Рефераты. Эйлеровы и гамильтоновы графы p> На основе вышеизложенного можно сделать вывод, что этот алгоритм, наряду с деревянным алгоритмом и алгоритмом Дейкстры, можно отнести к приближённым (хотя за этим алгоритмом ни разу не было замечено выдачи неправильного варианта).

§8. Генетические алгоритмы

Пусть дана некоторая сложная функция (целевая функция), зависящая от нескольких переменных, и требуется найти такие значения переменных, при которых значение функции максимально. Задачи такого рода называются задачами оптимизации и встречаются на практике очень часто.

Генетический алгоритм - это простая модель эволюции в природе, реализованная в виде компьютерной программы. В нем используются как аналог механизма генетического наследования, так и аналог естественного отбора.
При этом сохраняется биологическая терминология в упрощенном виде. Вот как моделируется генетическое наследование:
|Хромосома |Вектор (последовательность) из нулей и единиц. |
| |Каждая позиция (бит) называется геном. |
|Индивидуум = |Набор хромосом = вариант решения задачи. |
|генетический | |
|код | |
|Кроссовер |Операция, при которой две хромосомы обмениваются своими |
| |частями. |
|Мутация |Случайное изменение одной или нескольких позиций в |
| |хромосоме. |

Чтобы смоделировать эволюционный процесс, сгенерируем вначале случайную популяцию - несколько индивидуумов со случайным набором хромосом
(числовых векторов). Генетический алгоритм имитирует эволюцию этой популяции как циклический процесс скрещивания индивидуумов и смены поколений.

Жизненный цикл популяции - это несколько случайных скрещиваний
(посредством кроссовера) и мутаций, в результате которых к популяции добавляется какое-то количество новых индивидуумов. Отбором в генетическом алгоритме называется процесс формирования новой популяции из старой популяции, после чего старая популяция погибает. После отбора к новой популяции опять применяются операции кроссовера и мутации, затем опять происходит отбор, и так далее.

Отбор в генетическом алгоритме тесно связан с принципами естественного отбора в природе следующим образом:
|Приспособленность |Значение целевой функции на этом индивидууме. |
|индивидуума | |
|Выживание |Популяция следующего поколения формируется в |
|наиболее |соответствии с целевой функцией. Чем приспособленнее |
|приспособленных |индивидуум, тем больше вероятность его участия в |
| |кроссовере, т.е. размножении. |

Таким образом, модель отбора определяет, каким образом следует строить популяцию следующего поколения. Как правило, вероятность участия индивидуума в скрещивании берется пропорциональной его приспособленности.
Часто используется так называемая стратегия элитизма, при которой несколько лучших индивидуумов переходят в следующее поколение без изменений, не участвуя в кроссовере и отборе. В любом случае каждое следующее поколение будет в среднем лучше предыдущего. Когда приспособленность индивидуумов перестает заметно увеличиваться, процесс останавливают и в качестве решения задачи оптимизации берут наилучшего из найденных индивидуумов.

Генетический алгоритм - новейший, но не единственно возможный способ решения задач оптимизации. С давних пор известны два основных пути решения таких задач - переборный и локально-градиентный. У этих методов свои достоинства и недостатки, и в каждом конкретном случае следует подумать, какой из них выбрать.

Рассмотрим достоинства и недостатки стандартных и генетических методов на примере классической задачи коммивояжера (TSP - traveling salesman problem). Суть задачи состоит в том, чтобы найти кратчайший замкнутый путь обхода нескольких городов, заданных своими координатами. Оказывается, что уже для 30 городов поиск оптимального пути представляет собой сложную задачу, побудившую развитие различных новых методов (в том числе нейросетей и генетических алгоритмов).

Каждый вариант решения (для 30 городов) - это числовая строка, где на j-ом месте стоит номер j-ого по порядку обхода города. Таким образом, в этой задаче 30 параметров, причем не все комбинации значений допустимы.
Естественно, первой идеей является полный перебор всех вариантов обхода.

Переборный метод наиболее прост по своей сути и тривиален в программировании. Для поиска оптимального решения (точки максимума целевой функции) требуется последовательно вычислить значения целевой функции во всех возможных точках, запоминая максимальное решение. Недостатком этого метода является большая вычислительная стоимость. В частности, в задаче коммивояжера потребуется просчитать длины более 1030 вариантов путей, что совершенно нереально. Однако, если перебор всех вариантов за разумное время возможен, то можно быть абсолютно уверенным в том, что найденное решение действительно оптимально.

Второй популярный способ основан на методе градиентного спуска. При этом вначале выбираются некоторые случайные значения параметров, а затем эти значения постепенно изменяют, добиваясь наибольшей скорости роста целевой функции. Достигнув локального максимума, такой алгоритм останавливается, поэтому для поиска глобального оптимума потребуются дополнительные усилия.

Градиентные методы работают очень быстро, но не гарантируют оптимальности найденного решения. Они идеальны для применения в так называемых унимодальных задачах, где целевая функция имеет единственный локальный максимум (он же - глобальный). Легко видеть, что задача коммивояжера унимодальной не является.

Типичная практическая задача, как правило, мультимодальна и многомерна, то есть содержит много параметров. Для таких задач не существует ни одного универсального метода, который позволял бы достаточно быстро найти абсолютно точное решение.

