4.1 Вероятности ошибок различения M известных сигналов

Под обнаружением сигнала в радиоэлектронике понимают анализ принятого колебания y(t), завершающийся вынесением решения о наличии или отсутствии в нем некоторой полезной составляющей, которую и называют сигналом. Различение М сигналов определяют как анализ принятого колебания y(t), заканчивающийся принятием решения о том, какой именно из М сигналов, принадлежащих указанному заранее множеству S{s0(t), s1(t), …, sM-1(t)} присутствует в y(t). Обнаружение сигнала есть частный случай различения двух сигналов, один из которых равен нулю на всем интервале наблюдения.

Пусть наблюдаемое колебание y(t) является реализацией случайного процесса, который имеет распределение Wy, т.е. n-мерную плотность вероятности (ПВ) W(y) [либо функционал ПВ W(y(t))], принадлежащее одному из М непересекающихся классов Wi (Wi∩Wk=Ø, i≠k, i, k=0, 1, …, M-1). Необходимо, пронаблюдав реализацию y(t), решить, какому из классов принадлежит Wy. Предположение о том, что WyWi, называют гипотезой Hi: WyWi. Решения, являющиеся результатом проверки гипотез, будем обозначать , где i{0, 1, …, M-1} - номер гипотезы, истинность которой декларируется принятым решением. Анализируемое колебание y(t) является результатом взаимодействия присутствующего в нем сигнала si(t) с мешающим случайным процессом (помехой, шумом) x(t): y(t)=F[si(t), x(t)]. От того, какой из М возможных сигналов присутствует в y(t), зависит ПВ ансамбля, которому принадлежит y(t), так что каждому si(t) соответствует некоторый класс Wi распределений ансамбля, представляемого y(t). Таким образом, гипотезы Hi трактуются как предположения о наличии i-го (и только i-го) сигнала в y(t). При этом решения , одно из которых служит итогом процедуры различения, есть утверждения о том, что в принятом колебании содержится именно i-й сигнал. Гипотезам Hi соответствуют классы Wi. Гипотезу Hi называют простой, если класс Wi содержит одно и только одно распределение. Любую другую гипотезу называют сложной. М сложных гипотез называют параметрическими, если соответствующие им классы отличаются друг от друга только значениями конечного числа параметров одного и того же распределения, описываемого известным законом. В противном случае гипотезы именуют параметрическими.

Рассмотрим различение М детерминированных ненулевых сигналов одинаковой энергии. При этом за основу будет принято правило максимального правдоподобия (МП)

оптимальное в том случае, когда критерием качества служит сумма условных вероятностей ошибок, либо полная вероятность ошибки при равных апостериорных вероятностях всех сигналов pi=1/M.

При произвольном М различитель, придерживающийся правила МП, считает присутствующим в y(t) сигнал, наименее удаленный от y(t) в смысле евклидова расстояния  или, что при одинаковых энергиях сигналов равносильно, имеющий с y(t) максимальную корреляцию . Если рассматривать сигналы  s0(t), s1(t), …, sM-1(t) как пучок векторов, расположенный в М-мерном пространстве, то для того чтобы по возможности уменьшить вероятность перепутывания i-го сигнала с k-м, следует максимально «раздвинуть» i-й и k-й векторы. Таким образом, оптимальный выбор М детерминированных сигналов сводится к поиску такой конфигурации пучка М векторов, в которой минимальное евклидово расстояние между парой векторов было бы максимальным: min dik=max (i≠k). Так как при равенстве энергий, т.е. длин векторов

,

где ρik - коэффициент корреляции i-го и k-го сигналов, Е - энергия сигнала, то требование максимума минимального расстояния тождественно условию минимума максимального коэффициента корреляции в множестве сигналов S{s0(t), s1(t), …, sM-1(t)}. Предельно достижимый минимум максимального коэффициента корреляции устанавливается довольно легко. Просуммировав ρik по всем i и k, получим

где неравенство следует из неотрицательности квадрата под интегралом. Кроме того, в сумме слева М слагаемых при i=k равны единице, а остальные М(М-1) не больше ρмакс=max ρik (i≠k). Поэтому М+М(М-1)ρмакс≥0 и ρмакс≥-1/(М-1).

Конфигурацию из М векторов, в которой косинус угла между любой парой векторов равен -1/(М-1), называют правильным симплексом. Если эти векторы взять в качестве М сигналов, то полученный детерминированный ансамбль при равновероятности всех si(t) обеспечит минимум полной вероятности ошибки Pош, что и решает вопрос об оптимальном выборе М сигналов. При М>>1 выполняется соотношение -1/(М-1)≈0, и поэтому при большом числе различаемых сигналов ортогональный ансамбль практически не проигрывает симплексному в значении Pош.

Последовательность вывода точного выражения для вероятности ошибки различения М сигналов с произвольными ρik такова. Плотность вероятности (ПВ) системы случайных величин z0, z1, …, zM-1 есть М-мерный нормальный закон, для задания которого достаточно знать средние всех zi и их корреляционную матрицу. Для средних при истинности гипотезы Hl имеем . Корреляционный же момент i-й и k-й корреляций равен N0Eρik/2. После того как М-мерная ПВ найдена, ее М-кратный интеграл по области zl≥zi, i=0, 1, …, M-1, позволяет получить вероятность правильного решения при условии истинности Hl. Сумма таких вероятностей, деленная на М (с учетом равновероятности сигналов), будет полной вероятностью правильного решения Pпр, связанной с Pош очевидным равенством Pош=1-Pпр. Получаемый таким образом М-кратный интеграл в ряде важных случаев удается свести к однократному. Так, для любых равнокоррелированных (равноудаленных) сигналов (ρik=ρ, i≠k)

