a =
x1 x2 x3 x4
x1 0 1 0 0
x2 0 0 1 0
x3 0 0 0 1
x4 -104.6 -32.26 -168.5 -36.16
b =
u1
x1 0
x2 0
x3 0
x4 104.6
c =
y1 1 0 0 0
y2 0 1 0 0
y3 0 0 1 0
y4 0 0 0 1
d =
y1 0
y2 0
y3 0
y4 0
Continuous-time model.
>> step(sys)
В результате получим графики представленные на рис. 1.4. Нас будетинтересовать Out(l). Величина ошибки по скорости определяется как:
еск=V1/K = 1,4/3,243 = 0,432>ескзад = 0,04.
Для ориентировочной оценки tnn и о следует построить переходной процесс h{t) (оператор step в MATLAB) при v(t)=1(t) и по нему определить tпп и σ. Эти величины из графика Out(l) определяются следующим образом:
Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: εуст=v(t)/(l+K), где v(t)=l[t], а К=3,243 - общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда еуст= 1/(1+3,243)=0,236 и следовательно tпп из графика Out(l) tпп ≈50с > tппзад = 2.5с.
Рис 1.4
Таким образом, исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать.
5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. В случае применения частотных методов синтеза коррекции строится желаемая ЛАЧХ Lж(w). В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/s в системе) требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношения Kz=v1/eск=1,4 / 0.04 = 35. На частоте среза желательно иметь наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далее среднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой с наклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемой и исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.
Учет требований качества переходного процесса: tпп и σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области Lж(w). Здесь можно воспользоваться графиком (рис. 1.5).
Рис 1.5
По графику рис. 1.5 для заданных значений у и tnn находим wп, и затем из соотношения wc = (0.6 - 0.9) wп, частоту среза wc.
В наше случае: (как показано на рис.1.5) для у =10%, tр=3π/ωп ,откуда для tр значение ωп= 3π/1,5=6,8 1/с и ωc=5 1/с.
Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.6) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на 20 дБ/дек (протяженность участка около декады). Тогда, выберем L2≈10дБ на частоте ω2=(0.1-0.5)ωс=2.5<ωс=5 и L3≈ -10 дБ на частоте ω3=25 ≥ ωс=5. Введем обозначения:
Величину ω1 найдем из условия равенства значений Lж(ω1)=Lисх(ω1). Это
соотношение приводит к следующему выражению:
В последнем выражении обозначено:
ω’=0.1w2
L’(ω’)=50 дБ
L’(ω2)=10 дБ
L(ω3p)=L(0.476)=21,18 дБ
L(ω2)=L(1.2)=-35,743 дБ
Последние две величины находятся из выражения для Lисх(w).
Найденное по формуле значение ω1=0.098
ЛАЧХ корректирующего устройства с характеристикой Lk(w) соответствует функция:
где:
Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид:
Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где z и р - векторы из нулей и полюсов, a Kd - обобщенный коэффициент передачи, sys - любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlab примет вид:
sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)
Zero/pole/gain:
58.2 (s+2.5) (s+0.4762)
-------------------------------------------------
s (s+7.143) (s+4.167) (s+25) (s+0.4762) (s+0.097)
Рис. 1.6
6. Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд:
>>sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)
Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl - находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет).
>>Zam_ck=inv(1+sys1)*sys1
Переходная характеристика (рис. 1.7 ) находится с помощью функций: 0,05
Из рассмотрения рис. 1.7 видно, что параметры по заданию выполняются.
Рис 1.7
Для устранения неоптимальности записи в Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl можно в диалоговом режиме произвести новую запись zpk(.) - сокращая одинаковые элементы числителя и знаменателя в Zam_ck.
2.Исследование линейной импульсной системы автоматического управления
Задание:
1) Найти передаточные функции импульсной САУ: W*(z) разомкнутой системы, Ф*(z) – замкнутой системы, Фе*(z) – системы по ошибке. Параметры Т, Т1, τ1, К0, γ входят в выражения передаточных функций в общем виде, т. е. в буквенном виде. Знак «*» будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.
2) Найти интервал изменения коэффициента передачи К0, при котором система будет устойчива: K0”≤K0≤K’. Для дальнейших исследований выбрать значение K0=0.5K0’
3) Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L*(λ) и φ*(λ) при заданных значениях Т, Т1, τ1, γ и выбранном K0. По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю ∆L* и фазе ∆φ*.
4) Определить ошибку системы по скорости еск при входном воздействии v(t)=t (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок с0 и с1.
5) Вычислить переходной процесс в системе при воздействии v(t)=1[t] (скачок по положению.
Исходные данные:
Таблица 2. Анализ одноконтурного замкнутого импульса
Номер
варианта
γ
T
T1
τ1
10
0.3
0.1
0,05
Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью τ=γТ, где Т -период дискретизации, 0≤γ≤1. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2. Передаточная функция непрерывной части имеет вид:
Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией:
Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т1, τ -постоянные времени имеют размерность секунды, К0 - коэффициент передачи НЧ имеет размерность сек-1 и выбирается далее.
Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы
1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W*(z) находим передаточную функцию приведенной непрерывной части:
К W(s) применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы W*(z) = Z{W (s)}. Преобразуем W0(s) к виду:
Представим W0(s) в виде суммы двух слагаемых
Применим к W0(s) Z-преобразование
Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:
где обозначено
Передаточные функции замкнутой системы находятся по выражениям:
2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = l + W*(z) = 0, которое для нашего случая будет иметь вид:
В соответствии с алгебраическим критерием замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств
В неравенстве при известных значениях γ, Т, τ1, Т1 входит величина К0. Таким образом, можно выделить отрезок значений К0"<К0 <К0, при которых система будет устойчива и далее принять К0 = 0.5К'0. Условия устойчивости будут:
После преобразований и возврата к старым переменным получим:
Получим 0<К0<7,112. Таким образом, принимаем К0=0.5 К0’=3,56.
1. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W* (z) делаем замену переменной
В результате этого получим частотную характеристику W*(jλ) и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L*(λ) = 20Lg|W*(jλ)| и фазочастотную характеристику φ*(λ)= argW*(jλ), графики которых строятся в логарифмическом масштабе.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
Тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд в MATLAB:
>> sys=tf([0.231 0.085],[1 -(1/2.71+1) 1/2.71],1)
Transfer function:
0.231 z + 0.085
---------------------
z^2 - 1.369 z + 0.369
>> sys_tr=d2c(sys,'tustin')
-0.05332 s^2 - 0.1242 s + 0.4616
--------------------------------
s^2 + 0.9218 s + 2.047e-016
(опция 'tustin’ предназначена для преобразования )
Получаем выражение:
где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.
Рис 2.2
4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию:
В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная еск вычисляется по формуле:
и следовательно, еск=1,999.
Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С0 =0, а коэффициент ошибки
Где передаточная функция системы по ошибке.
Тогда получим производную:
Подставив в последнее выражение найденные ранее значения и z=1, окончательно получим С1=1,999.
5. При входном воздействии вида v(k) = l[k] переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf- или zpk -форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2d при заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы -bode. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде:
и периодом дискретизации γT, то получим
>> w0=tf([0.3 1 0],[0.3 1 1.411]) Transfer function:
0.1 s^2 + s
-------------------
0.1 s^2 + s + 3.738
0.2
>> w1=c2d(w0,0.24)
z^2 - 0.8801 z - 0.1199
------------------------
z^2 - 0.4001 z + 0.09072
Sampling time: 0.24
>> step(W1)
Рис 2.3
На рис.2.4 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретной системы с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.
Рис. 2.4
3.Исследование нелинейной непрерывной системы автоматического управления
Используя метод гармонической линеаризации нелинейного элемента, определить на основе частотного способа возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе, их устойчивость, амплитуду и частоту.
Структура нелинейной САУ представлена на рис. 3.1, где НЭ— нелинейный элемент, W(s) - передаточная функция непрерывной линейной части системы.
Рис 3.1
1. Передаточная функция W0(s) берется из пункта 1, как передаточная функция скорректированной системы с соответствующими числовыми коэффициентами. Нелинейный элемент НЭ имеет нелинейную характеристику u=f(e) которая для всех заданий является характеристикой идеального реле:
где с=2.
Приближенная передаточная функция нелинейного элемента для случая идеальное реле имеет вид:
где a – амплитуда искомого периодического режима, а>0.
2. На комплексной плоскости строим характеристику:
Это прямая, совпадающая с отрицательным отрезком действительной оси, вдоль которой идет оцифровка по амплитуде а0 = 0, a1, a2, …. В том же масштабе на комплексной плоскости строится АФЧХ разомкнутой системы W0(jw) при изменении частоты от 0 до + inf.
Передаточная функция скорректированной системы:
На рис.3.2 (выделен интересующий фрагмент) пунктиром отмечена АФЧХ
рис.3.2
Точка пересечения кривых (-0,165; -0j).
В точке пересечения АФЧХ W0(jw) и прямой по графику W(jw) находятся частота искомого периодического (гармонического) режима w=w*, а на прямой в точке пересечения его амплитуда а = а*. Тогда в системе существуют периодические колебания:
Приравнивая Im(W0(jw))=0 находим w*=1,065 (функция fsolve). При найденном значении частоты получим Re(W0(jw*))=-1,3. Из условия Re(W0(jw*))= находим а*=0.41.
Для определения устойчивости периодического режима можно воспользоваться следующим правилом: если при увеличении амплитуды а вдоль кривой пересечение АФЧХ W0(jw) происходит «изнутри наружу», то такой периодический режим будет устойчивым, т.е. в системе существуют автоколебания с частотой w* и амплитудой а* .
Таким образом, периодический режим будет устойчивым.
Литература
1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.1:
Линейные непрерывные системы : учеб.-метод. Пособие /В.П.Кузнецов,С.В.Лукьянец,М.А.Крупская.-Мн.:БГУИРб2007.-132с.
2. Кузнецов В.П. Линейные непрерывные системы: Тексты лекций по курсу: Теория автоматического управления.-Мн.:БГУИР,1995.-180с.
3. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.1: Линейные непрерывные системы./ В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская- Мн.:БГУИРб2006.
4. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.2:Дискретные,нелинейные, оптимальные и адаптивные системы /С.В. Лукьянец, А.Т.Доманов,В.П.Кузнецов.М.А.Крупская-Мн.:БГУИР,2007.
5. Кузнецов А.П. Линейные импульсные системы: Математическое описание: Тексты лекций по курсу «Теория автоматического управления»б-Мн.:БГУИР,1996.-70с.
Страницы: 1, 2
