2.3 Собственные колебания круглой мембраны
Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.
Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид
.
Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях
и граничных условиях
Применим метод разделения переменных. Пусть
Подставляем полученное выражение для функции в уравнение (2.3.1), получаем:
Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то , полученное равенство можно поделить на . Тогда
Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции
,
решением, которого будет функция (см. 2.2)
и следующую задачу на собственные значения для функции :
К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции .
Поделим данное равенство на :
Так как левая часть соотношения () функция только переменной r, а правая () - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . При данном предположении получаем:
1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции :
Нетривиальные периодические решения для существуют лишь при и имеют вид (см. 2.2):
2) уравнение для определения функции
Из граничных условий для функции получаем граничные условия для функции :
Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.
Введем новую переменную
Подставляем выражение в уравнение для определения функции и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n-го порядка.
Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями
общее решение, которого имеет вид
где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).
Из условия следует, что , т. к. при .
Из условия имеем
, где .
Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений
которым соответствуют собственные функции
краевой задачи для нахождения функции . Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).
Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций с весом r:
Для этого рассмотрим функции
Они удовлетворяют уравнениям
причем , а не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на и .
Переходя к пределу при , получаем неопределенность . Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя
получаем выражение для квадрата нормы:
т.к. , то
Итак, получаем:
1. Согласно (2.3.11) при , собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям , ортогональны с весом r .
2. Норма этих функций определяется формулой (2.3.12).
3. В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости:
Всякая непрерывная в интервале функция , имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
причем коэффициенты разложения определяются формулой
Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения две собственные функции . Составим их линейную комбинацию
Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций . Посчитаем сначала для собственных функций .
Аналогичные условия имеют место для функции .
Тогда выражение для нормы функции можно записать в виде
Воспользуемся теоремой о разложимости:
всякая непрерывная функция с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга.
Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам
Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде
Коэффициенты определяются из начальных условий
Аналогичные формулы имеют место для и, соответственно, для .
Решение подобной задачи о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны при тех же начальных условиях
и других граничных условиях
приведено в источнике [8], где были получены следующие результаты.
Аналогично для и, соответственно, для .
Следовательно, для круглой мембраны при различных граничных условиях получены также разные функции, описывающие ее прогиб.
Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя
При решении многих задач математической физики приходят к обыкновенному дифференциальному уравнению
называемому уравнением цилиндрических функций n-го порядка. Это уравнение часто называют также уравнением Бесселя n-го порядка.
Уравнение Бесселя -го порядка
или
где - произвольное действительное или комплексное число, действительную часть которого можно считать неотрицательной.
Общее решение уравнения (2) может быть представлено в виде
где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода - го порядка или функция Неймана, - произвольные постоянные.
Функция любого положительного и целого отрицательного порядков отличается от всех остальных бесселевых функций тем, что они остаются конечными при .
Для действительного порядка функции Бесселя и Неймана от действительного аргумента будут действительными функциями , ; , при (рис. 1 и рис. 2).Функции и наиболее часто встречаются в приложениях и для них имеются подробные таблицы [5, 7, 10].
Страницы: 1, 2, 3
