В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.
Покажем, что выражение
,
где - действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.
Продифференцируем по x выражение (1.3.2):
.
Подставляем полученные выражения в (1.3.1):
Обозначим через - это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде .
Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины : на .
Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождественно нулю, но , следовательно
Уравнение (1.3.4) - есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е. будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).
Уравнение (1.3.4) - уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).
Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет
где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].
Если корни характеристического уравнения комплексные, , то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравнения действительные числа. В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет
Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3.1) будет
Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни , то одно частное решение будет иметь вид
Второе частное решение будет
Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде
Глава II Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны
2.1 Основные определения
В этой главе использованы следующие обозначения
· - частная производная функции по ;
· - производная функция одной переменной.
Мембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , которая зависит от координат точки (x, y) и от времени t. Вывод дифференциальных уравнений задач математической физики сопровождается целым рядом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных
В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны
В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат и и времени t:
Выражение для оператора в полярных координатах имеет вид
Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде
В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде:
Система функций называется ортогональной на интервале , если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю: (). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом [1].
2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны
Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением
Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b1 и b2, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.
Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях
и граничных условиях
Краткое решение задачи (2.2.1) - (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.
Функция имеет вид
где - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой
А коэффициенты и равны:
Найдем решение задачи при других граничных условиях.
Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях
Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем
Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных (x,y), а левая - только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .
где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.
Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции :
а для функции следующую краевую задачу:
Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду
Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая - только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .
Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:
1. 1.
2.
где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции .
Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:
1. (2.2.11)
(2.2.12)
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен.
1) При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид
т. к. характеристическое уравнение имеет корни .
Учитывая граничные условия, получаем:
т.к. - действительно и положительно, то .
2) При нетривиальных решений тоже не существует.
3) При общее решение уравнения имеет вид
, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно
Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид
Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.
Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):
Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции
где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с весом единица была равна единице
Вычислим отдельно интегралы в равенстве:
Тогда,
Число собственных функций, принадлежащих зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения
Собственным значениям соответствуют решения уравнения :
где и - произвольные константы.
Возвращаясь к начальной задаче для уравнения с дополнительными условиями (2.2.4) - (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид
Тогда общее решение запишется в виде
где определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты и равны:
В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.
Страницы: 1, 2, 3