|
|
Пример 2.2. Спроектировать ФНЧ-1 Рис.2.3 при следующих исходных данных:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника;
f2=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H1=H(f2)=0,707 – значение передаточной функции на верхней границе полосы пропускания;
h1=h(f2)=0,5 - значение передаточной функции по мощности на верхней границе полосы пропускания.
Рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
Результаты расчетов представлены на Рис.2.6 и Рис.2.7.
Из этих рисунков видно, что на верхней границе полосы пропускания f2=1000 Гц передаточная функция по мощности h(f2)=0,5, что соответствует требованиям технического задания.
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями F(f2)=42,071 град. Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет П=0,545.
Потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2 составляет С=30,17 мкФ.
2.5 Г-образный фильтр нижних частот (ФНЧ-2)
2.5.1 Частотные характеристики ФНЧ-2
В целях повышения коэффициента прямоугольности передаточной функции по мощности применяют фильтры нижних частот второго порядка, в состав которых входят два реактивных элемента: L и C.
Рассмотрим Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8 (см.также Рис.1.6).
L
Z1
Z2 C R
Рис.2.8. Электрическая схема Г-образного ФНЧ
Работа Г-образного ФНЧ:
при
при
На малых частотах индуктивное сопротивление мало, а емкостное сопротивление велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым ослаблением, не ответвляясь в емкость.
На больших частотах индуктивное сопротивление велико, а емкостное сопротивление мало. Ток, прошедший через индуктивность, закорачивается емкостью. Поэтому выходное напряжение мало.
Определим АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ, рассматривая его как Г-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Комплексные сопротивления плеч фильтра:
Коэффициенты формы А:
Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6) принимает вид:
|
Обозначим, как и ранее, действительную и мнимую части (2.16):
- действительная часть;
- мнимая часть.
Уравнение (2.16) запишем в виде:
|
Фазочастотная характеристика ФНЧ-2 определяется по формуле:
|
Комплексная передаточная функция по напряжению определяется из (2.17):
|
Модули передаточных функций по напряжению и мощности принимают вид:
|
Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов, по формулам (2.18), (2.20) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ.
С целью общего анализа частотных характеристик Г-образного ФНЧ представим передаточные функции (2.20) в параметрической форме, для чего обозначим:
|
После подстановки обозначений в (2.20) получим передаточные функции в параметрической форме:
|
Пример 2.3. Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции по мощности в параметрической форме для трех значений коэффициента нагрузки:
Определить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при
Расчет передаточной функции по мощности, выполненный по формуле (2.21) приведен на Рис.2.9.
Из Рис.2.9 следует, что при Q1=0,8 передаточная функция достигает своего максимума, равного 1,86, а затем плавно уменьшается, Этот всплеск передаточной функции может быть желательным или нежелательным в зависимости от конкретного назначения фильтра.
При Q2=1 всплеск передаточной функции значительно меньше и при он вовсе отсутствует.
Таким образом, характер изменения передаточной функции Г-образного ФНЧ целиком определяется значением коэффициента нагрузки Q, который, в свою очередь, зависит от комбинации значений RLC-элементов. Следовательно, путем соответствующего выбора LC-элементов можно изменить форму кривой передаточной функции.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при составляет П=0,807, что значительно больше, чем у ФНЧ-1.
2.5.2 Синтез Г-образного фильтра нижних частот
Техническое задание на проектирование Г-образного ФНЧ формулируется следующим образом.
1. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8.
2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от нуля до бесконечности.
3. Передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания (0…f2), должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков, превышающих единицу, и на верхней границе полосы пропускания должны принимать значения .
4. Сопротивление нагрузки чисто активное, равное R.
5. Рассчитать потребные значения индуктивности и емкости для построения фильтра. Построить графики АЧХ и ФЧХ, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
Порядок проведения расчетов состоит в следующем.
Из анализа ТЗ и формул передаточных функций (2.20) следует, что при заданных значениях необходимо найти два неизвестных параметра L и C, при которых фильтр будет удовлетворять требованиям технического задания.
Другими словами, необходимо найти такие значения L, С-элементов, при которых передаточная функция H(w) проходит через точку на плоскости с координатами w2, H1.
Математически это означает, что для определения двух неизвестных необходимо составить два независимых уравнения и решить эту систему относительно L и С.
Для составления первого уравнения необходимо из семейства кривых Рис.2.9 выбрать кривую, которая соответствует требованиям ТЗ, и по ней при заданном значении найти значение приведенной частоты n2.
В данном случае требованиям ТЗ удовлетворяет передаточная функция , построенная при .
Точное значение приведенной частоты определяется путем решения уравнения:
|
Результаты расчетов по формуле (2.22) при приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1.
|
H1 |
0.707 |
0.6 |
0.5 |
0.4 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
|
n2 |
1.0 |
1.55 |
1.316 |
1.513 |
1.783 |
2.213 |
3.154 |
Найденная приведенная частота n2 связана с верхней границей полосы пропускания и неизвестной резонансной частотой w0 следующим соотношением:
Отсюда получаем первое независимое уравнение для определения неизвестных LC-элементов
|
Выбранная кривая передаточной функции построена при .
Следовательно, второе независимое уравнение можно записать в виде:
|
Совместное решение (2.23) и (2.24) дает формулы для определения неизвестных LC-элементов:
|
Теперь по формулам (2.18), (2.20), и (2.25) можно рассчитать потребные значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ, а также рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ этого спроектированного фильтра.
