Уявлення про причини нестійкості допомагає цілеспрямовано впливати на їх. Крім того, наявна відсутність перелічених факторів може бути основою для відмови від аналізу стійкості.
3. Елементи теорії лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами
Вище було показано, що поведінка малих відхилень від періодичного режиму визначається диференційними рівняннями з періодичними коефіцієнтами, які називаються рівняннями першого приближення. Стосовно до періодичного режиму за допомогою (4) отримаємо
. (6)
Тут, на відміну від рівняння (5), і - періодично змінювані провідність і ємність. Період зміни цих елементів співпадає з періодом усталеного режиму в шуканій нелінійній схемі, позначимо його - період модуляції параметрів.
Рівнянню (6) відповідає еквівалентна схема для малих збурень (лініаризована схема). Вона виходить з шуканої усуванням зовнішнього джерела струму та заміною нелінійних елементів на елементи з періодично змінюваними параметрами.
Періодичний закон, за яким модулюються параметри, описується або функцією часу, або спектральними методами рядів Фур’є. Обидві форми визначаються періодичним режимом. Якщо який-небудь параметр нелінійної схеми, або зовнішнього впливу змінюється, то характеристики періодичного режиму теж змінюються, а це робить в (6) зміну функцій, модулюючих параметри.
Аналіз локальної стійкості періодичного режиму проводиться на основі двох теорем. Перша доведена А.М. Ляпуновим і відноситься до неавтономної схеми. Ствердження другої, доведено А.А. Андроновим і А.А. Виттом. Вона визначає стійкість автоколивань.
Теорема Ляпунова. Якщо всі характеристичні корені рівняння першого зближення за модулем менше одиниці, то періодичний режим в нелінійній неавтономній схемі асимптотично стійкий; якщо є хоч один характеристичний корінь, за модулем більший одиниці, то періодичний режим нестійкий.
Теорема Андронова-Витта. Якщо серед характеристичних коренів рівняння першого зближення автономної схеми є хоч один звичайний, за модулем рівним одиниці, то періодичний процес стійкий за Ляпуновим (асимптотичний орбітально стійкий); якщо хоч один характеристичний корінь, за модулем більший одиниці, то періодичний процес нестійкий.
Роз’яснимо асимптотичну орбітальну стійкість періодичного режиму. Будемо уявляти періодичний режим в нелінійний схемі рухом зображуючої точки по замкнутій кривій. Під дією флуктуацій виникає збурений рух, який визначається переміщенням другої зображаючої точки. Очевидно, що після дії флуктуацій обидві зображені точки будуть знаходитись неподалік одна від одної. Припустимо, періодичний процес стійкий та траєкторії збуреного та незбуреного руху протягом певного часу з’єднуються. В цьому випадку для зображаючих точок можливі два варіанти: обидві точки при з’єднанні траєкторій зливаються або з’єднання траєкторій не супроводжується збігом обох точок. Перша ситуація характеризує асимптотично стійкий періодичний процес, друга – асимптотичний орбітально стійкий (або стійкий за Ляпуновим).
Щоб зрозуміти, що таке характеристичні корені лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами, розглянемо основні положення теорії таких рівнянь.
Для спрощення припустимо, що порядок рівняння (6) дорівнює трьом. Тоді його можна привести до виду
,
де точки означають диференціювання в часі, коефіцієнти - періодичні функції з періодом , .
Усяке конкретне рішення записаного рівняння відповідає конкретним початковим умовам, які можна задати вектором . Якщо взяти три лінійно незалежних початкових вектора, то вони визначають три лінійно незалежних рішення. Прийнявши останнє за стовпці, сформуємо фундаментальну матрицю рішень. За допомогою цієї матриці можна виразити усяке рішення (6), відповідаючє довільним початковим умовам.
Серед фундаментальних матриць відокремимо таку, котра в початковий момент часа виявляється одиничною. Іншими словами, розглянемо фундаментальну матрицю , складену з рішень, для котрих початкові умови складають стовпці одиничної матриці. Якщо в цій фундаментальній матриці покласти , то отримаємо характеристичну матрицю . Її власні числа і є характеристичні корені рівняння (6). Отже, характеристичний поліном при можна записати у вигляді
де - одинична матриця.
Кожному простому одиничному кореню відповідає рішення , маюче властивість
. (7)
Вказана властивість породила ще одну назву характеристичних корнів – мультіплікатори (помножувачи). Послідовне використання цієї властивості відносно рішення дозволяє записати
.