В практических расчетах это выражение используют редко из-за необходимости численного интегрирования. Полезна его оценка сверху, для вывода которой будем считать, что истинна гипотеза Hl. При этом ошибка происходит всегда, когда истинно хотя бы одно из событий zi>zl, i≠l. Вероятность ее Pошl, равная вероятности объединения  событий zi>zl, i≠l, по теореме сложения вероятностей,

и в силу неравенства Буля не больше первой суммы справа. Так как каждое слагаемое этой суммы есть вероятность перепутывания двух сигналов [sl(t) с si(t)], то для равноудаленных сигналов

Здесь  - отношение сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с si(t) при гипотезе Hi,  - вероятность перепутывания двух сигналов. При равновероятных сигналах (pi=1/M) приходим к так называемой аддитивной границе полной вероятности ошибки

Использование этого выражения оправдывается, с одной стороны, асимптотическим сближением его правой части и Pош по мере роста требований к качеству различения (Pош→0), а с другой - тем, что, выбирая необходимую энергию сигналов (минимальное значение q) исходя из правой части выражения, разработчик всегда действует с известной перестраховкой, гарантируя удержание фактической вероятности ошибки ниже цифры, принятой им при расчете. [9]

4.2 Вероятности ошибок различения M флуктуирующих сигналов

Далеко не всегда наблюдатель подробно априори осведомлен о различаемых сигналах. Чаще ему заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и пр.) каждого из М возможных сигналов. Сами сигналы при этом уже не являются детерминированными, поскольку параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неизвестными параметрами.

Рассмотрим решение этой задачи на примере различения сигналов со случайными начальными фазами. Такие сигналы описываются моделью

si(t; φ)=Re{i(t)exp[j(2πf0t+φ)]},

где f0 - известная центральная частота; φ - случайная начальная фаза с априорной ПВ W0(φ); (t) =S(t)ejγ(t) - комплексная огибающая сигнала s(t), являющегося реализацией s(t; φ) при φ=0: s(t)=s(t; 0); S(t) и γ(t) - известные законы амплитудной и угловой модуляции. Применению правила МП должно предшествовать вычисление  функции (функционала) правдоподобия (ФП) W(y(t)|Hi), т.е. усреднение ФП W(y(t)|Hi, φ), построенной для детерминированных сигналов с фиксированной фазой φ по всем ее возможным значениям с учетом априорной ПВ W0(φ). При равномерной ПВ фазы W0(φ)=1/(2π), |φ|≤π, с учетом равенства энергий всех различаемых сигналов W(y(t)|Hi) представляет собой модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка:

где c - коэффициент, содержащий сомножители, не зависящие от i, а  - модуль корреляции комплексных огибающих принятого колебания y(t) и i-го сигнала. Монотонность функции I0(·) на положительной полуоси позволяет перейти к достаточной статистике Zi и записать правило МП в виде

Таким образом, оптимальный различитель М сигналов равной энергии со случайными начальными фазами должен вычислить все М величин Zi и, если максимальной из них является Zk, принять решение о присутствии в y(t) k-го сигнала. Это означает, что содержащимся в наблюдаемом колебании y(t) считается тот сигнал, комплексная огибающая которого имеет наибольшую по модулю корреляцию с комплексной огибающей y(t).

Точные формулы для вероятностей ошибок различения М произвольных сигналов достаточно громоздки даже при  М=2, однако в приложениях чаще других встречаются ансамбли сигналов, ортогональных в усиленном смысле. Последнее означает, что любые два несовпадающих сигнала si(t; φi), sk(t; φk) ортогональны при любых значениях начальных фаз:

∫si(t; φi)sk(t; φk)dt=0 при любых φi, φk и i≠k,

или, что эквивалентно, ортогональны детерминированные комплексные огибающие этих сигналов:

 .

Условие ортогональности в усиленном смысле жестче обычного требования ортогональности, фигурировавшего ранее в применении к детерминированным сигналам. Так, два отрезка косинусоиды, сдвинутые на угол ±π/2, являясь ортогональными в обычном смысле, не ортогональны при изменении сдвига фаз, т.е. в усиленном смысле. В то же время сигналы, не перекрывающиеся по времени или по спектру, ортогональны и в усиленном смысле.

Если обратиться сначала к различению двух сигналов, нетрудно понять, что противоположная пара, минимизирующая Pош в классе детерминированных сигналов, в задачах, где начальные фазы сигналов случайны, неприемлема. Действительно, единственным признаком, по которому различаются противоположные сигналы, является знак, т.е. присутствие или отсутствие в начальной фазе слагаемого π. Однако, когда перед поступлением на различитель каждый из сигналов приобретает случайный фазовый сдвиг, попытки использовать начальную фазу, в качестве характерного признака сигнала, бессмысленны, и в различителе от неинформативной величины φ приходится избавляться. Таким образом, можно прийти к выводу, что в классе М≥2 сигналов со случайными фазами симплексные ансамбли оптимальными свойствами не обладают. Оптимальными же оказываются именно ансамбли сигналов, ортогональных в усиленном смысле: каждый из таких сигналов вызывает отклик на выходе только одного из фильтров приемной схемы, и поэтому перепутывание i-го сигнала с k-м произойдет лишь в том случае, когда огибающая шума на выходе k-го согласованного фильтра (СФ) будет иметь значение, превосходящее значение огибающей суммы сигнала с шумом на выходе i-го СФ. Нарушение условия ортогональности в усиленном смысле  приведет к появлению реакции на i-й сигнал на выходе не только i-го, но и других СФ, например k-го, в результате чего выброс огибающей на выходе k-го СФ, больший значения Zi, станет более вероятным.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9