Дело в том, что в соответствии с давно сложившейся традицией нумерация коэффициентов полинома начинается с нуля при переменной в старшей степени, а затем с понижением степени переменной индекс коэффициента при нем увеличивается. Другими словами, используются выражение (9) для характеристического уравнения системы, описываемой дифференциальным уравнением (8).

Нам кажется, более удобным нумеровать коэффициенты полиномов по убывающим степеням, как это показано в выражениях (7), (5). Конечно, это вопрос вкуса, но только до тех пор, пока не возникает необходимости воспользоваться известными результатами исследования линейного дифференциального уравнения, выраженных через коэффициенты дифференциального или характеристического уравнений. Как правило, они записаны через коэффициенты, индексы которых возрастают с убыванием степени переменной в выражении полинома или порядка производной в выражении дифференциального уравнения. В первую очередь это относится к алгебраическим критериям устойчивости и интегральным показателям качества, о которых речь пойдет ниже.

Конечно, можно переписать известные результаты в новых обозначениях, но это удобство не будет распространяться за пределы одного руководства. Вместо этого, будем пользоваться убывающей индексацией, т.е. обозначениями вида (7), (5), а в тех немногочисленных случаях, когда надо воспользоваться готовыми результатами, в которых использована возрастающая индексация, т.е. обозначения вида (8), (9), это будет специально отмечено.

Строго говоря, общее решение уравнения (5) имеет указанный вид только в случае различных корней характеристического уравнения, но для качественных рассуждений случаи совпадающих (кратных) корней можно и не рассматривать. Действительно, малые изменения параметров характеристического уравнения должны вызвать малое изменение значений корней характеристического уравнения и малые изменения в решении однородного уравнения. При обсуждении качественной картины собственных колебаний, таким образом, случаи кратных корней можно исключить: они ничего не добавят в качественную характеристику зависимости собственных колебаний расположения корней на плоскости комплексного переменного. Из сказанного не следует, что случай кратных корней не представляет никакого интереса. Особенности такого расположения корней оказывают существенное влияние на вычислительную сторону дела, когда надо определить не общее решение, а собственные колебания зависящие от начальных условий. Однако в отличие от прежних времен, когда все вычисления должны быть проделаны исследователем вручную и потому вычислительная сторона дела была столь же важной, что и качественная, ныне все вычисления, связанные с исследованием линейных систем, можно выполнить с помощью широко распространенного программного обеспечения.

Впрочем, все сказанное о кратных корнях имеет отношение и к простым корням. Существуют вполне достаточно эффективные способы вычисления коэффициентов при определении конкретного выражения собственных колебаний, но мы опустим их, изложив самые простые, которых достаточно для демонстрационных примеров.

Выражение (6) является общим решением уравнения (5), но собственные колебания соответствующей системы описываются выражением (6) при конкретных значениях коэффициентов Ci. Они могут быть определены многими способами. Чаще всего эти постоянные определяются из начальных условий. Начальными условиями (для собственных колебаний) являются значения процесса x(t) его производных в нулевой момент времени. Дифференцируя выражение (6) в нулевой момент времени можно получить систему уравнений для определения постоянных Ci.

                                    (10)

Данная система уравнений имеет специальный вид, который позволяет получить ее решение сравнительно простыми методами. Однако при первом знакомстве с обсуждаемой проблемой можно иметь в виду (применять) общие методы решения систем линейных уравнений.

Частное решение уравнения (3) при определенной правой части, а точнее при определенном выражении внешнего воздействия y(t), можно интерпретировать как результат преобразования этого воздействия системой, описываемой уравнением (3).

Нахождение частного решения нередко следует следующей схеме. Предполагается, что при заданном внешнем воздействии y(t), частное решение x(t) или, что то же самое, выходная координата системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, имеет определенный с точностью до (значений) параметров вид. Подставляя в дифференциальное уравнение (определенное) значение внешнего воздействия и предполагаемого частного решения, получим уравнение относительно параметров. Если из полученного уравнения параметры могут быть определены, то частное решение или, что то же самое, реакция системы на данное внешнее воздействие определено.

Приступая к решению этого вопроса, мы имеем в ввиду не столько определение самого частного решения по терминологии теории дифференциальных уравнений и даже не определении выходного процесса по заданному входному. Хотя это достаточно важный для теории автоматического управления вопрос, основной целью настоящего раздела является введение центрального для классической теории понятия частотной характеристики и, далее, передаточной функции. Затем, с использованием этих понятий можно обсудить вопросы определения выходного процесса по заданному входному спектральными методами.

Рассмотрим частный случай гармонического внешнего воздействия. Известно, что суммой гармоник можно представить сигнал практически произвольной формы. По основному свойству линейных систем – принципу суперпозиции – зная реакцию системы на произвольное гармоническое воздействие, нетрудно определить реакцию на произвольное воздействие. Действительно, реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Самой простой составляющей (слагаемым) произвольного входного воздействия является гармоническое воздействие в виде синусоидального или косинусоидального. Это справедливо, если иметь в виду функции действительного аргумента. Однако сами гармонические функции раскладываются на еще более простые, на экспоненциальные. 