Пример 2.4. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8:
Исходные данные:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
f2=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H(f2)=0,707 – значение передаточной функции по напряжению на верхней границе полосы пропускания.
Требование к фильтру: передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков и провалов.
Решение. Из Рис.2.9. выбираем кривую , которая удовлетворяет требованиям технического задания.
Из таблицы 2.1 по заданному значению Н1=Н(f2)=0,707 выбираем соответствующее значение приведенной частоты n2=1.
По формулам (2.25) определяем потребные значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ.
По формулам (2.18) и (2.20) рассчитываем АЧХ и ФЧХ спроектированного фильтра и оцениваем коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности этого фильтра.
Результаты расчетов приведены на Рис.2.10 и Рис.2.10а.
Из этих результатов главными являются найденные значения индуктивности и емкости: L=23 мГн и С=1,125 мкФ, при которых передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают заданные значения:
Следовательно, спроектированный Г-образный ФНЧ удовлетворяет требованиям технического задания.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Г-образного ФНЧ составляет П=0,807.
Отметим, что изложенный порядок проектирования носит общий характер и может применяться в среде Mathcad при любой комбинации исходных данных: H1, f2, R, Q.
2.6 Т-образный фильтр нижних частот
2.6.1 Частотные характеристики Т-образного фильтра нижних частот
В целях дальнейшего повышения коэффициента прямоугольности применяют фильтры третьего порядка, к числу которых относится Т-образный ФНЧ, изображенный на Рис.2.11.
L1 L2
Z1 Z3
Z2 C R
Рис.2.11. Электрическая схема Т-образного ФНЧ
Работа Т-образного ФНЧ
На малых частотах индуктивные сопротивления Z1, Z3 малы, а емкостное сопротивление Z2 велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым ослаблением.
На больших частотах на пути тока в нагрузку стоят два больших сопротивления индуктивностей L1 и L2, а ток, прошедший через L1 закорачивается малым емкостным сопротивлением.
Определим АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, рассматривая его как Т-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Комплексные сопротивления плеч фильтра:
Коэффициенты формы А:
где - коэффициент асимметрии фильтра, который может быть выбран в пределах
Уравнение связи входного и выходного напряжений:
|
Фазо-частотная характеристика фильтра определяется по формулам (1.8), а передаточная функция по напряжению рассчитывается по формуле (1.10).
Таким образом, при известных значениях RLC - элементов можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, используя формулы (1.8), (1.10) и (2.26).
Представим, как и ранее для Г-образного ФНЧ, передаточные функции по напряжению и мощности в параметрической форме:
|
Пример 2.5. Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции по мощности в параметрической форме (2.27) для трех значений коэффициента нагрузки:
Результаты расчетов представлены на Рис.2.12.
Из Рис.2.12 следует, что для Т-образного несимметричного ФНЧ оптимальным значением коэффициента нагрузки следует считать Q2=1,0 при коэффициенте асимметрии , который был определен в результате предварительных исследований.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Т-образного несимметричного ФНЧ при Q=1 и равен П=0,905.
2.6.2. Синтез Т-образного фильтра нижних частот
Поставим задачу спроектировать Т-образный несимметричный ФНЧ по ТЗ на проектирование Г-образного ФНЧ.
Из Рис.2.11 видно, что в состав Т-образного фильтра входят три неизвестных реактивных элемента: L1, L2 и С, которые необходимо определить.
Следовательно, для определения трех неизвестных необходимо составить три независимых уравнения.
Порядок определения L1 и С аналогичен порядку определения этих элементов для Г-образного ФНЧ.
Из семейства кривых Рис.2.12 выбираем кривую, которая удовлетворяет требованиям ТЗ. В данном случае выбираем кривую которая построена при Q2=1.
После этого определяем значение приведенной частоты n2, на которой Н(n2)=Н1. Для этого решаем следующее уравнение:
в результате получим таблицу 2.2.
Таблица 2.2.
|
Н1 |
0,707 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
|
n2 |
1,5036 |
1,615 |
1,730 |
1,867 |
2,049 |
2,327 |
2,890 |
Далее, как и для Г-образного ФНЧ, можем записать два уравнения для определения L1 и С:
Совместное решение этих уравнений дает формулы для определения L1 и С:
|
Значение второй индуктивности L2 определяется из условия выбранного коэффициента асимметрии
|
Пример 2.6. Спроектировать Т-образный ФНЧ, схема которого показана на Рис.2.11.
Исходные данные:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
f2=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H1=H(f2)=0,707 – значение передаточной функции по напряжению на верхней границе полосы пропускания.
Передаточные функции H(f) и h(f) в полосе пропускания не должны иметь всплесков и провалов.
Решение. Из таблицы 2.2 по заданному значению H1=H(f2)=0,707 при Q=1 выбираем значение приведенной частоты n2=1,5036.
Потребные значения индуктивностей и емкости определяем по (2.28), (2.29).
Расчет передаточной функции по мощности проведем по формуле (1.10), ФЧХ – по формуле (1.8) с учетом (2.26).
Результаты расчетов представлены на Рис.2.14, Рис.2.14а.
Из этого рисунка видно, что потребные значения индуктивностей и емкости для построения несимметричного Т-образного ФНЧ составляют: L1=24мГн, L2=11 мГн, C=2,389 мкФ.
Передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают значения: Н(f2)=0,707, h(f2)=0,5, что и требовалось по техническому заданию.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет П=0,905.
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.