Тобто, при рішення зменшується, а при зворотній нерівності зростає. Тепер стає зрозумілим зміст теорем про стійкість періодичного режиму.
Рішення, для якого вірно (7), можна переписати в такій формі:
, (8)
де - характеристичний показник,
- обмежена періодична функція.
Теореми Ляпунова та Андронова-Витта можна сформулювати інакше, вводячи характеристичні показники замість характеристичних коренів. Тепер стійкість має місце при .
За допомогою (6) можна отримати рівняння для характеристичних показників. Попередньо (6) треба записати у вигляді
(9)
В (9) позначено: ; , - середнє значення функцій , за період модуляції; , - періодичні функції з нульовим середнім.
Щоб знайти потрібне рівняння, підставимо в (9)
, ,
Нагадаємо, в рядах Фур’є для і члени при дорівнюють нулю.
Після елементарних перетворювань маємо
Покладемо . Тоді
Складена лінійна комбінація лінійно незалежних функцій може дорівнювати нулю тільки при перетворенні в нуль кожного співмножника, взятого в фігурні дужки:
, (10)
Отримали для спектральних складових напруги нескінечнну систему алгебраїчних рівнянь з нульовою правою частиною. Щоб рішення системи не було нульовим, треба вимагати рівності нулю її головного визначника . Цей нескінченний визначник зветься визначником Хілла. Він залежить від , що і дає шукане рівняння: .
Нехай - елемент визначника, належний до k-го рядка та m-го стовпця. Із (10) можна отримати
, (11)
За допомогою (11) знайдемо, що елементи головної діагоналі (k=m) дорівнюють одиниці.
Використовуючи (11), можна встановити наступну властивість: заміна на не змінює значення визначника
Це виникає тому, що змінивши нумерацію рядків після вказаного підставлення, отримаємо той самий визначник.
З цієї властивості витікає: якщо - корінь визначника, то коренями будуть . Отже, визначник має нескінченне число коренів. Встановлено, що кожному комплексному кореню відповідає комплексно-спряжений.
Нескінченний визначник Хіла вдалося звести до виразу, який для (9) має вигляд:
, (12)
де - корені знаменика z(p) в (9),
n – порядок рівняння (9),
- безкінечні чисельні визначники, не вміщаючи , які знаходяться із наступного рівняння:
. (13)
Значення чисельних визначників можна розраховувати із наперед заданою точністю. Доведено, що в сумі вони дорівнюють нулю.
Наприкінці визначимо суть полінома, вхідного до знаменника опору в рівнянні (9). Із виразу
витікає, що цей – опір між точками вмиканняння елементів з періодично змінними параметрами, в який увійшли середні значення змінної провідності та ємності. Знайти цей опор можна, підімкнувши до відповідних точок джерело струму , визначивши викликану ним напругу v та використав рівність . Звідки визначимо, що - характеристичний поліном схеми для малих збурень, в якій . Цю схему назвемо усередненою, оскільки вона крім лінійних елементів вміщає середнє значення періодично змінних провідностей та ємностей.
4. Зв’язок розрахунку періодичного режиму із аналізом стійкості
Аналіз стійкості періодичного режиму нелінійної схемі повинен бути пов’язано з методом, за яким цей режим визначається. Інакше можна отримати результати, що не мають ніякого фізичного смислу. Для приклада звернемо увагу на частотну характеристику контуру із нелінійною ємністю. Дослідження стійкості, що виконане в відриві від методу розрахунку періодичного режиму, може привести до того, що точки із вертикальними дотичними не будуть визначати межі стійкості.
Так, як же повинні бути зв’язані ці дві задачі – розрахунок періодичного режиму та аналіз його стійкості? Щоб зрозуміти цей зв’язок скористаємось спектральним уявленням.
Припустимо, періодичний режим розраховується часовим методом. Тоді, на спектральний склад усталеного процесу обмеження не накладаються. Тому можна казати, що враховано багато гармонік (можливо нескінченна кількість). Цю обставину і треба мати на увазі при обранні методу дослідження стійкості: при аналізі повинно враховуватися багато гармонік. Очевидно підходять обидва розібрані вище методи, які опираються на характеристичну матрицю і нескінченний визначник Хіла.
