{K(p)} – диагональная матрица (NN), элементы которой являются передаточными функциями активных элементов;
N – число активных элементов схемы; t0 – передаточная функция (сквозная передача) схемы при отсутствии активных элементов.
Рис. 3. Векторный сигнальный граф многоконтурной электронной схемы
В этом случае ее передаточная функция определяется следующим соотношением:
, (16)
где Т – вектор-строка (1N), каждый элемент которого является коэффициентом передачи пассивной части схемы с выхода активного элемента к выходу схемы (y0);
А – вектор-столбец (N1), каждый элемент которой является передачей пассивной части схемы с входа (Х0) ко входу активного элемента;
ВТ– матрица (NN), каждый элемент которой представляет собой передачу пассивной части схемы с выхода i-го активного элемента ко входу j-го активного элемента;
{K(p)} – диагональная матрица (NN), элементы которой являются передаточными функциями активных элементов; N – число активных элементов схемы; t0 – передаточная функция (сквозная передача) схемы при отсутствии активных элементов.
Учитывая, что любая передаточная функция может быть представлена отношением двух полиномов
, (17)
устанавливается однозначная связь
(18)
где – вектор коэффициентов передачи активных элементов; – векторы компонентов Т, В, А.
Таким образом, процедура проектирования сводится к анализу способов конструирования коэффициентов (18) и выбору предпочтительного варианта реализации схемы.
Важным следствием такого подхода является возможность декомпозиции задачи на ряд составляющих.
Во-первых, многообразие функциональных зависимостей компонент векторов А, Т и матрицы В от структуры и параметров пассивной части схемы позволяет осуществить поэтапный отбор желаемых способов реализации коэффициентов (18), а также независимо зафиксировать их отдельные составляющие и, следовательно, оперировать локальными частотно-зависимыми передачами. Так, представив (16) в форме Мэзона
(19)
можно перейти при синтезе схемы к выбору простейших решающих усилителей. Именно это позволило автору в 70-е гг. получить более 10-ти новых низкочувствительных принципиальных схем устройств частотной селекции.
Во-вторых, с учетом инерционных свойств активных элементов, матрица К может быть представлена в следующем виде:
, (20)
где Ki, Пi – статический коэффициент передачи и площадь усиления i-го активного элемента. Это позволяет расширить систему (17):
(21)
и, следовательно, учесть в процессе выбора предпочтительных способов конструирования коэффициентов передаточной функции влияние площади усиления активных элементов на любые параметры проектируемой системы. Указанный подход позволил обосновать двухканальные цепи, обладающие свойством взаимной компенсации влияния отдельных активных элементов на параметры звеньев второго порядка, и выявить существующие ограничения на этот уровень [10].
Однако, несмотря на возможность детализации, решение практических задач существенно осложняется большим числом изоморфных схем. Так, при синтезе низкочувствительных цепей, когда используется декомпозиция компонентов матрицы В функцией первого порядка
(22)
знаменатель (16) согласно процедуре Бине-Коши будет иметь вид:
, (23)
где Mi-B – i-й главный минор аддитивно обратной матрицы В.
В классе канонических схем второго порядка с двумя активными элементами необходимо выполнить логические и арифметические условия
(24)
и
(25)
которые приводят к четырем изоморфным схемам.
Первая группа изоморфных схем соответствует изменению индексов активных элементов, а вторая – конкретному виду функции (22) (индексы i и j меняются местами). В общем случае количество таких схем может быть определено через следующее соотношение:
структурный синтез генетический автоматизированный процедура
(26)
Как показывает опыт решения практических задач, именно изоморфизм затрудняет построение новых структур. Особенно это проявляется при их автоматизированном поиске.
Одним из возможных выходов из сложившегося положения является разложение функции (16) в форме (19) по виду характеристических полиномов решающих усилителей, которая совместно со структурой вектора Т позволяет осуществлять разветвление процедуры синтеза. Например, для звеньев второго порядка общий для числителя и знаменателя (19) полином будет иметь 6 вариантов своего формирования [5]:
(27)
Каждому из полученных разложений для конкретного числа активных элементов будут соответствовать только две принципиальные схемы, и, следовательно, при большом N существенно сократится перебор вариантов.
Так, для второго варианта разложения после формальных преобразований получим сигнальный граф, изображенный на рис. 4.
Рис. 4. Сигнальный граф схемы варианта 2
Таким образом, из рассмотрения исключены варианты, связанные с заменой индексов 1«2, 3«2, что и позволило получить единственную принципиальную схему. Анализ полученного решения показал значительно более низкое влияние частотных свойств активных элементов на ее параметры по сравнению с ранее известными схемами.
