, (23)
, . (24)
Отталкивающее поле вблизи эллипсоида задастся формулой (7)
. (25)
Результирующее поле запишется в виде
. (26)
Из условия находим :
. (27)
Аналогично, запишем приближенные выражения для и в виде
, (28)
. (29)
Для результирующего поля запишем
. (30)
Выражение для элемента площади поверхности эллипсоида вращения в этом случае имеет вид
. (31)
Поток вектора напряженности электрического поля в этом случае определится формулой
. (32)
Из условия найдем предельный заряд частицы графита для случая, когда магнитное поле перпендикулярно электрическому полю:
. (33)
Введем следующие обозначения
, , (34)
которые назовем коэффициентами формы, соответственно, для эллипсоида, расположенного параллельно току, и перпендикулярно току. Тогда выражения для предельных зарядов, соответственно, запишутся в виде
, (35)
. (36)
Расчеты по формулам (35) и (36) показывают, что . Таким образом, частица графита ориентированная перпендикулярно электрическому полю заряжается больше, чем в случае, когда она ориентирована параллельно электрическому полю. Это приводит к уменьшению основного тока.
3. Удельная проводимость магнитной жидкости с графитовым наполнителем. Если бы описанный выше механизм не имел бы место, то невозмущенный ток можно записать, согласно определению [4], в виде
, (37)
где - плотность невозмущенного тока; - площадь обкладок ячейки [1]. Плотность тока записывается в виде [4]
, (38)
где - концентрация заряженных частиц магнетита в невозмущенном потоке; - удельная проводимость магнитной жидкости при отсутствии частиц графита; - скорость упорядоченного движения заряженных частиц магнетита. Отсюда удельную проводимость записывают в виде [4]
, , (39)
где - подвижность заряженных частиц магнетита; - объемный заряд невозмущенного потока.
Концентрацию частиц графита обозначим . В выражении для плотности тока необходимо учесть, что часть объемного заряда оседает на частицах графита и не участвует в токе. Поэтому для плотности тока, когда магнитное поле направлено параллельно электрическому полю, можно записать
. (40)
Отсюда для удельной проводимости получим
. (41)
Аналогично, получим выражение для удельной проводимости, когда магнитное поле направлено перпендикулярно току:
. (42)
Из (41) и (42) следует
. (43)
Учитывая, что , то (43) можно приближенно записать в виде
. (44)
Из (44) видно, что когда магнитное поле параллельно току, то удельная проводимость больше, чем когда магнитное поле перпендикулярно току. Аналогично, из (41) и (42) запишем выражения для удельных сопротивлений
, , (45)
где и - удельные сопротивления магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле, соответственно, параллельном электрическому полю и перпендикулярному электрическому полю; - удельное сопротивление магнитной жидкости в отсутствии частиц графита. В эксперименте [1] измерялось сопротивление ячейки. Соответственно, для сопротивлений запишем выражения
, , (46)
где - сопротивление магнитной жидкости в отсутствии частиц графита. Отсюда
, (47)
где . Откуда видно, что сопротивление ячейки в магнитном поле, параллельном электрическому полю, меньше, чем в магнитном поле, перпендикулярном электрическому полю.
Сделанный вывод согласуются с данными экспериментальных исследований, результаты которых приведены на рисунке.
Таким образом, из вышеизложенного следует, что проводимость магнитной жидкости с графитовым наполнителем изменяется в зависимости от направления магнитного поля. Проводимость магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле, параллельном электрическому полю больше, чем в магнитном поле, перпендикулярном электрическому полю: .
4. Расчеты. Из формулы (47) следует, что анизотропия электрических свойств магнитной жидкости с графитовым наполнителем будет существенно зависеть от концентрации частиц графита, что действительно наблюдалось в эксперименте [1]. При малых концентрациях частиц графита эффект не существенен.
Концентрацию частиц графита найдем по формуле [8]
, (48)
где - объемная концентрация частиц графита. В эксперименте [1] объемная концентрация была равна , а радиус частиц графита был порядка мкм. Подставляя численные значения в (48), для полной концентрации частиц графита получим м-3. Примем мкм, мкм. Это соответствует эксцентриситетам и , соответственно, коэффициенты формы и . Примем . Объемный заряд, оседающий на частицах графита, равен Кл/м3. На частицу графита, расположенную перпендикулярно току, оседает на заряженных частиц магнетита больше, чем на частицу, расположенную параллельно току.
Согласно [9], объемный заряд можно оценить по формуле
, (49)
- постоянная Больцмана; - абсолютная температура.
В эксперименте [1] имело место отношение при напряженности электрического поля В/м. Для этого значения напряженности электрического поля объемный заряд, согласно (49), равен Кл/м3, что соответствует концентрации заряженных частиц магнетита м-3. Размер частиц магнетита примем равным нм. Объемная концентрация магнетита в эксперименте была . Тогда для концентрации частиц магнетита получим м-3. Отсюда видно, что не все частицы магнетита заряжены, что согласуется с результатами [9]. Подставляя численные значения в (47), получим теоретическое значение отношения.. Как видно теоретическое значение отношения сопротивлений почти в два раза меньше экспериментально наблюдаемого. Возможная причина расхождения теории с экспериментом может заключаться в полидисперсности частиц графита, применяемых в эксперименте. Расчеты же велись в предположении монодисперсности частиц графита.
Выводы. Предложен механизм, объясняющий анизотропию электрических свойств магнитной жидкости с графитовым наполнителем в магнитном поле. Думается, что имеют место оба механизма: и механизм, предложенный в [2], и в настоящей работе. В дальнейшем предполагается построить общую теорию, опирающуюся на оба предложенных механизма. В заключение выражаем благодарность профессору Ю. И. Диканскому, под научным руководством которого была выполнена настоящая работа.
Список литературы
1. Смерек Ю.Л. Электрическая проводимость магнитной жидкости с мелкодисперсным наполнителем в магнитном поле. //Вестник СГУ. 2001. - Вып. 28. С. 184 - 187.
2. Закинян Р.Г., Смерек Ю.Л., Закинян А.Р. Элементарная теория электропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем. Записки физико-математического факультета. Выпуск 2.
3. Закинян Р.Г., Смерек Ю.Л., Закинян А.Р. Об одном механизме электропроводности магнитной жидкости с графитовым наполнителем. // Проблемы физико-математических наук. Материалы 48 научно-методической конференции преподавателей и студентов. - Ставрополь, 2003. - С. 29 - 32.
4. Калашников С.Г. Электричество. - М.: Наука, 1985. - 576 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. Т. 8. - М.: Наука, 1982. - 624 с.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. - М.: Наука, 1971. - 510 с.
7. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. - М.: Наука, 1981. - 799 с.
8. Фертман В.Е. Магнитные жидкости. - Минск: "Вышейшая школа", 1988. - 184 с.
9. Падалка В.В., Закинян Р.Г., Бондаренко Е.А. К вопросу об образовании объемного заряда в приэлектродном слое разбавленной магнитной жидкости. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2002. - № 4. - С. 36 - 38.
Страницы: 1, 2