Зараз припустимо, що періодичний режим був знайдений спектральним методом і було взято до уваги N гармонік. Нехай результати обліку ще однієї гармоніки практично співпали з попередніми. Це означає, що на лінійну частину схеми повинні бути накладені певні вимоги. Провідність на частотах вище повинна практично замикати затискачі, до яких ввімкнені нелінійні елементи. Якщо така вимога не виконується, то результати двох останніх розрахунків, про які мовилося вище, будуть відрізнятися один від одного. Таким чином, коли періодичний режим розраховано із врахуванням гармонік і його результати припускаються достовірними, то модуль опору лінійної частини схеми на частотах, вище
( - період розглядаємого режиму), дорівнює нулю або нескінченно великий. Цей факт і повинен лягти в основу обрання методу аналізу стійкості. Мабуть, в цьому випадку доцільно скористатися скінченим визначником Хіла, зберігаючи в ньому відповідне число рядків та стовпців.
стійкість рівновага періодичний режим
5. Аналіз стійкості періодичного режиму, отриманого часовим методом
Як вказувалося, в цій ситуації, щоб аналізувати стійкість, треба розраховувати характеристичну матрицю, або використовувати нескінченний визначник Хіла.
Шуканими даними для обчислення елементів характеристичної матриці є еквівалентна схема для малих збурень, в якій закон зміни параметрів кожного моделюючого елемента повинен бути задано, як функція часу. Подальша послідовність розрахунків така:
- складання диференційного рівняння схеми для малих збурень;
- n-кратне інтегрування цих рівнянь (n – порядок схеми) на протязі періоду модуляції при початкових умовах, заданих стовпцем одиничної матриці; це дозволяє сформувати характеристичну матрицю, так як після кожного інтегрування знаходимо значення змінних при , що дає один стовпець матриці;
- розрахунок власних значень характеристичної матриці.
При другому методі використовується вираз, до якого приводиться нескінченний визначник. Якщо мати на увазі рівняння для малих збурень (9), то значення характеристичних показників потрібно знаходити за допомогою формули (12), прийнявши рівною нулю її праву частину.
Рішення рівняння, в якому невідоме входить як співмножник до аргументу тригонометричних функцій, надто складне. Позначивши , отримаємо
причому .
В результаті
де .
Після приведення до загального знаменника знайдемо
. (14)
Поліном чисельника є характеристичним для рівняння (9), так його корені, зв’язані відповідним чином із характеристичними показниками, перетворюють в нуль визначник Хіла. Корені полінома знаменника є “мультиплікаторами” усередненої системи. Ступінь обох поліномів однакова. Коефіцієнти характеристичного полінома визначаються через “мультиплікатори” усередненої системи. Наприклад,
Формули для інших коефіцієнтів набагато складніші.
Таким чином, за допомогою нескінченного визначника Хіла маємо змогу знайти характеристичний поліном рівняння для малих збурень без інтегрування самого рівняння.
Аналіз стійкості із використанням нескінченного визначника Хіла можна зробити двома способами. Перший зводиться до обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома. Другий заснований на вивченні годографа визначника при та зміні частоти.
1. Опишемо перший алгоритм розглянутого методу. Шукані дані ті ж, що і в попередньому методі. Але для модульованих елементів повинні бути відомі коефіцієнти рядів Фур’є. Послідовність розрахунків виглядає так:
- обчислення - характеристичних коренів усередненої системи;
- n-кратний розрахунок елементів чисельного визначника при та розрахунок за допомогою формули (13);
- розрахунок коефіцієнтів характеристичного полінома;
- обчислення характеристичних коренів або використання якого-небудь критерію стійкості.
2. Перш ніж розглядати другий алгоритм, встановимо, яким умовам підпорядковано годограф визначника Хіла при стійкому та нестійкому періодичному режимі. Скористаємось формулою (14) і врахуємо такі обставини (рис. 1):
уявну вісь на площині характеристичних показників визначає вираз ;
перетворення трансформує цю вісь в коло одиничного радіуса площини мультиплікаторів; при цьому ліві характеристичні показники переходять до внутрішніх точок кола одиничного радіуса, тобто в мультіплікатори з модулем, менше одиниці; коли дійсна частина характеристичного показника дорівнює нулю, а уявна змінюється в межах
. (15)
Кінець вектора проходить проти часової стрілки все коло одиничного радіуса від точки ; при зміні в великих межах кінець вектора пройде по колу одиничного радіуса декілька разів.