Однако, комбинируя переборный и градиентный методы, можно надеяться получить хотя бы приближенное решение, точность которого будет возрастать при увеличении времени расчета.

Генетический алгоритм представляет собой именно такой комбинированный метод. Механизмы скрещивания и мутации в каком-то смысле реализуют переборную часть метода, а отбор лучших решений - градиентный спуск. На рисунке показано, что такая комбинация позволяет обеспечить устойчиво хорошую эффективность генетического поиска для любых типов задач.

Итак, если на некотором множестве задана сложная функция от нескольких переменных, то генетический алгоритм - это программа, которая за разумное время находит точку, где значение функции достаточно близко к максимально возможному. Выбирая приемлемое время расчета, мы получим одно из лучших решений, которые вообще возможно получить за это время.

§9. Применение генетических алгоритмов

Определим теперь понятия, соответствующие мутации и кроссинговеру в генетическом алгоритме.

Мутация — это преобразование хромосомы, случайно изменяющее одну или несколько ее позиций (генов). Наиболее распространенный вид мутаций — случайное изменение только одного из генов хромосомы.

Кроссинговер (в литературе по генетическим алгоритмам также употребляется название кроссовер или скрещивание) — это операция, при которой из двух хромосом порождается одна или несколько новых хромосом. В простейшем случае кроссинговер в генетическом алгоритме реализуется так же, как и в биологии (см. рис. 1). При этом хромосомы разрезаются в случайной точке и обмениваются частями между собой. Например, если хромосомы (1, 2,
3, 4, 5) и (0, 0, 0, 0, 0) разрезать между третьим и четвертым генами и обменять их части, то получатся потомки (1, 2, 3, 0, 0) и (0, 0, 0, 4, 5).

Блок-схема генетического алгоритма изображена на рис. 1. Вначале генерируется начальная популяция особей (индивидуумов), т.е. некоторый набор решений задачи. Как правило, это делается случайным образом. Затем мы должны смоделировать размножение внутри этой популяции. Для этого случайно отбираются несколько пар индивидуумов, производится скрещивание между хромосомами в каждой паре, а полученные новые хромосомы помещаются в популяцию нового поколения. В генетическом алгоритме сохраняется основной принцип естественного отбора — чем приспособленнее индивидуум (чем больше соответствующее ему значение целевой функции), тем с большей вероятностью он будет участвовать в скрещивании. Теперь моделируются мутации — в нескольких случайно выбранных особях нового поколения изменяются некоторые гены. Затем старая популяция частично или полностью уничтожается и мы переходим к рассмотрению следующего поколения. Популяция следующего поколения в большинстве реализаций генетических алгоритмов содержит столько же особей, сколько начальная, но в силу отбора приспособленность в ней в среднем выше. Теперь описанные процессы отбора, скрещивания и мутации повторяются уже для этой популяции и т. д.

В каждом следующем поколении мы будем наблюдать возникновение совершенно новых решений нашей задачи. Среди них будут как плохие, так и хорошие, но благодаря отбору число хороших решений будет возрастать.
Заметим, что в природе не бывает абсолютных гарантий, и даже самый приспособленный тигр может погибнуть от ружейного выстрела, не оставив потомства. Имитируя эволюцию на компьютере, мы можем избегать подобных нежелательных событий и всегда сохранять жизнь лучшему из индивидуумов текущего поколения — такая методика называется “стратегией элитизма”.

Чтобы использовать генетический алгоритм для решения практических задач, необходимо рассматривать более сложные варианты введенных выше понятий. Поясним это на примере задачи коммивояжера для 20 городов.

В качестве индивидуумов будем рассматривать маршруты обхода.
Информацию о маршруте можно записать в виде одной хромосомы — вектора длины
20, где в первой позиции стоит номер первого города на пути следования, затем — номер второго города и т. д. Первое затруднение возникает, когда мы пытаемся определить мутации для таких хромосом — стандартная операция, изменяющая только одну позицию вектора, недопустима, так как приводит к некорректному маршруту. Но можно определить мутацию как перестановку значений двух случайно выбранных генов. При таком преобразовании путь следования меняется только в двух городах.

Найденный маршрут, вероятно, не является самым оптимальным, но близок к нему по длине — как правило, генетические алгоритмы “ошибаются” не более чем на 5—10%. Этот недостаток компенсируется для комбинаторных задач относительно высокой скоростью работы — в нашем примере ответ был получен за 25 секунд. На практике генетические алгоритмы нередко используют совместно с другими методами, которые позволяют повысить их точность.

Эксперименты показали, что погрешность разработанного алгоритма не зависит от погрешности начального решения и составляет (максимальные значения) для ориентированных графов - 5%, для неориентированных 1%. Причем в 90% случаев алгоритм находил точное решение. Эксперименты проводились для графов с количеством вершин, меньшим 75 (где было возможным нахождение точного решения).

Список литературы


В.М. Бондарев, В.И. Рублинецкий, Е.Г. Качко. Основы программирования, 1998 г.
Н. Кристофидес. Теория графов: алгоритмический подход, Мир, 1978 г.
Ф.А. Новиков. Дискретная математика для программистов, Питер, 2001 г.
В.А. Носов. Комбинаторика и теория графов, МГТУ, 1999 г.
О. Оре. Теория графов, Наука, 1982 г. www.codenet.ru www.algolist.ru
-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]


Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.