Итак, пусть на входе системы действует гармоническое воздействие

,                                     (11)

которое является самой простой составляющей (слагаемым) произвольного входного воздействия. Представим его в виде суммы двух экспонент

,

где

, ,                     (12)

и найдем реакцию на каждое слагаемое в отдельности.

Итак, пусть. Предположим, соответствующее решение имеет вид:

.                 (13)

Подставим  и из выражений (12) и (13) в уравнение (3). Получим

.

Отсюда

.                   (14)

Таким образом, предположение о возможности представления нахождения выходного процесса в виде (13) оправдалось. Более того, дополнительно определен неизвестный множитель , фигурирующий  в предполагаемом решении.

Если сравнить выражения входного и выходного процессов  и , представленные выражениями (12)
 и (13) в рассматриваемом частном случае, то можно убедиться, полученное выражение , действительно, можно рассматривать как множитель, на который надо умножить входное воздействие, чтобы получить выходное.

Этот комплексный коэффициент усиления называется частотной характеристикой системы.

Частотная характеристика системы может рассматриваться и как комплексная функция частоты. Как и всякая функция комплексного аргумента, она может быть представлена действительной и мнимой частями, модулем и аргументом:

,

где:

 - действительная частотная характеристика;

 - мнимая частотная характеристика;

 - амплитудная частотная характеристика;

 - фазовая частотная характеристика.

Пусть теперь . Эта функция отличается от ранее рассмотренной функции  только знаком частоты. Частотная характеристика является комплексным коэффициентом усиления для любой частоты, в том числе и отрицательной. Поэтому для определения соответствующего выходного воздействия  достаточно сменить знак частоты в выражении (13)

.                   (15)

Если входной процесс равен сумме этих воздействий (11), то выходной процесс равен сумме соответствующих выходных процессов (13) и (15).

Проделав ряд элементарных преобразований

      (16)

получим, что при гармоническом входном воздействии выходной процесс также гармонический, амплитуда которого в  раз больше амплитуды входного воздействия, а фаза больше фазы входного воздействия на .

Здесь использовано свойство четности амплитудной частотной характеристики, которое легко следует из выражений связи между различными ее составляющими

, ,

,                (17)

Не трудно убедиться, что соотношения между различными частотными характеристиками системы такие же, как и между различными составляющими комплексного числа.

Из всего сказанного следует, что если входной процесс представлен рядом Фурье, то для определения ряда Фурье выходного процесса достаточно изменить описанным выше образом амплитуды и фазы входного процесса.

Еще проще определяется преобразование Фурье  выходного процесса по преобразованию Фурье входного процесса . Как не трудно показать,

.                             (17)

Для этого только достаточно вспомнить формальное определение и содержательный смысл преобразования Фурье. С формальной точки зрения для любой абсолютно интегрируемой функции , т.е. функции для которой

,

существует прямое и обратное преобразования Фурье

, .

Последнее выражение и позволяет трактовать преобразование Фурье некоторой функции времени в виде суммы гармоник  с комплексными «амплитудами» . Преобразование каждой такой гармоники сводится к умножению ее «амплитуды» на комплексный коэффициент усиления , как показывает выражение (17).

Преобразование Фурье обладает одним существенным с теоретической точки зрения недостатком – его нельзя применить к функциям, которые не являются абсолютно интегрируемыми. Таких функций достаточно много, чтобы в полной мере ощутить неудобство данного ограничения. Например, функция – константа, сохраняющая постоянное ненулевое значение сколь угодно долго, не является абсолютно интегрируемой. Вместе с тем, такая функция простейшим образом описывает постоянное воздействие.

Этого недостатка лишено преобразование Лапласа, которое широко используется в классической теории управления. Оно является обобщением преобразования Фурье, на его основе дается определение центрального понятия классической теории управления, понятия передаточной функции. Последняя является обобщением только что введенного понятия частотной характеристики в той же мере, в какой преобразование Лапласа является обобщением преобразования Фурье.

Эти понятия настолько тесно связаны между собой, что иногда их не различают. Например, не смотря на то, что центральным понятием классической теории автоматического управления является, как у же отмечалось, понятие передаточной функции, методы этой теории называются частотными. На наш взгляд, это происходит потому, что использование именно преобразования Лапласа связано с вычислительной стороной дела, но как только дело доходит до физической интерпретации результатов, полученных с помощью передаточных функций, переходят к частотным характеристикам.

ЛИТЕРАТУРА

1.                 Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. - СПб.: Питер, 2005.

2.                 Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

3.                 Методы классической и современной теории автоматического управления в 3-х т. Т.1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

Страницы: 1, 2