистем с условием, что  отделяемо от z, где V=G-1.

Страницы: 1, 2, 3, 4