Приведенный подход позволяет, в частности, еще более сузить область поиска желаемых структур. Например, при построении звеньев второго порядка с действительными нулями коэффициента передачи, когда по соображениям чувствительности целесообразно отказаться от разностного принципа формирования затухания нуля передаточной функции, можно выделить специальный двухканальный тип частотозависимой цепи со вторым, четвертым и пятым вариантами разложения функции (7).
Автоматизация процедур синтеза структур электронных схем направлена не только на исключение изоморфных решений и на преодоление специфических для данного класса устройств вычислительных проблем, связанных с разреженностью матриц.
Указанные трудности в значительной мере преодолеваются в случае применения ряда теоретических положений электрических цепей. Так, применение топологических принципов формирования коэффициентов передаточных функций не связано с матричными преобразованиями. Здесь достаточно оперировать с деревьями и прадеревьями цепей и при численных расчетах использовать только полную топологическую структуру либо ее модификацию [6, 10].
В основе метода лежит полная топологическая структура, которая выбирается исходя из особенностей решения поставленной задачи [8].
Например, при синтезе цепи с биквадратным входным сопротивлением в RLC-базисе используется утверждение Ботта-Даффина о полноте схемы, содержащей три конденсатора, два резистора и три индуктивности. Значительно труднее решается задача синтеза ARC-схемы. Здесь не сформулированы утверждения, отличающие структуры по тем или иным свойствам. Более того, сложно утверждать, что схема с большим числом активных элементов окажется лучше по совокупности признаков. В монографии [8], которая обобщила исследования в области синтеза ARC-схем по методу компонентных уравнений, предлагается решение задачи в следующей последовательности:
1.Выбирается схема полной топологической структуры с минимальным числом активных элементов.
2.Задается минимальное число узлов схемы полной топологической структуры. В отличие от RLC-базиса, здесь невозможно заранее вычислить минимальное число узлов. Однако оценки, приведенные в [2], позволяют в определенной степени задать начальное приближение. Исходя из способа включения активного элемента определяются те алгебраические дополнения, которые не влияют на принципы конструирования компонентных уравнений, и составляется усеченная топологическая структура.
3.Для усеченной топологической структуры с выбранным числом узлов одним из методов оптимизации определяются проводимости, включая и номиналы конденсаторов пассивной подсхемы.
4.Решение с учетом численных значений R и C уточняется путем устранения бесконечно малых проводимостей.
5.При получении неудовлетворительного результата последователь-но увеличивается число узлов и активных элементов схемы полной топологической структуры.
Настоящая процедура, естественно, не исключает изоморфных решений, однако заметно упрощает реализацию пассивных подсхем и, следовательно, компонент матрицы В и вектора А.
Несмотря на то, что здесь не удалось получить новых в практическом отношении схем, обобщение результатов многолетних исследований в области топологического анализа и синтеза электронных схем, апробация методов оптимизации оказали заметное влияние на пути решения обсуждаемой проблемы.
Существенно упростить проблему изоморфизма в структурном синтезе удается применением качественных начальных приближений или стартовых конфигураций. В этом случае, согласно соотношению (16), необходимо разработать процедуру мутации матрицы В и векторов А и Т.
В основу метода положена хорошо известная в векторной алгебре теорема о подобных преобразованиях, сохраняющих неизменными характеристические числа матриц. Если некоторая матрица R неособенная, то
(28)
Следовательно,
(29)
Поэтому матрица R переводит одно состояние обобщенной структуры А, В, и Т в другое
(30)
при условии, что R и {K(p)} перестановочные:
. (31)
Таким образом, дополнительные математические ограничения связаны с решением задачи Фробениуса [7] и, как будет показано ниже, существенно ограничивают возможность метода.
Представим матрицы, входящие в (2.30), в блочном виде:
, (32)
где
К1(Т1 × Т1)б
К2(Т1 × Т2)б
К3(Т2 × Т1)б
К4(Т2 × Т2)б
Ь1(Т1 × Т1)б
Ь2(Т2 × × Т2)б
Т1+Т2=Тю
Тогда условие (31) приведет к четырем матричным уравнениям:
(33)
Матрицы М1 и М2 не имеют общих характеристических чисел, поэтому в соответствии с теоремой Фробениуса последние два уравнения имеют только тривиальное (нулевое) решение, следовательно,
. (34)
Таким образом, искомая матрица R является квазидиагональной. Учитывая, что матрицы М1 и М2 диагональные, можно при N ³ N1 ³ 1 получить условие диагональности R1 и R4. Полученный результат позволяет сформулировать следующие важные выводы.
Во-первых, преобразования подобия в общем случае не могут обеспечить изменения структуры цепи. Действительно, как это видно из соотношений (30), диагональная структура R изменяет только численные значения компонент , , и, следовательно, не влияет на способы соединения элементов цепи.
Страницы: 1, 2, 3
