|
|
Поскольку коэффициенты формы А, в общем случае, являются комплексными числами, зависящими от частоты, постольку выражение в скобках (1.6) можно записать в алгебраической форме:
где а(ω) – действительная часть;
b(ω) – мнимая часть.
После этого связь входного и выходного напряжений (1.6) можно выразить следующим образом:
|
Для определения ФЧХ 4х-П за начало отсчета сдвига фаз между входным и выходным напряжениями примем вектор выходного напряжения , который направим по оси абсцисс, т.е. горизонтально.
При таком выборе начала отсчета положение вектора на комплексной плоскости целиком определяется величинами а(ω)и b(ω) и их знаками:
|
Расчет ФЧХ по (1.8) дает сдвиг фаз, выраженный в радианах. Ключ для определения этого угла показан на Рис.1.5:
j
φ
0 +
-j
Рис.1.5. Ключ для определения сдвига фаз между входным и выходным напряжениями
На основании (1.7) комплексная передаточная функция по напряжению произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы А и нагруженного активным сопротивлением R, принимает вид:
|
Модуль передаточной функции 4х-П, т.е. его АЧХ:
|
Таким образом, по формулам (1.8) и (1.10) можно рассчитать АЧХ и ФЧХ любого 4х-П при известных коэффициентах формы А и нагрузке R.
Пример 1.1. Задана электрическая схема Г-образного 4х-П (Рис.1.6) и его параметры R, L, C. Данный 4х-П подключен к источнику синусоидального напряжения. Необходимо найти формулы для расчета АЧХ и ФЧХ этого 4х-П.
L
1 2
Z1
Z2 C R
1’ 2’
Рис.1.6. Электрическая схема г-образного 4х-П, нагруженного активным сопротивлением R
Решение. Комплексные сопротивления плеч 4х-П:
Коэффициенты формы А (1.3):
Комплексная передаточная функция:
Модуль передаточной функции:
|
где
Фазо-частотная характеристика
|
Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов по формулам (1.11), (1.12) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного 4х-П, изображенного на Рис.1.6.
1.5 Каскадное соединение четырехполюсников
Рассмотрим так называемое каскадное соединение 4х-П (Рис.1.7), при котором входные зажимы каждого последующего 4х-П присоединяются к выходным зажимам предыдущего.
Рис.1.7. Каскадное соединение 4х-П
Эти два 4х-П, взятые вместе, можно рассматривать как один эквивалентный.
Определим параметры эквивалентного 4х-П через известные параметры первого и второго четырехполюсников.
Пусть заданы матрицы коэффициентов формы А двух каскадно соединенных 4х-П.
Из теории известно, что матрица коэффициентов формы А двух каскадно соединенных 4х-П равна произведению матриц отдельных 4х-П:
Это правило, распространяется на случай каскадного соединения любого числа 4х-П. При этом матрицы, подлежащие перемножению, записываются в порядке следования 4х-П, т.к. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.
1.6 Одноэлементые четырехполюсники
Простейшими 4х-П являются одноэлементные 4х-П, состоящие из последовательного (Рис.1.8а) и параллельного (Рис.1.8б) двухполюсника.
Z1 Z2
а) б)
Рис.1.8. Одноэлементный 4х-П
Матрицы коэффициентов формы А одноэлементных 4х-П:
С помощью этих матриц М1 и М2 можно получить коэффициенты формы А любого 4х-П, построенного по лестничной схеме. Для этого необходимо перемножить матрицы М1 и М2 столько раз, сколько раз встречаются параллельный и последовательный 2х-П.
Например, коэффициенты формы А Г-образного 4х-П получаются после перемножения матриц М1 и М2 (см.1.3):
Глава 2. Электрические фильтры нижних частот
2.1 Основные определения и классификация электрических фильтров
Электрическим фильтром называется устройство, при помощи которого электрические колебания разных частот отделяются друг от друга. Электрический фильтр представляет собой пассивный 4х-П, пропускающий сигналы в некоторой полосе частот с малым затуханием, а за пределами этой полосы сигналы проходят в нагрузку с большим затуханием.
Полоса частот, в пределах которой передаточная функция по напряжению (1.10) принимает не менее заданного значения
называется полосой пропускания. Остальная область частот называется полосой задерживания. Частоты, разделяющие эти полосы, называются граничными.
В зависимости от пропускаемого спектра частот фильтры разделяются на:
l фильтры нижних частот (ФНЧ);
l фильтры верхних частот (ФВЧ);
l полосовые фильтры (ПФ);
l заграждающие фильтры (ЗФ).
В зависимости от электрической схемы фильтры разделяются на Г-образные, Т-образные, П-образные и другие.
В зависимости от числа реактивных элементов, входящих в состав фильтра, различают фильтры первого порядка, второго порядка и т.д.
По составу элементов фильтры делятся на активные и пассивные. Активные фильтры содержат источники электрической энергии, а пассивные их не содержат.
По способу обработки сигналов фильтры делятся на аналоговые и цифровые.
В данном курсе рассматриваются только пассивные электрические фильтры, построенные на идеальных линейных R, L, C-элементах.
2.2 Общий принцип действия линейных пассивных электрических фильтров
Рассмотрим электрический фильтр, частотные характеристики которого известны и описываются формулами (1.8)и (1.10).
Пусть на вход данного фильтра поступает сигнал в виде суммы различных частот
Определим структуру сигнала на выходе фильтра.
В силу линейности фильтра, сигнал на выходе будет также представлять сумму синусоидальных напряжений. При этом изменятся амплитуды и начальные фазы составляющих, а частоты составляющих на выходе фильтра одинаковы:
Амплитуды составляющих на выходе определяются передаточной функцией фильтра (1.10):
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями определяется фазо-частотной характеристикой фильтра (1.8):
В дальнейшем будем полагать, что на вход фильтра подается синусоидальное напряжение, частота которого изменяется от нуля до бесконечности.
2.3 Общая характеристика фильтров нижних частот
Фильтры нижних частот (ФНЧ) предназначены для пропускания в нагрузку сигналов малой частоты и подавления сигналов большой частоты.
Полоса пропускания ФНЧ определяется его граничными частотами:
f1=0 – нижняя граница полосы пропускания;
f2 - верхняя граница полосы пропускания, которая определяется назначением данного конкретного фильтра.
В теории фильтров рассматриваются идеальные и реальные фильтры. Идеальным ФНЧ называется фильтр, передаточная функция которого (1.10) в полосе пропускания равна единице, а за пределами полосы пропускания она равна нулю:
Передаточная функция реального фильтра в полосе пропускания не равна единице, а в полосе задерживания - не равна нулю.
Передаточные функции по напряжению идеального и реального фильтров нижних частот показаны на Рис.2.1.
H(f)
Передаточная функция идеального ФНЧ
Передаточная функция реального ФНЧ
H1
Полоса
пропускания Полоса задерживания
H22
f2 f22 f
Рис.2.1. Передаточные функции идеального и реального фильтров нижних частот
Количественную оценку избирательности фильтра целесообразно производить с помощью коэффициента прямоугольности передаточной функции по напряжению или мощности.
Для расчета коэффициента прямоугольности передаточной функции фильтра введем в рассмотрение передаточную функцию по мощности, которую определим следующим образом.
Максимально возможная мощность, которая может быть выделена в нагрузке в случае идеального фильтра, определяется по формуле:
|
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.