Наше завдання – знайти кут повороту годографа при зміні в межах, визначених (15), та в умовах, коли всі мультиплікатори лежать усередині одиничного кола. Поворот годографа залежить ще від розташування мультиплікаторів усередненої системи, оскільки визначник Хіла є відношення двох характеристичних поліномів. Тому будемо вирішувати задачу при припущенні, що всі знаходяться усередині одиничного кола. Нехай
і , лежать усередині одиничного кола. Кінець вектора рухається по одиничному колу. Поворот його на кут змушує повернутися вектори та на кути і , при цьому кут вектора змінюється на величину, рівну різності . Коли вектор зробить повний оберт, то і кут повороту буде дорівнювати нулю. Припустимо тепер, що мультиплікатор розташовується зовні одиничного кола (рис.1, б), а - як і раніше, усередині. Тоді видно, що при . Результуючий кут повороту стане рівним . Узагальнюючи на випадок відношення поліномів вільної ступені, може бути сформульован критерій стійкості періодичного режиму: якщо годограф нескінченного визначника Хіла при , зміні в межах, заданих (15), та при лівих коренях усередненої системи не охоплює початок координат, то періодичний режим в нелінійної схемі стійкий; охват годографом початку координат свідчить про нестійкий періодичний режим.
2. Зараз можна описати другий алгоритм методу, спираючогося на нескінченний визначник Хіла. Шукані дані ті самі, що і для першого алгоритму, а послідовність розрахунка така:
- вибір значення частоти;
- розрахунок фази ;
- складення с попередніми значеннями фази;
- перехід до нового значення частоти та повтор розрахунку;
- розрахунки завершуються при виході частоти за межі, обмежені нерівностями (15).
На вибір алгоритму із числа розглянутих впливає ряд факторів. Наприклад, ефективність програми чисельного інтегрування та програми обчислення визначника і т.і. Перший метод – чисельне інтегрування рівнянь для малих збурень з метою визначення елементів характеристичної матриці – зручний тим, що він використовує засоби, використані для розрахунку періодичного режиму. Однак остаточне рішення залежить від конкретних умов.
6. Аналіз стійкості періодичного режиму, розрахованого спектральним методом
В спектральному методі розрахунку періодичного режиму ураховується N гармонік, тому для аналізу використовується кінцевий визначник Хіла. Звичайно прийняти кількість рядків та стовпців в ньому рівним , тобто кількості рівнянь стаціонарного режиму.
Скінченний визначник Хіла втрачає періодичність по . В зв’язку з цим уявляється, що характеристичні показники уже немають властивості, яка виявлялось раніш: якщо - корінь визначника, то коренями будуть і . Однак, скориставшись (11) та розкривши визначник, можна, після приведення до загального знаменника, отримати
, (16)
де L і T – поліноми від степені n(2N+1), на що вказують нижні індекси,
n – порядок схеми.
Причому з процедури розкриття визначника і подальших перетворень можна знайти
Це указує на те, що у полінома знаменника корені проявляють ту саму властивість, як і полюси нескінченного визначника. Звідси витікає, що обговорювана властивість може мати місце і тоді, коли визначник неперіодичний. Мабуть, така властивість є і у характеристичних показників визначника, тобто у коренів полінома чисельника в (16). До жалю, цей факт поки не доведено. Якщо це вдалось би зробити, то з’явились можливость працювати над методом аналізу стійкості, спираючись на розрахунок характеристичних показників. Його алгоритм можна було подати в такому вигляді: розрахунок n близько розташованих коефіцієнтів полінома та визначення по ним, на основі вказаної властивості коренів, коефіцієнтів полінома степені n. Наскільки важливо зниження степені полінома для характеристичних показників, видно з наступного прикладу. Нехай порядок системи рівнянь для схеми дорівнює 15, що ще припускає надійне обчислення коренів полінома. Якщо при розрахунку періодичного режиму враховані тільки три гармоніки, то прийдеться мати справу с поліномом ступеня .
Обміркуємо можливість використання алгоритмів, які відносилися до нескінченного визначника Хіла.
Розрахунок по формулі (14) тепер спрощується із-за скінченої розмірності визначника. Однак немає впевненості, що до (14) можна привести скінченний визначник. Недоведення цього факту народжує сумління в точності аналізу. Оскільки видно, що лише в границі, при , формула (14) точна.
Таким чином, аналіз стійкості періодичного режиму, при використанні скінченого визначника Хіла, утруднюється внаслідок не вирішення ряду питань.
Страницы: 1, 2
